云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷1（共192題）

云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷1（共7套）（共192題）云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第1套一、單項(xiàng)選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列哪組函數(shù)是線性相關(guān)的()A、e2x，e－2xB、e2＋x，ex－2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：e2＋x／ex－2＝e4是常數(shù)，故B項(xiàng)的函數(shù)是線性相關(guān)的；而，都不是常數(shù)，故A、C、D項(xiàng)的函數(shù)都是線性無(wú)關(guān)的．2、已知y是關(guān)于x的函數(shù)，則微分方程y2dx－(1－x)dy＝0是()A、一階齊次線性微分方程B、一階非齊次線性微分方程C、可分離變量微分方程D、二階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將該微分方程整理可得dy／y2＝dx／(1－x)，所以該微分方程是可分離變量微分方程．3、設(shè)y1，y2是一階非齊次線性微分方程y’＋p(x)y＝g(x)的兩個(gè)特解，若存在常數(shù)λ，μ使λy1＋μy2是該方程的解，λy1－μy2是該方程對(duì)應(yīng)的一階齊次線性方程的解，則()A、λ＝1／2，μ＝1／2B、λ＝－1／2，μ＝－1／2C、λ＝2／3，μ＝1／3D、λ＝2／3，μ＝_2／3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將解λy1＋μy2代入方程y’＋p(x)y＝q(x)，得λ[y1’＋p(x)y1]＋μ[y2’＋p(x)y2]＝q(x)．①將解λy1－μy2代入方程Yy’＋p(x)y＝0，得λ[y1’＋p(x)y1]－μ[y2’＋p(x)y2]＝0．②又y1’＋p(x)y1＝q(x)．y2’＋p(x)y2＝q(x)，代入①、②式中，得λ＋μ＝1，λ－μ＝0，解得λ＝1／2，μ＝1／2，故選A．4、已知函數(shù)y＝y(tǒng)(x)在任意點(diǎn)x處的增量△y＝y(tǒng)△x／(1＋x2)＋α，且當(dāng)△x→0時(shí)，α是△x的高階無(wú)窮小，y(0)＝π，則y(1)＝()A、2πB、πC、eπ／4D、πeπ／4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得則得y’＝y(tǒng)／(1＋x2)，即dy／dx＝y(tǒng)／(1＋x2)，分離變量得dy／y＝dx／(1＋x2)，兩邊積分并整理得y＝Cearctanx，把y(0)＝π代入y＝Cearctanx得C＝π，則y＝πearctanx．當(dāng)x＝1時(shí)，y(1)＝πeπ／4．5、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)特征根分別為r1＝－1，r2＝－3，則該微分方程為()A、y”－4y’＋3y＝0B、y”＋4y’＋3＝0C、y”＋4y’＋3y＝1D、y”＋4y’＋3y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由特征根的值可知微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為(r＋1)(r＋3)＝r2＋4r＋3＝0，所以對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y’＋4y’＋3y＝0．6、微分方程y”－2y’＝x的特解可設(shè)為y*＝()A、AxB、Ax＋BC、Ax2＋BxD、Ax2＋Bx＋C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：該二階齊次微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為r2－2r＝0，得特征根為r1＝0，r2＝2．因?yàn)閒(x)＝x中，λ＝0是特征方程的單根，于是特解應(yīng)設(shè)為y’＝(Ax＋B)x＝Ax2＋Bx．7、設(shè)y＝y(tǒng)(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex滿足y(0)＝0，y’(0)＝1的解，則＝()A、不存在B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于y＝y(tǒng)(x)是方程的解，從而y(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閥(0)＝0，y’(0)＝1，則y”(0)－1＝1，即y"(0)＝2，從而二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、若微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與該微分方程的________相同，則該解叫作微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：階數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：由微分方程通解的定義可知，通解中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即方程的階數(shù)一致．9、微分方程xy’－y＝0的通解為y＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cx知識(shí)點(diǎn)解析：方程可化為dy／dx＝y(tǒng)／x，分離變量得dy／y＝dx／x，兩邊積分得ln｜y｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜，即y＝Cx．10、方程(xy2＋x)dx＋(y－x2y)dy＝0滿足y｜x＝0＝1的特解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1＋y2)／(1－x2)＝2知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得xdx／(x2－1)dx＝y(tǒng)dy／(1＋y2)，兩邊積分得ln｜x2－1｜／2＝ln(y2＋1)／2＋ln｜C／2，所以x2－1＝C(y2＋1)．又y｜x＝0＝1，故C＝－1／2，則方程的特解為(1＋y2)／(1－x2)＝2．11、已知曲線C通過(guò)原點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)(x，y)處的法線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，則曲線C的方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(x－1)2＋y2＝1知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得－1／y’＝(y－0)／(x－1)，分離變量得(x－1)dx＝－ydy，兩邊積分并整理得(x－1)2＋y2＝C1，將點(diǎn)(0，0)代入得C1＝1，故曲線C的方程為(x－1)2＋y2＝1．12、微分方程xy”－3x3＝0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝x4／4＋C1x＋C2知識(shí)點(diǎn)解析：方程整理得y”＝3x2，等式兩邊積分得y’＝x3＋C1，兩邊再次積分得方程通解為y＝x4／4＋C1x＋C2．13、微分方程y”－2y’＋5y＝0的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2－2r＋5＝0，得特征根為r1,2＝1±2i，故通解為y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)．14、設(shè)y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y"＋py’＋qy＝f(x)(其中p、q都是常數(shù))的三個(gè)特解，則該方程的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝x＋C1(ex－x)＋C2(e－x－x)知識(shí)點(diǎn)解析：y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y”＋Py’＋qy＝f(x)的三個(gè)特解，且線性無(wú)關(guān)，則ex－x，e－x－x是y”＋py’＋qy＝0的解，且ex－x，e－x－x線性無(wú)關(guān)，故C1(ex－x)＋C2(e－x－x)是y”＋Py’＋qy＝0的通解，所以y“＋py’＋qy＝f(x)的通解為y＝C1(ex－x)＋C2(e－x－x)＋x．三、計(jì)算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、求微分方程(ex＋y－ex)dx＋(ex3y＋ey)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程可化為ex(ey－1)dx＋ey(ex＋1)dy＝0，分離變量得[ey／(ey－1)]dy＝－exdx／(ex＋1)，兩邊積分得∫eydy／(ey－1)＝故原方程通解為(ey－1)(ex＋1)＝C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得兩邊積分有即將初始條件y｜x＝0＝π／2代入得C＝2，則方程的特解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求方程(x2＋3)y’＋2xy－e2x＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程改寫成則通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程(y＋x3)dx－2xdy＝0滿足y｜x＝1＝5／6的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原微分方程整理得y’－y／2x＝x2／2，此方程為一階非齊次線性微分方程，則其通解為把y｜x＝1＝6／5代入通解得C＝1，所以特解為y＝x3／5＋．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)＝∫03xf(t／3)dt＋e2x，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)并整理得f’(x)－3f(x)＝2e2x，利用通解公式得f(x)＝e∫3dx(∫2e2xe－∫3dxdx＋C)＝e3x(∫2e－xdx＋C)＝e3x(－2e－x＋C)＝Ce3x－2e2x，又f(0)＝0＋1＝1，代入通解中得C－2＝1，解得C＝3，故f(x)＝3e3x－2e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足∫01f(tx)dt＝f(x)／3＋x，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將所給方程兩邊同乘以x得∫01f(tx)d(tx)＝xf(x)／3＋x2，令u＝tx，則上式變?yōu)椤?xf(u)du＝xf(x)／3＋x2，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f(x)＝f(x)／3＋xf’(x)／3＋2x，即f’(x)－2f(x)／x＝－6．由一階非齊次線性微分方程的通解公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求微分方程y"－(y’)2＝0滿足初始條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’＝p，則y”＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，代入方程得pdp／dy－p2＝p(dp／dy－p)＝0，當(dāng)p＝0時(shí)，y’＝0，與已知條件不符，所以dp／dy－p＝0，即dp／p＝dy，兩邊積分得p＝C1ey，把y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1代入得C1＝－1，所以dy／dx＝－ey，即e－ydy＝－dx，兩邊積分得－e－y＝－x＋C2，把y｜x＝0＝0代入得C2＝－1，所以－e－y＝－x－1，即方程特解為e－y＝x＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)y＝f(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)的一段連續(xù)曲線，M(x，y)為該曲線上任意一點(diǎn)．點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為x3／6＋1／3，求f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可得圖，有(x／2)[1＋f(x)]＋∫x1f(t)dt＝x3／6＋1／3，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得[1＋f(x)]／2＋xf’(x)／2-f(z)－f(x)＝x2／2．當(dāng)x≠0時(shí)，得f’(x)－f(x)／x＝(x2－1)／x，故＝x(x＋1／x＋C)＝x2＋1＋Cx．由于x＝1時(shí)，f(1)＝0，故有2＋C＝0，從而C＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)質(zhì)量為m的物體在高空中靜止下落，空氣對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的阻力與物體的速度成正比，比例系數(shù)為k，求物體下落的速度v與時(shí)間t的關(guān)系，再求物體下落的距離S與時(shí)間t的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：物體重力為W＝mg，阻力為R＝－kv，其中g(shù)是重力加速度．由牛頓第二定律得mdv／dt＝mg－kv，從而得線性方程dv／dt＋kv／m＝g，v｜t＝0＝0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)24、求微分方程y”＋13y’－30y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2＋13r－30＝0，解得r1＝－15，r2＝2，故原方程的通解為y＝C1e－15x＋C2e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求微分方程y”＋4y’＋29y＝0滿足初始條件y(0)＝0，y’(0)＝15的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2＋4r＋29＝0，解得特征根為r1＝－2＋5i，r2＝2－5i，則原方程的通解為y＝e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)，則y’＝[(－5C1－2C2)sin5x＋(5C2－2C1)cos5x]e－2x，將初始條件y(0)＝0，y’(0)＝15代入得C1＝0，C2＝3，故原方程的特解為y＝3e－2xsin5x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求方程y”－2y’－3y＝3x＋1的一個(gè)特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程對(duì)應(yīng)的二階齊次方程的特征方程為r2－2r－3＝0，其特征根為r1＝－1，r2＝3．由于f(x)＝3x＋1中λ＝0不是特征根，所以設(shè)特解為y*＝Ax＋B，則(y*)’＝A，(y*)”＝0．把y*，(y*)’，(y*)”代入原方程，得－3Ax－2A－3B＝3x＋1，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得A＝－1，B＝1／3，于是求得方程的一個(gè)特解為y*＝－x＋1／3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求微分方程y”－y＝e2x(sinx－cosx)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－1＝0，解得r＝±1，所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為＝C1e－x＋C2ex，λ±ωi＝2±i，不是特征方程的根，故設(shè)原方程的特解為Y＝e2x(Asinx＋Bcosx)，則Y’＝e2x[(2A－B)sinx＋(A＋2B)cosx]，Y”＝e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]，代入原方程得e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]－e2x(Asinx＋Bcosx)＝e2x(sinx－cosx)，解得A＝－1／10，B＝－3／10，故原方程的通解為y＝C1e－x＋C2ex－e2x(sinx＋3cosx)／10．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第2套一、單項(xiàng)選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知函數(shù)y＝x3／6－x2／2＋x＋C和微分方程y”＝x－1，則下列說(shuō)法正確的是()A、y是該微分方程的通解B、y是該微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝1的特解C、y是該微分方程的特解D、y是該微分方程的解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程為二階微分方程，則通解中應(yīng)含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，因此y＝x3／6－x2／2＋x＋C顯然不是方程的通解．又y＝x3／6－x2／2＋x＋C時(shí)，y’＝x2／2－x＋1，y”＝x－1，故可知y＝x3／6－x2／2＋x＋C是y”＝x－1的解，因?yàn)楹腥我獬?shù)，則不是特解，故選D．2、下列可以作為微分方程xlny．y’＝y(tǒng)lnx的解的是()A、y＝exB、y＝lnxC、ln2x＋ln2y＝1D、In2x＝In2y標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程分離變量得lnydy／y＝lnxdx／x，兩邊積分得ln2y／2＝ln2x／2＋C1，即ln2y＝ln2x＋C，取C＝0，得方程的一個(gè)解為ln2x＝ln2y，故選D．3、．微分方程y’＋y／x＝1／[x(x2＋1)]的通解是y＝()A、arctanx＋CB、(arctanx＋C)／xC、arctanx／x＋CD、1／x＋arctanx＋C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所求方程為一階非齊次線性微分方程，故由通解公式可得4、求微分方程y’＋x2y”＝y(tǒng)”的通解時(shí)，可()A、設(shè)y’＝p，則有y”＝p’B、設(shè)y’＝p，則有y”＝dp／dyC、設(shè)y’＝p，則有y”＝pdp／dxD、設(shè)y’＝p，則有y”＝p’dp／dx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于可降階方程中的y”＝f(x，y’)型，需令y’＝P，則y”＝p’，故選A．5、已知y＝e－3x是微分方程y”＋4y’＋ay＝0的一個(gè)解，則常數(shù)a＝()A、1B、－1C、3D、－1／3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥＝e－3x，則y’＝－3e－3x，y”＝9e－3x，將y，y’，y”代入原方程有9e－3x－12e－3x＋ae－3x＝0，由于e－3x≠0，則有9－12＋a＝0，a＝3．故選C．6、方程y”－2y’＋y＝ex的一個(gè)特解的形式可設(shè)為y*＝()A、Aex＋BB、AxexC、AexD、Ax2ex標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2－2r＋1＝0，所以r1＝r2＝1，又有f(x)＝ex，則可知λ＝1是該特征方程的二重根，所以特解形式為y*＝Ax2ex．故選D．7、下列方程中，具有待定特解形式為y＝ax＋b＋Bex的微分方程是()A、y”＋y’－2y＝2x＋exB、y”－y’－2y＝4x－2exC、y”－2y’＋y＝x＋exD、y”－y’＝x＋2ex標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)特解形式以及選項(xiàng)中等式右端的式子可知，λ＝0，λ＝1不是二階齊次線性微分方程的特征根，分別求解四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程的特征根，可知只有B選項(xiàng)滿足條件，故選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、微分方程xy’’’＋2(y’)5＋3y4＝0的階數(shù)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：題中含有的未知函數(shù)y的最高階導(dǎo)數(shù)為y”，故該微分方程的階數(shù)為3．9、方程dy／dx＝滿足初始條件y(1)＝0的特解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝x－1知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得＝dx，兩邊積分得＝x＋C，將y(1)＝0代入得C＝－1，所以滿足初始條件的方程的特解為＝x－1．10、微分方程y’＋3x2y＝的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(x2／2＋C)知識(shí)點(diǎn)解析：由通解公式得y＝11、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足∫0xf(t)dt＝ex－f(x)，則f(x)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(ex＋e－x)／2知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)并整理得f’(x)＋f(x)＝ex，則通解為f(x)＝e－x∫e2x＋C)＝e－x(e2x／2＋C)＝ex／2＋Ce－x．又當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝1，代入通解可得C＝1／2，故f(x)＝(ex＋e－x)／2．12、微分方程xy”＋3y’＝0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1／x2＋C2知識(shí)點(diǎn)解析：令y’＝P，則y”＝P’，原方程可化為xp’＋3p＝0，分離變量可dp／p＝－3dx／x，兩邊積分得∫(1／p)dp＝－∫(3／x)dx，即p＝y(tǒng)’＝C／x3．分離變量可得dy＝Cdx／x3，兩邊積分得∫dy＝Cdx／x3，故方程通解為y＝C1／x2C2(C1＝－C／2)．13、已知y＝eex，y＝xeex是某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)特解，則該微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y”－2ey’＋e2y＝0知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件可得所求微分方程有兩個(gè)相等的實(shí)根為r＝e，則特征方程為(r－e)2＝r2－2er＋e2＝0，故微分方程為y”－2ey’＋e2y＝0．14、方程y”－2y’＋5y＝exsin2x的特解可設(shè)為y*＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xex(Asin2x＋Bcos2x)知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－2r＋5＝，解得特征根為r1,2＝1±2i，而原方程的非齊次項(xiàng)為exsin2x，λ＝1±2i是特征根，因此其特解可設(shè)為y*＝xex(Asin2x＋Bcos2x)．三、計(jì)算題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、求微分方程xy’－ylnx／(1＋y2)＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：程分離變量得兩邊積分有則方程的通解為2ln｜y｜＋y2－In2x＝C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求微分方程xcos(y／x)dy＝[ycos(y／x)－x]dx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程化為dy／dx＝y(tǒng)／x－sec(y／x)，令y／x＝u，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式再分離變量得cosudu＝－dx／x，兩邊積分得sinu＝－ln｜x｜＋C，將u＝y(tǒng)／x代入得通解為sin(y／x)＝－ln｜x｜＋知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求微分方程dy／dx＝1／(x＋y)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩端同時(shí)取倒數(shù)得dx／dy＝x＋y，即dx／dy－x＝y(tǒng)，此方程可看作未知函數(shù)為x的一階非齊次線性微分方程，其中P(y)＝－1，Q(y)＝y(tǒng)，故通解為x＝e－∫P(y)dy[∫Q(y)e∫P(y)dydy＋C]＝e－∫－1dyldy(∫ye∫－1dydy＋C)＝ey(∫ye－ydy＋C)＝ey(－∫yde－y＋C)＝－y－1＋Cey．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程(x2－1)dy＋(2xy－cosx)dx＝0滿足初始條件y｜x＝0＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為，此一階非齊次線性微分方程的通解為由y｜x＝0＝1得C＝－1l，故滿足初始條件的特解是y＝(sinx－1)／(x2－1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)cosx＋2∫0xf(t)sintdt＝x＋1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)得f’(x)cosx＋f(x)sinx＝1，整理可得f‘(x)＋f(x)tanx＝secx．則通解為f(x)＝e－∫tanxdx(∫secxe∫tanxdxdx＋C)＝cosx(∫sec2xdx＋C)＝cosx(tanx＋C)＝sinx＋Ccosx．又f(0)＝1，所以C＝1，故f(x)＝sinx＋cosx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求y”＝xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：y”＝∫xexdx＋C1＝(x－1)ex＋C1，y’＝∫[(x－1)ex＋C2]dx＋C2＝(x－2)ex＋C2x＋C2，y＝∫[(x－2)ex＋C1x＋C2]dx＋C3＝(x－3)ex＋Cx2＋C2x＋C3(C＝C1／2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求微分方程yy”＋(y’)2＝0滿足初始條件y｜x＝0＝1，y’｜x＝0＝1／2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’＝p，則y”＝pdp／dy，原方程可化為p(ydp／dy＋p)＝0．因?yàn)閥’｜x＝0＝1／2÷，所以p≠0，此時(shí)有ydp／dy＋p＝0，解得p＝C1／y．把代入p＝C1／y中得C1＝1／2，即y’＝1／2y．分離變量并對(duì)等式兩邊積分可解得y2＝x＋C2，把y｜x＝0＝1代入得C2＝1，故所求特解為y2＝x＋1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)y＝y(tǒng)(x)在[0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且在任意點(diǎn)x＞0處的增量△y＝y(tǒng)(x＋△x)－y(x)滿足△y＝y(tǒng)△x／(4＋x)＋α，其中α是當(dāng)△x→0時(shí)△x的等價(jià)無(wú)窮小，又y(0)＝2，求y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可得△y／△x＝y(tǒng)／(4＋x)＋α／△x，因?yàn)椤鱴→0時(shí)，α是△x的等價(jià)無(wú)窮小，所以取△x→0的極限得dy／dx＝y(tǒng)／(4＋x)＋1，從而y＝y(tǒng)(x)可看作是一階線性方程y’－y／(4＋x)＝1滿足條件y(0)＝2的特解，由通解公式可得將y(0)＝2代入通解可得C＝1／2－2ln2，故y＝(4＋x)[ln(4＋x)＋[ln(4＋x)＋1／2－2ln2]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)23、求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為4r2－20r＋25＝0，其特征根為r1＝r2＝5／2，故原方程的通解為x＝(C1＋C2t)e5t／2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f”(x)－3f’(x)＋2f(x)＝0，且在x＝0處取得極值1，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：原微分方程的特征方程為r2－3r＋2＝0，解得特征根為r1＝1，r2＝2，所以通解為f(x)＝C1ex＋C2e2x，則f’(x)＝C1ex＋2C2e2x．又f(x)在x＝0處取得極值1，所以f(0)＝C1＋C2＝1，f’(0)＝C1＋2C2＝0，解得C1＝2，C2＝－1，故f(x)＝2ex－e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求y”－2y’＋y＝ex的一個(gè)特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2－2r＋1＝0，解得r＝1為二重根，由于f(x)＝ex，故λ＝1是特征方程的重根，故應(yīng)設(shè)特解為y＝Ax2ex，則y’＝A(x2＋2x)ex，y”＝A(x2＋4x＋2)ex，代入原方程得2Aex＝ex，則A＝1／2，故特解為y＝x2ex／2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、已知函數(shù)y＝(x＋1)ex是一階線性微分方程y’＋2y＝f(x)的解，求二階常系數(shù)線性微分方程y”＋3y’＋2y＝f(x)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意得y’＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，f(x)＝y(tǒng)’＋2y＝(x＋2)ex＋2(x＋1)ex＝(3x＋4)ex．下面求微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解，對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋3r＋2＝0，求得r1＝－1，r2＝－2，所以y”＋3y’＋2y＝0的通解為Y＝C1e－x＋C2e－2x，因?yàn)閒(x)＝(3x＋4)ex中λ＝1不是特征方程的根，所以設(shè)y*＝(Ax＋B)ex為方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的一個(gè)特解，則把(y*)’＝(Ax＋A＋B)ex，(y*)”＝(Ax＋2A＋B)ex代入原方程得6Ax＋5A＋6B＝3x＋4，比較系數(shù)得A＝1／2，B＝1／4，所以微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解為y＝Y(jié)＋y*＝C1e－x＋C2e－2x＋(x／2＋1／4)ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第3套一、單項(xiàng)選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、微分方程(y’)3＋＝x＋y4的階數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為該微分方程的階，所給方程中最高階導(dǎo)數(shù)為，故此微分方程的階數(shù)為2．2、設(shè)C是任意常數(shù)，則下列以y＝Cex為解的二階微分方程是()A、y”＝0B、y”－3y’－4y＝0C、y”－4y’＋3y＝0D、y”＋4y’＋3y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將y＝Cex，y’＝Cex，y”＝Cex分別代入到四個(gè)選項(xiàng)的方程中，只有C項(xiàng)成立，故選C．3、微分方程y’＝e3x－2y滿足初始條件y｜x＝0＝0的特解為()A、e2y／2＝e3x／3＋1／6B、e2y＝e3x／2＋1／3C、ey／2＝ex／3＋1／6D、2e2y＝3ex－1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)方程分離變量可得e2ydy＝e3xdx，兩邊積分得e2y／2＝e3x／3＋C，代入初始條件y｜x＝0＝0，得,1／2＝1／3-＋C，所以C＝1／6，故所求特解為e2y／2＝e3x／3＋1／6．4、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x))滿足f(x)＝4∫0x／2f(2f)dt＋ln2，則f(x)＝()A、exln2B、e2xln2C、ex＋ln2D、e2x＋ln2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得f’(x)＝4f(x)．(1／2)，令y＝f(x)，即y’＝2y，分離變量得dy／y＝2dx，兩邊積分得ln｜y｜＝2x＋C1。故通解為y＝Ce2x．又當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝ln2，所以C＝ln2，故f(x)＝e2xln2．5、下列方程中，可用p＝y(tǒng)’，y”＝p’代換將方程降為關(guān)于p的一階微分方程的是()A、d2y／dx2＋xy’－x＝0B、d2y／3dx2＋yy’－y2＝0C、d2y／dx2＋x2y’－y2x＝0D、d2y／dx2＋ydy／dx＋x＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：可降階方程中的y”＝f(x，y’)型可用p＝y(tǒng)’，y”＝p’代換，觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有A項(xiàng)是y”＝f(x，y’)型，故選A．6、微分方程y”＋2y’＋y＝0的通解為()A、y＝C1e－x＋C2exB、y＝C1e－x＋C2xe－xC、y＝C1cosx＋C2sinxD、y＝C1ex＋C2xex標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為r2＋2r＋1＝0。解得特征根為r1＝r2＝－1，則方程的通解為y＝(C1＋C2x)e－x＝C1e－x＋C2xe－x，故選B．7、已知函數(shù)y1＝1，y2＝ex，y3＝2ex，y4＝ex＋3均為某個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A、y＝C1y1＋C2y2是方程的通解B、y＝C1y2＋C2y3是方程的通解C、y＝C1y3＋C2y4是方程的通解D、該方程為y”－y’＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于y2＝ex，y3＝2ex不是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故y＝C1y2＋C2y3不是微分方程的通解．y1＝1與y2＝ex線性無(wú)關(guān)，y3＝2ex與y4＝ex＋3線性無(wú)關(guān)，則選項(xiàng)A、C正確．由y1＝1與y2＝ex可得微分方程的特征方程為r(r－1)＝0，故方程為y”－y’＝0，經(jīng)驗(yàn)證y3，y4也為該方程的解．8、11．設(shè)方程y”－2y’－3y＝f(x)有特解y*，則它的通解為()A、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*B、y＝C1e－x＋C2e3xC、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*D、y＝C1ex＋C2e－3x＋y*標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y”－2y’－3y＝0的特征方程為r2－2r－3＝0，所以r1＝－1，r2＝3，得y”－2y’－3y＝0的通解為＝C1e－x＋C2e3x，所以原方程的通解為y＝C1e－x＋C2e3x＋y*．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、微分方程(1＋x)ydx＋(1－y)xdy＝0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝ln｜xy｜＋x＋C知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得[(1＋x)／x]dx＝[(y－1)／y]1dy，兩邊積分得x＋ln｜x｜＋C＝y(tǒng)－ln｜y｜，即通解為y＝x＋I(xiàn)n｜xy｜＋C．10、已知微分方程y’＋ay＝ex的一個(gè)特解為y＝xex，則常數(shù)a＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識(shí)點(diǎn)解析：把y＝xe2x，y’＝ex＋xex代入微分方程可得y’＋ay＝ex＝(1＋a)xex＋ex，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得a＝－1．11、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足y(x)＝1＋∫1x(4／s)y(s)ds，則y(x)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x4知識(shí)點(diǎn)解析：將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得y’(x)＝4y(x)／x，則y’(x)／y(x)＝4／x，兩邊積分得∫y’(x)／y(x)dx＝∫(4／x)dx，解得ln｜y(x)｜＝lnx4＋C1，即y(x)＝Cx4．又由題意可知y(1)＝1，代入解得C＝1，故y(x)＝x4．12、微分方程y”－16y’＋64y＝0的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(C2＋C2x)e8x知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的特征方程為r2－16r＋64＝0，解得特征根r1＝r2＝8，故通解為y＝(C1＋C2x)e8x．13、以y＝e2x(C1cosx＋C2sinx)為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y”－4y’＋5y＝0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解可知該方程的特征根為r1＝2＋i，r2＝2－i，從而可得特征方程為(r－2)2＋1＝r2－4r＋5＝0，故此二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y”－4y’＋5y＝0．14、已知二階常系數(shù)非齊次微分方程y”＋4y＝cosx，它的一個(gè)特解可設(shè)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*＝Acosx＋Bsinx知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2＋4＝0，所以r1,2＝±2i，f(x)＝cosx，則±i不是該特征方程的特征根，所以特解形式可設(shè)為y*＝Acosx＋Bsinx．三、計(jì)算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、求微分方程y’＝4x／e2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得dy＝4xe－2xdx，兩邊積分，得通解為y＝∫4xe－2xdx＝－∫2xd(e－2x)＝－2xe－2x＋2∫e－2xdx＝－2xe－2x－e－2x＋C．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求方程xsecydx＋(1＋x2)dy＝0滿足初始條件y｜x＝0＝π／2的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得xdx／(1＋x2)＝－dy／secy，即[x／(1＋x2)]dx＝－cosydy兩邊積分有＝－∫cosydy，即ln(1＋x2)／2＝－siny＋C，代入初始條件y｜x＝0＝π／2得C＝1，則方程的特解為siny＋＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求微分方程y’＋ycosx－e－sinxlnx＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由通解公式得y＝e－∫cosxdx(∫ejisinxlnx．e∫cosxdxdx＋C)＝e－sinx(∫lnxdx＋C)＝[x(lnx－1)＋C]e－sinx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程y2dx＋(x－2xy－y2)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程變形為其中P(y)＝(1－2y)／y2，Q(y)＝1，代入通解公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知一曲線y＝y(tǒng)(x)通過(guò)原點(diǎn)，且曲線上任意一點(diǎn)(x，y)處的切線斜率均等于2x＋y，求該曲線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得y’＝2x＋y，即y’－y＝2x，故通解為y＝e∫dx(∫2xe∫－1dxdx＋C)＝ex(∫－2xde－x＋C)＝ex(－2xe－x＋∫2e－xdx＋C)＝－2x－2＋Cex．又因?yàn)榍€通過(guò)原點(diǎn)，將y(0)＝0代入通解得C＝2，故所求曲線的方程為y＝2x－2＋2ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求解方程∫0x(x－s)y(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，其中y為可導(dǎo)函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0x(x－s)y(s)ds＝x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得∫0xy(s)ds＝cosx＋y(x)，且y(0)＝－1，上式再次對(duì)x求導(dǎo)并整理得y’－y＝sinx，為一階非齊次線性微分方程，其中P(x)＝－1，Q(x)＝sinx，故通解為y＝e∫dx(∫sinxe－∫dxdx＋C)＝ex(∫sinxe－xdx＋C)＝ex[－e－x(cosx＋sinx)／2＋C]＝Cex－(sinx＋cosx)／2．又y(0)＝－1，代入通解中得C＝－1／2，故原方程的解為y(x)＝－(ex＋sinx＋cosx)／2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求y”＝y(tǒng)’／x＋xex的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’＝p，則y"＝p’，代入方程得p’－p／x＝xex，因此即y’＝xex＋Cx，分離變量后再積分得微分方程的通解為y＝(x－1)ex－C1x2＋C2(C1＝C／2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，其中函數(shù)f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)滿足條件：f’(x)＝g(x)，g‘(x)＝f(x)，f(0)＝0，且f(x)＋g(x)＝2ex22、求F(x)所滿足的一階微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知F’(x)＝f’(x)g(x)＋f(x)g’(x)＝g2(x)＋f2(x)＝[f(x)＋g(x)]2－2f(x)g(x)＝(2ex)2－2F(x)，可見F(x)所滿足的一階微分方程為F’(x)＋2F(x)＝4e2x；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求出F(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：由一階微分方程通解公式得F(x)＝e－∫2dx[∫4e2x．e∫2dxdx＋C]＝e－2x[∫4e4xdx＋C]＝e2x＋Ce－2x．將F(0)＝f(0)g(0)＝0代入上式。得C＝－1，于是F(x)＝e2x－e－2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中，知道某地區(qū)的國(guó)民收入y，國(guó)民儲(chǔ)蓄S和投資I均是時(shí)間t的函數(shù)，且在任一時(shí)刻t，儲(chǔ)蓄S(t)為國(guó)民收入y(t)的1／10，投資額f(t)是國(guó)民收入增長(zhǎng)率dy／dt的1／3．設(shè)t＝0時(shí)國(guó)民收入為5(億元)，假定在時(shí)刻t的儲(chǔ)蓄全部用于投資，試求國(guó)民收入函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可得S＝y(tǒng)／10，I＝(1／3)．(dy／dt)，S＝I，則dy／dt＝3y／10，分離變量得dy／y＝3dt／10，解之得通解y＝Ce3t／10，將y｜t＝0＝5代入通解得C＝5，所以國(guó)民收入函數(shù)為y＝5e3t／10．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)25、證明x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0滿足y(2)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把y(2)＝1代入x4－2x2y2＝8中，方程成立；x4－2x2y2＝8兩邊同時(shí)微分得4x3dx－4xy2dx－4x2ydy＝0，整理可得(x2－y2)dx－xydy＝0，所以x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0滿足y(2)＝1的特解．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求微分方程y”－8y’＋20y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2－8r＋20＝0，其特征根為r1,2＝4±2i，故原方程的通解為y＝(C1sin2x＋C2cos2x)e4x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求滿足微分方程y”－12y’＋36y＝0的曲線，使其在點(diǎn)(0，1)處與直線y＝5x＋1相切．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程的特征方程為r2－12r＋36＝0，即(r－6)2＝0，解得特征根為r1＝r2＝6，故原方程的通解為y＝(C1＋C2x)e6x，則y’＝C2e6x＋6(C1＋C2x)e6x，又由題意可知y(0)＝1，y’(0)＝5，所以可得C1＝1，C2＝－1，故曲線為y＝(1－x)e6x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求y”＋y’－12y＝(x＋2)e－x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋r－12＝0，解得r1＝－4，r2＝3，所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y＝C1e－x＋C2e3x，又f(x)＝(x＋2)e－x中λ＝－1不是特征方程的根，故設(shè)原方程的特解為y*＝e－x(Ax＋B)，則(y*)’＝e－x(－Ax－B＋A)，(y*)”＝e－x(Ax＋B－2A)，代入原方程得e－x(Ax＋B－2A)＋e－x(－Ax－B＋A)－12e－x(Ax＋B)＝(x＋2)e－x，解得A＝－1／12，B＝－23／144，故原方程的通解為y＝Y(jié)＋y*＝C1e－4x＋C2e3x－e－x(x／12＋23／144)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第4套一、單項(xiàng)選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列方程是二階線性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由二階線性微分方程的定義可知D項(xiàng)正確．A、C項(xiàng)是非線性的微分方程，B項(xiàng)是三階的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)的解，則φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，則φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分離變量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：C項(xiàng)整理可得dy／y＝－dx／x，是可分離變量微分方程，其他三項(xiàng)的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函數(shù)y＝f(x)是微分方程2y’＝y(tǒng)滿足初始條件y｜x＝4＝1的特解，則f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程分離變量可得，兩邊積分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始條件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解為y＝f(x)＝當(dāng)x＝16時(shí)，f(16)＝e2，故選C．5、微分方程dy／dx＝y(tǒng)／x＋2(y／x)2滿足y｜x＝1＝－1／2的特解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令u＝y(tǒng)／x，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分離變量得du／2u2＝dx／x，兩邊積分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解為y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1＝r2＝r，則方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的根的情況可得該方程的通解為y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲線y＝y(tǒng)(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線平行于直線2x－y＋5＝0，而y(x)滿足微分方程y”－6y’＋9y＝0，則此曲線方程為y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程的特征方程為r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根為r1＝r2＝3，所以二階齊次方程的通解為y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由題意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲線方程為y＝2xe3x．8、設(shè)y＝y(tǒng)(x)是二階常系數(shù)微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)’(0)＝0的特解，則()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0處連續(xù)，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，則二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＋y4＝ex＋C知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得(2y＋4y3)dy＝exdz，兩邊積分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解為y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0滿足y｜x＝0＝0的特解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4ey＝＋3知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得eydy＝xdx，兩邊積分有∫eydy＝∫xdx，即ey＋C．將初始條件y｜x＝0＝0代入得C＝3／4，則方程的特解為4ey＝＋3．11、已知曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)(0，－1／2)，且其上任一點(diǎn)(x，y)處的切線斜率均為xln(1＋x2)，則f’(x)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知y’＝xln(1＋x2)，即dy＝xln(1＋x2)dx，等式兩端積分得y＝∫xln(1＋x2)dx＝(1／2)ln(1＋x2)d(1＋x2)＝＝(1／2)(x2＋1)ln(1＋x2)－x2／2＋C．把(0，－1／2)代入上式，得C＝－1／2，故f(x)＝(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2．12、設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f’(x)＝xf(x)／(1＋x2)，f(0)＝m，如果xf(x)dx＝3，則m＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：9／26知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得而df(x)／f(x)＝xdx／(1＋x2)，兩邊積分得ln｜f(x))｜＝ln(1＋x2)／2＋C1，即f(x)＝C(1＋x2)1／2．又f(0)＝m，則C＝m，故f(x)＝m(1＋x2)1／2，則所以m＝9／26．13、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y＝C1e－x＋C2e2x，則該微分方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y”－y’－2y＝0知識(shí)點(diǎn)解析：由該二階齊次線性微分方程的通解可知該方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為r1＝－1，r2＝2，所以對(duì)應(yīng)的特征方程為(r＋1)(r－2)＝r2－r－2＝0，故該微分方程為y”－y’－2y＝0．14、微分方程y”＋9y＝0的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1cos3x＋C2sin3x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2＋9＝0，解得特征根為r1，2＝±3i，故通解為y＝C1cos3x＋C2sin3x．15、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋ay’＋by＝0的通解為y＝C1ex＋C2e2x，那么可得非齊次微分方程y”＋ay’＋by＝1的一個(gè)特解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*＝1／2知識(shí)點(diǎn)解析：二階常系數(shù)齊次線性方程對(duì)應(yīng)的特征方程為r2＋ar＋b＝0，又由通解可得特征根r1＝1，r2＝2，即(r－1)(r－2)＝r2－3r＋2＝0，故a＝－3，b＝2，所以非齊次微分方程為y”－3y’＋2y＝1．由于λ＝0不是特征方程的根，因此設(shè)特解y*＝A，則(y*)’＝0，(y*)”＝0，代入可得A＝1／2，所以y*＝1／2．三、計(jì)算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)16、求微分方程ysin(x／2)dx－cos(x／2)dy＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得dy／y＝，兩邊積分有l(wèi)n｜y｜＝－2ln｜c(diǎn)os(x／2)｜＋ln｜C1｜，故方程通解為y＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求方程(1＋x2)ydy＋(1＋y4)dx＝0滿足y｜x＝0＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程分離變量得兩邊積分有，即rctany2／2＝－arctanx＋C，將初始條件y｜x＝0＝1代入得C＝π／8，則方程的特解為arctany2＋2arctanxπ＝π／4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程secx．y’＋tanx．y＝ecosx的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程改寫成y’＋ysinx＝cosxecosx，則通解為y＝e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx＋C)＝ecosx(∫cosxdx＋C)＝ecosx(sinx＋C)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求微分方程xy’＋2y＝xlnx滿足y(1)＝－1／9的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程xy’＋2y＝xlnx兩邊同時(shí)除以x，得y’＋2y／x＝lnx，此為一階非齊次線性微分方程，則利用通解公式得又因?yàn)閥(1)＝－1／9，所以－1／9＋C＝－1／9，解得C＝0，從而得特解y＝xlnx／3－x／9．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)兩端對(duì)x求導(dǎo)得xf(x)＝2x＋f’(x)，即f’(x)－xf(x)＝－2x，則通解為等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)中，令x＝0，得f(0)＝0，代入通解中得C＝－2，故f(x)＝2－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)＝∫0xf(t)dt＋2∫01tf2(t)dt，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫01tf2(t)dt＝a≥0，則f(x)＝∫0xf(t)dt＋2a．上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f’(x)＝f(x)，解得f(x)＝Cex．又由已知條件可知f(0)＝2a，所以C＝2a，從而f(x)＝2aex．再將f(t)＝2aet代入∫01tf2(t)dt＝a中，得4a2∫01te2tdt＝a，可解得a＝0或1／(e2＋1)，所以f(x)＝0或2ex／(e2＋1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求y”＝3y2／2滿足條件y(3)＝1，y’(3)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程不顯含x，因此令y’＝p，則y”＝pdp／dy，將其代入原方程并分離變量得2pdp＝3y2dy，兩邊積分得p2＝y(tǒng)3＋C1．由y｜x＝3＝1，y’｜x＝3＝1得C1＝0，p＝y(tǒng)3／2(因?yàn)閥’｜x＝3＝1＞0，所以取正號(hào))，即y－3／2dy＝dx，兩邊積分得－2y－1／2＝x＋C2．將y｜x＝3＝1代入得C2＝－5，所以特解為y＝4／(x－5)2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、假設(shè)：(1)函數(shù)y＝f(x))(0≤x＜＋∞)滿足條件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y軸的動(dòng)直線MN與曲線y＝f(x)和y＝ex－1分別相交于點(diǎn)P1和P2；(3)曲線y＝f(x)、直線MN與x軸所圍成的封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長(zhǎng)度．求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可得圖設(shè)直線MN對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為x，則由已知條件可知∫0xf(t)dt＝ex－1－f(x)兩端分別對(duì)x求導(dǎo)得f(x)＝ex－f’(x)，即f’(x)＋f(x)＝ex，由一階非齊次線性微分方程的通解公式得f(x)＝(∫ex．e∫dxdx＋C)e－∫dx＝(∫ex．exdx＋C)e－x＝Ce－x＋ex／2．由f(0)＝0得C＝－1／2，因此所求函數(shù)為f(x)＝(ex－e－x)／2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析人工繁殖細(xì)菌，其增長(zhǎng)速度和當(dāng)時(shí)的細(xì)菌數(shù)成正比．24、如果經(jīng)過(guò)4小時(shí)的細(xì)菌數(shù)為原細(xì)菌數(shù)x0的2倍，那么經(jīng)過(guò)12小時(shí)應(yīng)有多少細(xì)菌?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)為x(t)，由題意可知dx／dt＝kx(k為比例系數(shù))，得x＝Cekt，又t＝0時(shí)，x＝x0，則x＝x0ekt．又t＝4時(shí)，x(4)＝x0e4k＝2x0，則ek＝21／4，x(t)＝x0．2t／4，故t＝12時(shí)，x(12)＝x0．212／4＝8x0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、若在3小時(shí)的時(shí)候，有細(xì)菌數(shù)104個(gè)，在5小時(shí)的時(shí)候有4×104個(gè)，那么在開始時(shí)有多少個(gè)細(xì)菌?標(biāo)準(zhǔn)答案：x(t)＝x0ekt，則解得x0＝1250，即開始時(shí)有1250個(gè)細(xì)菌．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)26、求微分方程y”－4y’＋4y＝0滿足初始條件y(0)＝3，y’(0)＝9的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2－4r＋4＝0，其特征根為r＝2(二重根)，故原方程的通解為y＝(C2x＋C2)e2x，則y’＝(2C1x＋2C2＋C1)e2x，將初始條件y(0)＝3，y’(0)＝9代入得C1＝3，C2＝3，故原方程的特解為y＝3(x＋1)e2x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知函數(shù)y＝e3x是微分方程y”－2y’＋ay＝0的一個(gè)特解，求常數(shù)a的值，并求該微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把y＝e3x，y’＝3e3x，y”＝9e3x代入微分方程y”－2y’＋ay＝0中，得(3＋a)e3x＝0，所以a＝－3，故方程為y”－2y’－3y＝0；微分方程y”－2y’－3y＝0的特征方程為r2－2r－3＝0，可求得方程的特征根為r1＝3，r2＝－1，故原微分方程的通解為y＝C1e3x＋C2e－x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求y”＋4y’－12y＝xe2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋4r－12＝0，解得r1＝2，r2＝－6，所以對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y＝C1e2x＋C2e－6x，又f(x)＝xe2x中λ＝2是特征方程的單根，故設(shè)原方程的特解為y*＝xe2x(Ax＋B)，則(y*)’＝[2Ax2＋(2A＋2B)x＋B]e2x，(y*)”＝[4Ax2＋(8A＋4B)x＋2A＋4B]e2x，代入原方程得(16Ax＋2A＋8B)e2x＝xe2x，解得A＝1／16，B＝－1／64，故原方程的通解為y＝C1e2x＋C2e－6x＋xe2x(x／16－1／64)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第5套一、單項(xiàng)選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列方程是微分方程的是()A、2y5＋x2＋6xy＝0B、(x－y)2＋(x＋y)2＝16C、(y’)5＋xy(4)－y2＝0D、4x2＋9y2＝36標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分與自變量之間的關(guān)系的方程，故C項(xiàng)為微分方程．2、下列函數(shù)可以作為某個(gè)二階微分方程的通解的是()A、y＝CsinxB、y＝C1sin3x＋C22cos3xC、y＝sin3x＋cos3xD、y＝(C1＋C2)cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二階微分方程的通解中應(yīng)含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，故排除A、C、D項(xiàng)，選B．3、微分方程3x2＋5x－5y’＝0的通解為()A、y＝x3／4＋x2／3＋CB、y＝x3＋x2＋CC、y＝x3／5＋x2／2＋CD、y＝x3／5＋x2／2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程分離變量為dy＝(3x2＋5x)dx，兩邊同時(shí)積分可得y＝x3／5＋x2／2＋C．4、9．設(shè)函數(shù)y(x)滿足微分方程cos2x．y’＋y＝tanx，且當(dāng)x＝π／4時(shí)，y＝0，則當(dāng)x＝0時(shí)，y＝()A、π／4B、－π／4C、－1D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊同時(shí)除以cos2x，得y’＋sec2．y＝tansec2x，此為一階非齊次線性微分方程，由通解公式可得又當(dāng)x＝π／4時(shí)，y＝0，則C＝0，即y＝tanx－1，所以x＝0時(shí)，y＝－1，故選C．5、已知微分方程(ey＋e－y)y”＝2(y’)2，降階時(shí)可令y’＝P，則需將y”轉(zhuǎn)化為()A、dp／dxB、xdp／dxC、pdp／dyD、dp／dy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于可降階方程中的y”＝f(y，y’)型，需令y’＝p，則y”＝dp／dx＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，故選C．6、設(shè)y＝f(x)是方程y”－3y’＋5y＝0的一個(gè)解，若f’(x0)＝0，且f(x0)＞0，則函數(shù)f(x)()A、在點(diǎn)x0處取得極大值B、在點(diǎn)x0處取得極小值C、在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)遞增D、在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)遞減標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知f"(x)－3f’(x0)＋5f(x0)＝0，結(jié)合f(x0)＞0，f’(x0)＝0，可得f"(x0)＝－5f(x0)＜0，由極值的充分條件可知，x＝x0是f(x)的極大值點(diǎn)．故選A．7、已知二階微分方程y”＋y’－6y＝3e2xsinx，則可設(shè)其特解形式為y*＝()A、e2xz(acosx＋bsinx)B、e2x(acos2x＋bsin2x)C、xe2x(acosx＋bsinx)D、xe2x(acos2x＋bsin2x)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋r－6＝0，解得r1＝－3，r2＝2，而λ±iω＝2±i不是特征根，所以y”＋y’－6y＝3e2xsinx的特解形式可設(shè)為y*＝e2x(acosx＋bsinx)，故選A．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設(shè)函數(shù)y＝ae－x＋be5x是某個(gè)二階微分方程滿足初始條件y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9的特解，a，b為常數(shù)，則a＝________，b＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，2知識(shí)點(diǎn)解析：y＝ae－x＋be5x，y’＝－ae－x＋5be5x，將y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9代入，有解得9、微分方程3extanydx＋(1－ex)sec2ydy＝0的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：tany＝C(ex－1)3知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量為(sec2y／tany)dy＝[3ex／(ex－1)]dy，兩邊積分得ln｜tany｜＝3ln｜ex－1｜＋ln｜C｜，所以方程的通解為tany＝C(ex－1)3．10、微分方程y’－2y／(x＋1)＝(x＋1)5／2的通解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝(x＋1)2知識(shí)點(diǎn)解析：由通解公式得微分方程的通解為11、微分方程xy’－xsin(y／x)－y＝0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為dy／dx＝sin(y／x)＋y／x，令y／x＝u，即y＝xu，于是dy／dx＝u＋xdu／dx，將上式代入微分方程得u＋xdu／dxdu＝sinu＋u，整理得cscudu＝dx／x，兩邊積分得ln｜c(diǎn)scu－cotu｜＝In｜x｜＋ln｜C｜，即cscu－cotu＝Cx，將u＝y(tǒng)／x代入上式，得原方程的通解為csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx．12、滿足方程y”＝x，且在點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y＝x／2＋1的曲線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝x3／6＋x／2＋1知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)方程y”＝x兩邊積分得y’＝x2／2＋C1，再積分得y＝x3／6＋C1x＋C．由曲線過(guò)點(diǎn)(0，1)可得C＝1；又曲線在該點(diǎn)處的切線方程為y＝x／2＋1，所以y’(0)＝1／2，則C1＝1／2，故所求曲線方程為y＝x3／6＋x／2＋1．13、微分方程y”－11y’＋10y＝0的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1ex＋C2e10x知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為r2－11r＋10＝0，特征根為r1＝1，r2＝10，故通解為y＝C2ex＋C2e10x．14、已知某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)特解y1＝ex，y2＝e2x，則該方程滿足初始條件y(0)＝1，y’(0)＝3的解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝－ex＋2e2x知識(shí)點(diǎn)解析：y1，y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，所以由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)得y＝C1y1＋C2y2＝C1ex＋C2e2x是該方程的通解．又y’＝C1ex＋2C2e2x，將初始條件y(0)＝1，y’(0)＝3代入可得C1＝－1，C2＝2，故所求解為y＝－ex＋2e2x．15、已知二階常系數(shù)非齊次微分方程y”－5y’＋6y＝xe2x，它的一個(gè)特解可設(shè)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y*＝x(Ax＋B)e2x知識(shí)點(diǎn)解析：方程對(duì)應(yīng)的二階齊次線性微分方程的特征方程為r2－5r＋6＝(r－2)(r－3)＝0，所以r1＝2，r2＝3，f(x)＝xe2x中，λ＝2是該特征方程的單根，所以特解形式可設(shè)為y*＝x(Ax＋B)e2x．三、計(jì)算題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)16、求微分方程y’sinx＝y(tǒng)lny滿足初始條件y(π／2)＝e的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程y’sinx＝y(tǒng)lny分離變量得，兩溈積分得則ln｜lny｜＝ln｜c(diǎn)scx－cotx｜＋ln｜C｜，lny＝C(cscx－cotx)，即通解為y＝eC(cscx－cotx)．將y(π／2)＝e代入通解得C＝1，故原方程的特解為y＝ecscx－cotx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求微分方程(y2－x2)dx－xydy＝0滿足y｜x＝1＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為dy／dx＝(y2－x2)／xy＝y(tǒng)／x－x／y，令u＝y(tǒng)／x，則dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式得u＋xdu／dx＝u－1／u，整理后并分離變量可得－udu＝dx／x，兩邊積分得－u2／2＝ln｜x｜＋C1，即y2＝y(tǒng)2(C－2ln｜x｜)，又y｜x＝1＝1，所以C＝1，故所求特解為y2＝x2(1－2ln｜x｜)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求微分方程dy／dx＝y(tǒng)／(2x－y2)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)把x看作未知函數(shù)時(shí)，可以得到線性微分方程dx／dy－2x／y＝－y．于是由一階非齊次線性微分方程的通解公式得原方程的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)y＝ex是微分方程xy’＋p(x)y＝x的一個(gè)特解，求該微分方程滿足條件y(in2)＝0的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將y＝ex，y’＝ex代入微分方程xy’＋p(x)y＝x得xex＋P(x)ex＝x，從而p(x)＝xe－x－x，微分方程變?yōu)閤y’＋(xe－x－xz)y＝x。即y’＋(e－x－1)y＝1，此為一階非齊次線性微分方程，其通解為將y(ln2)＝0代入通解得C＝－e－1／2，故所求特解為y＝ex－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求一個(gè)不恒等于零的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，使它滿足f2(x)＝∫0x[f(t)sint／(2＋cost)]dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：f2(x)＝∫0xf(t)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)可得2f(x)．f’(x)＝f(x)，因?yàn)閒(x)不恒等于零，所以令y＝f(x)，解微分方程，分離變量得dy＝兩端積分得，所以y＝f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋C，又因?yàn)閒(0)＝0，可得C＝ln3／2，所以所求函數(shù)f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋ln3／2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求y”＝y(tǒng)’＋x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’＝p，則y”d2P’，原方程化為p’－p＝x，解此一階非齊次線性微分方程得p＝e∫dx(∫xe－∫dxdx＋C1)＝ex(∫xe－xdx＋C1)＝C1ex－x－1，即y’＝C1ex－x－1，分離變量后兩邊積分得通解為y＝C1ex－x2／2－x＋C2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求方程x2y”＋2xy’＝1滿足條件y(1)＝0，y’(1)＝1的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將原方程改寫為y”＋2y’／x＝1／x2，令y’＝p，則y”＝p’，方程可寫為p’＋2p／x＝1／x2，則代入y’(1)＝1，得C＝0，即y’＝1／x，分離變量并兩邊積分得y＝ln｜x｜＋C1，由y(1)＝0得C1＝0，則所求特解為y＝In｜x｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)函數(shù)f(t)在[0，＋∞)上連續(xù)，且滿足方程f(t)＝，求f(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然f(0)＝1，由于于是f(t)＝解上述關(guān)于f(t)的一階非齊次線性微分方程，得代入f(0)＝1，得C＝1．因此f(t)＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析四、證明題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)24、求微分方程y”－3y＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2－3＝0，其特征根為r1＝，r2＝－．故原方程的通解為y＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求微分方程y”－4y’＋13y＝0滿足初始條件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝3的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：微分方程的特征方程為r2－4r＋13＝0，解得特征根為r1，2＝2±3i，故方程的通解為y＝e2x(C1cos3x＋C2sin3x)，且有y’＝e2x[(2C1＋3C2)cos3x＋(2C2－3C1)sin3x]，代入初始條件得所以所求特解為y＝e2xsin3x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求微分方程y”－4y’＋8y＝sinx的一個(gè)特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程對(duì)應(yīng)的二階齊次方程的特征方程為r2－4r＋8＝0，特征根為r1,2＝2±2i，因?yàn)閒(x)＝sinx中±i不是特征根，所以設(shè)特解為y*＝C1sinx＋C2cosx，則(y*)’＝C1cosx－C2sinx，(y*)”＝－C1sinx－C1cosx，代入原方程得解得C1＝7／65，C2＝4／65，所以特解為y*＝7sinx／65＋4cosx／65．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知二階可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝x3＋1－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f’(x)＝3x2－∫0xf(t)dt－xf(x)＋xf(x)＝3x2－∫0xf(t)dt，再求導(dǎo)得f"(x)＝6x－f(x)，即f"(x)＋f(x)＝6x，這是二階非齊次線性微分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2＋1＝0，所以r1＝i，r2＝－i，故對(duì)應(yīng)二階齊次微分方程通解為Y＝C1cosx＋C2sinx．因?yàn)閒(x)＝6x中λ＝0不是該特征方程的特征根，故特解形式為y*＝Ax＋B，(y*)’＝A，(y*)”＝0。代入原方程得Ax＋B＝6x，解得A＝6，B＝0，則y*＝6x，故通解為f(x)＝Y(jié)＋y*＝C1cosx＋C2sinx＋6x，則f’(x)＝－C1sinx＋C2cosx＋6．又方程滿足f(0)＝1，f’(0)＝0，代入解得C1＝1，C2＝－6，故函數(shù)f(x)＝cosx－6sinx＋6x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析云南專升本數(shù)學(xué)（常微分方程）模擬試卷第5套一、單項(xiàng)選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列方程是二階線性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由二階線性微分方程的定義可知D項(xiàng)正確．A、C項(xiàng)是非線性的微分方程，B項(xiàng)是三階的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)的解，則φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y(tǒng)／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，則φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分離變量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：C項(xiàng)整理可得dy／y＝－dx／x，是可分離變量微分方程，其他三項(xiàng)的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函數(shù)y＝f(x)是微分方程2y’＝y(tǒng)滿足初始條件y｜x＝4＝1的特解，則f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程分離變量可得，兩邊積分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始條件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解為y＝f(x)＝當(dāng)x＝16時(shí)，f(16)＝e2，故選C．5、微分方程dy／dx＝y(tǒng)／x＋2(y／x)2滿足y｜x＝1＝－1／2的特解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令u＝y(tǒng)／x，則y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分離變量得du／2u2＝dx／x，兩邊積分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解為y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1＝r2＝r，則方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的根的情況可得該方程的通解為y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲線y＝y(tǒng)(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線平行于直線2x－y＋5＝0，而y(x)滿足微分方程y”－6y’＋9y＝0，則此曲線方程為y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程的特征方程為r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根為r1＝r2＝3，所以二階齊次方程的通解為y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由題意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲線方程為y＝2xe3x．8、設(shè)y＝y(tǒng)(x)是二階常系數(shù)微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x滿足初始條件y(0)＝y(tǒng)’(0)＝0的特解，則()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0處連續(xù)，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，則二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＋y4＝ex＋C知識(shí)點(diǎn)解析：方程分離變量得(2y＋4y3)dy＝exdz，兩邊積分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解為y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0滿足y｜x＝0＝0的特解為________．