專題02實數（中等類型）

思維導圖專題02實數思維導圖【類型覆蓋】類型一、實數的非負性【解惑】若，則等于（

）A．1 B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查算術平方根的非負性，根據非負性求出的值，再代入求值即可．【詳解】∵，，，∴，，解得，，∴，故選：B．【融會貫通】1．若，則等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．1【答案】A【分析】本題主要考查非負數的性質，根據非負數的性質求出的值，再代入即可求出．【詳解】解：，，故選：A．2．若與互為相反數，則的絕對值為．【答案】/【分析】本題考查了相反數，絕對值，算術平方根的非負性，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據題意可得，再利用算術平方根和絕對值的非負性求出、，最后根據絕對值的意義進行計算即可．【詳解】解：與互為相反數又，，，，故答案為：．3．若a，b為實數，且滿足，那么．【答案】8【分析】此題考查了絕對值的非負性及算術平方根的非負性，正確理解非負性是解題的關鍵．根據絕對值的非負性及算術平方根的非負性得到，，即可求出答案．【詳解】∵∴，∴，，∴．故答案為：8．類型二、估算算術平方根【解惑】估計的值應在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【分析】本題主要考查了無理數的估算，根據題意得到是解題的關鍵．先估算出的范圍，再得到的范圍，即可求解．【詳解】解：，，，估計的值應在5和6之間，故選：．【融會貫通】1．估計的值是在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【分析】本題考查估算無理數大小，解題的關鍵是掌握算術平方根的定義，能估算無理數大小．由，可得，即可得到答案．【詳解】解：，，故選：B2．已知為兩個連續(xù)的整數，且，則的值為．【答案】25【分析】本題考查了估算無理數的大小，根據得到，，再代入求值即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，，∴，故答案為：．3．已知a，b為兩個連續(xù)整數，且，則．【答案】7【分析】本題主要考查了無理數大小的估算以及代數式求值，先估算出即可得出，，，再代入代數式求值即可．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為兩個連續(xù)整數，且，∴，，∴．故答案為：7．類型三、實數的大小比較【解惑】在數軸上有兩個實數，且，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了實數與數軸及相反數的定義，由數軸上的數右邊的數總是大于左邊的數可得：，利用a到原點距離大于b到原點距離，再根據相反數的定義即可判斷．【詳解】解：，，，，，，故選項A正確，符合題意，選項B，C，D不正確，不符合題意；故選：A．【融會貫通】1．比較3，，的大小，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了實數的大小比較，能熟練化簡二次根式和三次根式是解題的關鍵，當二次根式和三次根式無法再化簡時，可把整數化成二次根式或者三次根式的形式再做比較.先把3化成二次根式和三次根式的形式，再把3和做比較即可得到答案.【詳解】解：∵∴，，故，故答案為：D.2．比較大?。海ㄕ?zhí)顚憽?gt;”、“<”或“=”）．【答案】【分析】本題主要考查了實數大小比較，將兩個無理數平方即可比較出大小．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．3．比較大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本題考查了實數大小的比較，關鍵要熟記實數大小的比較方法：正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而?。鶕?，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．類型四、實數的絕對值化簡【解惑】實數在數軸上對應的點的位置如圖所示，計算的結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查實數與數軸，無理數的估算，絕對值的化簡，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由數軸可知，，即，，再運算絕對值即可求解．【詳解】解：由數軸可知，，即，，．故選：B．【融會貫通】1．實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡的結果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查實數與數軸化簡絕對值，求一個數的算術平方根．先根據數軸，得到，進而得到，再根據絕對值和算術平方根的定義，進行化簡即可．【詳解】解：由數軸可知：，∴，∴；故選A．2．實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡代數式．【答案】/【分析】本題考查實數和數軸，化簡絕對值，求算術平方根和立方根，根據點在數軸上的位置，判斷式子的符號，進行化簡計算即可．【詳解】解：由圖可知：．故答案為：3．實數a，b，c是數軸上三點A，B，C所對應的數，如圖，(1)比較大小a0；0；0；0(2)化簡：【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了實數與數軸，實數的性質：（1）根據數軸可得，據此可得答案；（2）根據（1）所求先計算算術平方根，立方根和絕對值，再合并同類項即可得到答案．【詳解】（1）解：由數軸可知，，∴，；故答案為：；（2）解：∵，，∴．類型五、程序下的實數運算【解惑】根據以下程序，當輸入時，輸出的值為（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】判斷輸入的的值與1的大小，再將代入正確的關系式計算即可．本題主要考查程序框圖的應用，解題的關鍵在于正確判斷輸入的值與1的大小關系，從而將的值代入正確的關系式．【詳解】解：，．故選：D．【融會貫通】1．有一個數值轉換器，原理如圖所示，若輸出的y為時，則輸入的x值是（

）A．3 B．3或9 C．（n為正整數） D．3或（n為正整數）【答案】D【分析】本題考查算術平方根和無理數，正確理解題目中規(guī)定的運算是關鍵．根據運算的定義即可直接求解；【詳解】解：當輸入的數是3時，輸出的y為；當輸入的數是時，輸出的y為；當輸入的數是時，輸出的y為；……所以當輸出的y為時，輸入的數一定是3或（n為正整數），故選：D．2．在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數的運算程序如圖所示，若輸出的y值為時，則輸入的實數x可取的負整數值是．【答案】或【分析】本題考查了實數的運算，理解程序的運算步驟是解題的關鍵．按照程序的運算步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：若1次運算輸出的值是時，，，解得：或；若2次運算輸出的值是時，，，解答：或；若3次運算輸出的值是時，，，解答：或；，且取負整數，或，故答案為：或．3．如圖是一個數值轉換器示意圖：(1)當輸入的x為36時，輸出的y的值是_______；(2)若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是_______；(3)若輸出的，則x的最小整數值是_______.【答案】(1)(2)0和1(3)5【分析】本題考查了算術平方根的計算和無理數的判斷，（1）根據運算規(guī)則即可求解；（2）根據0的算術平方根是0，1的算術平方根是1即可判斷；（3）先得出輸入的，，再根據運算法則，進行逆運算即可求解．【詳解】（1）解：當時，取算術平方根，不是無理數，繼續(xù)取6算術平方根，是無理數，所以輸出的y值為；故答案為：；（2）解：當，1時，始終輸不出y值．因為0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，一定是有理數；故答案為：0，1；（3）∵輸出的，∴，∴輸入的，當時，5的算術平方根是，是無理數，所以輸出的y值為，∴x的最小整數值是．類型六、算術平方根、立方根的規(guī)律【解惑】如何迅速準確地計算出四位數的算術平方根呢？按照下面思路你也能辦到．(1)以下是小明探究的過程，請補充完整：①由，可以確定是位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較小的個位數字，則__________．(2)已知也是一個整數的平方，請根據材料的方法求出，并說明理由．【答案】(1)①兩；②，；③(2)，理由見解析【分析】本題考查算術平方根；（1）根據所提供的方法進行計算即可；（2）按照（1）中的步驟和方法進行計解答即可．【詳解】（1）解：①由，可以確定是兩位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較小的個位數字，則．故答案為：①兩；②，；③；（2）已知也是一個整數的平方，根據材料的方法求出的過程如下：①由，可以確定是兩位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較大的個位數字，則．【融會貫通】1．（1）觀察發(fā)現：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）歸納總結：被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向______移動______位．（3）規(guī)律運用：①已知，則______；②已知，則m＝______．【答案】（1）0.1；10

（2）右；1

（3）①②25【分析】本題考查算術平方根中的規(guī)律探索題：（1）直接計算即可；（2）觀察（1）中表格數據，找出規(guī)律；（3）利用（2）中找出的規(guī)律求解．【詳解】解：（1），，故答案為：，10；（2）由表格中的數據可知被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向右移動1位．故答案為：右，1；（3）①已知，則，②已知，，則，∴故答案為：①22.4；②25．2．閱讀下列解題過程：……(1)計算：(2)按照你所發(fā)現的規(guī)律，猜想：（n為正整數）；(3)計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了實數的運算，數式規(guī)律探究，發(fā)現數字運算的規(guī)律并熟練應用是解題的關鍵．（1）利用算術平方根的意義解答即可；（2）利用式子的規(guī)律解答即可；（3）利用上面的規(guī)律將每個算術平方根化簡，再利用分數的乘法的法則運算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：依據上述運算的規(guī)律可得：＝，故答案為：；（3）解：原式．3．（1）填表并觀察規(guī)律：a0.00640.64646400____________________________________________（2）根據你發(fā)現的規(guī)律填空：①已知，則___________；②已知，則___________．（3）從以上問題的解決過程中，你發(fā)現了什么規(guī)律，試簡要說明．【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一個數的算術平方根時，被開方數擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術平方根擴大10倍或縮小為原來的【分析】本題考查算術平方根中的規(guī)律探究：（1）根據算術平方根的定義，填表即可；（2）根據表格可知：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術平方根擴大10倍或縮小為原來的，進行求解即可；（3）根據表格可知：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術平方根擴大10倍或縮小為原來的，作答即可．【詳解】解：（1）填表如下：a0.00640.646464000.080.8880（2）①，則：；故答案為：5800；②已知，則；故答案為：0.001225；（3）由表格可知：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大100倍或縮小為原來的，則它的算術平方根擴大10倍或縮小為原來的．類型七、平方根、立方根解方程【解惑】求下列各式中x的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了利用平方根解方程，正確掌握平方根的定義是解題的關鍵．（1）先方程兩邊同時除以2，再開平方，即可作答．（2）先移項，再開平方，即可作答．【詳解】（1）解：，，解得；（2）解：，，∴．【融會貫通】1．求的值．(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程：（1）根據求平方根的方法解方程即可；（2）根據求平方根的方法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或；（2）解：∵，∴，∴，∴或．2．求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)，【分析】本題考查了利用平方根解方程：（1）根據平方根定義即可求解；（2）移項后，根據平方根定義即可求解；（3）化系數為1后，根據平方根定義即可求解；（4）移項后，根據平方根定義即可求解；熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，．（2）移項，得：,．（3）整理得：，．（4）移項，得：，，，．3．求下列式子中的值．（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了運用平方根解方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）方程兩邊同時開方，即可作答．（2）方程兩邊先除以4，再開方，即可作答．【詳解】解：（1）∴（2）類型八、平方根與立方根的實際應用【解惑】如圖，用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形．(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為且面積為？她不知能否剪得出來，正在發(fā)愁．小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？【答案】(1)(2)解：不同意小明的說法，我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片，理由見解析【分析】本題考查平方根的實際應用，讀懂題意，由算術平方根及平方根定義列式求解即可得到答案，讀懂題意，由平方根定義列式求解是解決問題的關鍵．（1）根據題意，利用算術平方根列式求解即可得到答案；（2）設長方形紙片的長為，寬為，由題意得到求解即可得到答案．【詳解】（1）解：用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形，大正方形的邊長為；（2）解：不同意小明的說法；我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．理由如下：設長方形紙片的長為，寬為，根據題意得，解得或（負值，舍去），即長方形的長為，寬為，∵，不符合題意，∴小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．【融會貫通】1．一塊長方形空地面積為1500平方米，其長寬之比為．(1)求這塊長方形空地的周長；(2)如圖，在空地內修建“T字型”走道（橫向走道寬度不變）后將空地分割成兩個花壇（花壇1為正方形，花壇2為長方形，其長寬之比為），花壇的總面積為1176平方米，寬度為米的農藥噴灑車能不能在走道上正常通行？【答案】(1)這塊長方形空地的周長為米(2)寬度為米的農藥噴灑車能不能在走道上正常通行【分析】本題考查了平方根的應用；（1）設長方形空地的長為，則寬為，根據面積為1500平方米列式，利用平方根的性質求出x，得到長方形空地的長和寬，然后即可計算周長；（2）設花壇2的寬為y，則長為，正方形花壇1的邊長為，根據總面積為1176平方米列式，利用平方根的性質求出x，計算出“T字型”走道的寬，進行比較即可．【詳解】（1）解：設長方形空地的長為，則寬為，由題意得：，∴（負值已舍去），∴，，∴這塊長方形空地的周長為米；（2）設花壇2的寬為y，則長為，正方形花壇1的邊長為，由題意得：，解得：（負值已舍去），∴花壇2的寬為14，正方形花壇1的邊長為，∵，∴寬度為米的農藥噴灑車能不能在走道上正常通行．2．如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．(1)求該正方體鐵塊的棱長及表面積；(2)現在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．【答案】(1)棱長為厘米，表面積為平方厘米(2)5厘米【分析】本題考查了立方根、平方根的應用，熟練掌握相關知識點是解此題的關鍵．（1）根據正方體的體積公式和立方根的定義進行解答即可；（2）設長方體鐵塊的底面正方形的邊長為x厘米，根據題意列出式子計算即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意可知，該正方體鐵塊的棱長為（厘米）；該正方體鐵塊的表面積為（平方厘米）；（2）解：設長方體鐵塊的底面正方形的邊長為x厘米．由題意，得，解得（負值已舍去）．答：長方體鐵塊的底面正方形的邊長為5厘米．3．如圖1，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組成，體積為27．(1)求出這個魔方的棱長．(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．(3)在圖2的方格中畫一個面積為10的正方形．【答案】(1)3(2)5，(3)見解析【分析】本題考查了立方根的計算，勾股定理，網格作圖．(1)設魔方的棱長為x，根據題意，得，解答即可．(2)根據分割法求面積，根據正方形的性質求邊長即可．(3)設正方形的邊長為m，根據題意，得，求得邊長，再仿照陰影圖形的結構，畫圖解答即可．【詳解】（1）設魔方的棱長為x，根據題意，得，解得．故魔方的棱長為3．（2）∵魔方的棱長為3，∴陰影面積為：，設正方形的邊長為y，則，解得（舍去），故正方形的面積是5，邊長為．（3）設正方形的邊長為m，根據題意，得，解得（舍去），畫圖如下：【一覽眾山小】1．在實數，，，中，最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了實數大小比較：正數大于0，負數小于0；負數的絕對值越大，這個數越小．先化簡絕對值，根據負數的絕對值越大，這個數越小即可進行比較．【詳解】解：∵∴，故選：C．2．如圖，數軸上表示1，的點分別為A，B，點A是的中點，則點C所表示的數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了實數與數軸，實數的運算，先根據數軸上兩點距離計算公式得到，再由線段中點的定義得到，則點C表示的數為．【詳解】解：∵數軸上表示1，的點分別為A，B，∴，∵點A是的中點，∴，∴點C表示的數為，故選：C．3．估算的值約為（誤差小于0.1）（