函數(shù)的概念與性質(zhì)講義高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念：定義域【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，求函數(shù)定義域的一般方法有：（1）分式的分母不為________；（2）偶次根式的被開方數(shù)__________；（3）要求_________；（4）指數(shù)函數(shù)的底數(shù)___________，對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)_______________,真數(shù)_____________；（5）當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合；（6）由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問(wèn)題的要求．2.已知的定義域，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是由的取值范圍，求出的取值范圍；3.已知的定義域，求的定義域，其實(shí)質(zhì)是由的取值范圍，求的取值范圍.【例題分析】例1.函數(shù)的定義域是___________.例2.函數(shù)的定義域是___________.例3．已知的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開__________.例4．若函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的定義域是___________.例5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【變式訓(xùn)練】1．函數(shù)的定義域?yàn)開__________.2．函數(shù)的定義域?yàn)開__________.3．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開__________.4．已知定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開__________.

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的概念：對(duì)應(yīng)法則【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式一次函數(shù)解析式：_______________________；二次函數(shù)解析式：_______________________；三次函數(shù)解析式：_______________________；反比例函數(shù)解析式：_____________________；指數(shù)函數(shù)解析式：_______________________；對(duì)數(shù)函數(shù)解析式：_______________________；冪函數(shù)解析式：_________________________.2換元法求函數(shù)解析式換元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一個(gè)含的解析式，即為所求解析式.3.配湊法求函數(shù)解析式配湊法，已知，求，從的解析式中配湊出“”，即用來(lái)表示，然后將解析式中的用代替即可．利用這兩種方法求解時(shí)一定要注意的取值范圍的限定．4.解方程組法求函數(shù)解析式已知與滿足的關(guān)系式，要求時(shí)，可用代替兩邊所有的，得到關(guān)于與的方程組，消去解出即可．常見的有與，與．【例題分析】例1.已知二次函數(shù)滿足試求：求的解析式；______．

例2．已知，則的解析式為______．例3.已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為______．例4．已知,則________．例5.已知，則的解析式為______．例6．已知函數(shù)滿足，則______．例7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，且，則=______．【變式訓(xùn)練】1.已知,求二次函數(shù)的解析式;2.若函數(shù),則的解析式為______．3.已知，求的解析式______．4．已知函數(shù)滿足，則______．

知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的概念：值域【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.觀察法:主要針對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)，或作簡(jiǎn)單變形后觀察，即可求出值域或最值.2.配方法(對(duì)稱軸法):對(duì)于型如，的形式的二次函數(shù)，利用配方法或直接利用對(duì)稱軸完成，可以結(jié)合圖象討論單調(diào)性完成求值域或最值.3.換元法:代數(shù)換元法，三角換元法，運(yùn)用換元法解題時(shí)要注意確定新元的取值范圍和整體置換的策略.使用換元法時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，需求兩次值域，一次在換元時(shí)求新元的取值范圍，一次在換元后求新函數(shù)值域.（1），令.（2），令，則.（3），令.（4），令，則.（5），令，則.（6），令，則.（7）令，則.（8），令，（或令，）.（9）令，則4.圖象法(數(shù)形結(jié)合法)①一些簡(jiǎn)單函數(shù)及分段函數(shù)的求值域或最值常利用圖象完成.②求或的值域，可先分別作出其中所含函數(shù):的圖象，再利用它們的交點(diǎn)分段確定的圖象，從而確定值域或最值.③根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的幾何意義【分式轉(zhuǎn)化為斜率，平方和（平方根）轉(zhuǎn)化為距離等】，作出圖象，求出值域或最值.5.單調(diào)性法：若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值.（優(yōu)先考慮!）6.有界性法：含、、、、、的函數(shù)，若可用表示它們，則常利用其有界性來(lái)求值域或最值.（先分離常數(shù)，再利用有界性分析）7.基本(均值)不等式法：利用(一正二定三相等)等公式來(lái)求值域或最值，一定要看等號(hào)能否成立，否則用數(shù)形結(jié)合法、單調(diào)性法完成.8.判別式法：用于.(，分子、分母無(wú)公因式，且無(wú)人為限制.)先化成，再運(yùn)用求值域（但要注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況）.9.導(dǎo)數(shù)法：通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值與端點(diǎn)值，從而得出值域或最值.10.分類討論法：對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)求值域或最值，最常用的方法是數(shù)形結(jié)合、分類討論。通常先作出函數(shù)的一般圖象（形狀），再由函數(shù)圖象左右移動(dòng)悟出討論標(biāo)準(zhǔn)！二次函數(shù)，的最值問(wèn)題（對(duì)稱軸含參數(shù)問(wèn)題、區(qū)間含參數(shù)問(wèn)題）是最典型的，注意是否需要討論開口方向=1\*GB3①對(duì)稱軸與軸上區(qū)間的兩端點(diǎn)，的三種位置關(guān)系；=2\*GB3②對(duì)稱軸與軸上區(qū)間的中點(diǎn)的三種位置關(guān)系；同理:對(duì)于函數(shù)，的最值問(wèn)題（對(duì)稱軸含參數(shù)問(wèn)題），可參照上述思路解決.【例題分析】例1．，的值域?yàn)開_____．例2．函數(shù)的值域是_________例3．函數(shù)的值域?yàn)?。?．函數(shù)的值域?yàn)椤＠?．已知函數(shù)，則它的值域?yàn)?。?.已知函數(shù)，則該函數(shù)在，上的值域是。例7.函數(shù)的值域是?！咀兪接?xùn)練】1．函數(shù)，的值域是________________.2．函數(shù)的值域是________.3.函數(shù)的值域?yàn)?4.函數(shù)，，的值域?yàn)?5.函數(shù)，，的值域?yàn)開_____．

知識(shí)點(diǎn)四函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.單調(diào)性的定義：增（減）函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間．如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，，當(dāng)時(shí)，都有______________，那么就說(shuō)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，稱為的單調(diào)增區(qū)間。注意：(1)“任意”、“都有”等關(guān)鍵詞；(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間是有區(qū)別的；2.單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.3.常見函數(shù)的單調(diào)性：（1）一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上____________；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上____________.（2）二次函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)開口向________，函數(shù)在上_________，函數(shù)在上_________；當(dāng)，函數(shù)開口向________，函數(shù)在上_________，函數(shù)在上_________.（3）反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上_________，在上_________；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上_________，在上_________.注意：在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，在上不一定單調(diào)遞增4.單調(diào)性的求解：（1）導(dǎo)數(shù)法；（2）作差法；（3）作商法.5.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，注意定義域.6.單調(diào)性的應(yīng)用：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）若在定義域上單調(diào)遞增，且，只需滿足______________且_____________________；（2）若在定義域上單調(diào)遞減，且，只需滿足______________且_____________________；【例題分析】例1.下列函數(shù)值中，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的是（）A． B． C． D．例2.求的函數(shù)的增區(qū)間，減區(qū)間.例3．已知函數(shù)為上的增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．例4．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是.例5.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式的解集的補(bǔ)集是(全集為).例6.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.例7.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________.【變式訓(xùn)練】1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_________.3．函數(shù)是上的減函數(shù)，若，，，則大小關(guān)系為.4.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．已知函數(shù)，若，則正數(shù)的取值范圍是________．6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.7.設(shè)為定義在上的減函數(shù)，且，則下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）其中為R上的增函數(shù)的序號(hào)是______________.

知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.函數(shù)的奇偶性一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有___________，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有___________，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．2.函數(shù)具有奇偶性的條件（1）①首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；②在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，進(jìn)一步判定是否等于．（2）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說(shuō)明與的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱區(qū)間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時(shí)，才能判定函數(shù)的奇偶性．（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．3.判斷奇偶性的步驟（1）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（2）在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下，判斷___________與___________之間的關(guān)系4.利用奇偶性求解析式利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．5.利用奇偶性求參數(shù)（1）定義法：若為奇函數(shù)，則___________________，若為偶函數(shù)，則___________________。（2）特殊值法：若具有奇偶性，則定義域關(guān)于__________對(duì)稱；若為奇函數(shù)，則，（3）常見的兩個(gè)函數(shù)：若一次函數(shù)為奇函數(shù)，則___________________；若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則___________________；6.利用單調(diào)性、奇偶性比較大小利用奇偶性比較大小，通過(guò)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較大?。纠}分析】例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋；（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝＋；（4）f(x)＝.例2.已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.例3.已知函數(shù)在上為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是______．例4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.例5.若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A．1 B．0 C．－1 D．±1例6．若函數(shù)是偶函數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為.例7．設(shè)偶函數(shù)在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C．D．例8．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是.【變式訓(xùn)練】1．判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1);(2);(3);(4).2．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.則在上的表達(dá)式為______．3．已知偶函數(shù)在時(shí)的解析式為，則時(shí)，的解式為_______.4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為__________.5.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足＜的取值范圍是()A（，）B.［，）C.（，）D.［，）6.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為()A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)7.若為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又,則的解集為.

知識(shí)點(diǎn)六函數(shù)的性質(zhì)：周期性與對(duì)稱性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1．周期性：對(duì)任意的，都有，則叫做函數(shù)的周期．①若，周期；②若（相反），周期；③若()（互倒），周期；④若()（反倒），周期；⑤若，周期；⑥若，周期．2.函數(shù)的稱性（1）一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系：若函數(shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱．（2）兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（巧記：相等求）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)_____________對(duì)稱；（巧記：相等求）（3）中心對(duì)稱：①，關(guān)于對(duì)稱②，關(guān)于