球的切接問題專題高三數(shù)學一輪復習

第2課時球的切、接問題【原卷版】幾何體的外接球【例1】（1）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝.1.已知三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（）A.7143π C.56π D.14π2.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐OABC的體積為（）A.212 B.C.24 D.幾何體的內(nèi)切球【例2】（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點；（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（）A.6π6 C.π6 D.2.已知三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為.與球切、接有關的最值問題【例3】（1）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是.1.設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐DABC體積的最大值為（）A.123 B.183C.243 D.5432.在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是.1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.3 B.33C.3 D.12.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.π B.3C.π2 D.3.已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為（）A.16π B.20πC.24π D.32π4.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來.若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π5.（多選）已知球O的半徑為62，則下列結論正確的是（A.球O的表面積為6πB.球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C.球O的外切正方體的棱長為4D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長為26.（多選）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說法正確的是（）A.半徑是3 B.體積為18πC.表面積為27π D.表面積為18π7.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐SABC的外接球的半徑是.8.已知正三棱臺ABCA1B1C1的上、下底面面積分別為934，93，若AA1＝30，9.如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，關于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說法正確的是（）A.體積之比32 B.體積之比C.表面積之比12 D.表面積之比10.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32π3，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為（A.3π B.4πC.9π D.12π11.已知A，B，C為球O的球面上的三個點，☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A.64π B.48πC.36π D.32π12.（多選）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為3－1，則下列說法中正確的是（）A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為4C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為2313.一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長為3，則這個球的體積為14.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為4π3，當該圓錐體積取最小值時，15.如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中有兩個球，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為.16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，求所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值.第2課時球的切、接問題【解析版】幾何體的外接球【例1】（1）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝.答案：（1）A（2）2解析：（1）由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設球O的半徑為R，當球心O在線段O1O2上時，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當球心O不在線段O1O2上時，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，（2）法一如圖，設△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝23×32×3＝3.將三棱錐SABC補形為正三棱柱SB1C1ABC，由題意知SA為側(cè)棱，設球心為O，連接OO1，OA，則OO1⊥平面ABC，且OO1＝12SA.又球的半徑R＝OA＝2，OA2＝OO12＋O1A2，所以4＝14SA2＋法二如圖，設△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝23×32×3＝3.設三棱錐SABC的外接球球心為O，連接OO1，則OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC，所以OO1∥SA，連接OS，OA，由題意知OS＝OA＝2.過O作SA的垂線，設垂足為H，則四邊形AO1OH為矩形，所以OO1＝AH，由OS＝OA可知H為SA的中點，則OO1＝AH＝12SA.所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝OO12＋O1A2，即4＝14SA2＋1.已知三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（）A.7143π C.56π D.14π解析：B以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體PAB'BCA'P'C'被平面ABC所截的三棱錐PABC符合要求，如圖，長方體PAB'BCA'P'C'與三棱錐PABC有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP'，設外接球的半徑為R，則（2R）2＝PP'2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積S＝4πR2＝π·（2R）2＝14π.2.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐OABC的體積為（）A.212 B.C.24 D.解析：A如圖所示，因為AC⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝2.連接OO1，則OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱錐OABC的體積V＝13S△ABC×OO1＝13幾何體的內(nèi)切球【例2】（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點；（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.答案：（1）12（2）23解析：（1）不妨設正方體棱長為2，EF中點為O，取CD，BB1中點G，M，側(cè)面BB1C1C的中心N，連接FG，EG，OM，ON，MN，如圖，由題意可知，O為球心，在正方體中，EF＝FG2＋EG2＝22＋22＝22，即R＝2，則球心O到BB1的距離為OM＝ON2＋MN2＝12＋12＝2，所以球O與棱BB1相切，球面與棱BB1（2）易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示，設內(nèi)切球的半徑為R，則sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（）A.6π6 C.π6 D.解析：C平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓，∵正方體棱長為1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.∴內(nèi)切圓半徑r＝tan30°·AE＝33×22＝66.∴S＝πr2＝π×16＝2.已知三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為.答案：32解析：因為AC＝4，BC＝3，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC為直角三角形.因為PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，所以PC＝PA2＋AC2＝5.因為BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.所以三棱錐PABC的表面積S＝12×4×3＋12×4×3＋12×5×3＋12×5×3＝27，且三棱錐PABC的體積VPABC＝13×12×4×3×3＝6.設三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為R，則由VPABC＝13SR＝9R＝6，解得R＝23，所以三棱錐PABC的內(nèi)切球的體積V與球切、接有關的最值問題【例3】（1）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是.答案：（1）C（2）[22，23]解析：（1）法一（特殊法）不妨設四棱錐的底面是正方形，邊長為a，底面正方形外接圓的半徑為r，則r＝22a，四棱錐的高h＝1－a22，所以四棱錐的體積V＝13a21－a22＝43a24·a241－a22≤43a24＋a2法二（導數(shù)法）設四棱錐的底面是正方形，底面正方形外接圓的半徑為r，四棱錐的高為h，則r2＋h2＝1，r＝1－?2，正方形的邊長為2r＝21－?2，所以四棱錐的體積V＝13Sh＝23（1－h(huán)2）h＝23（－h(huán)3＋h）.令f（h）＝－h(huán)3＋h（0＜h＜1），則f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝33，所以f（h）在0，33上單調(diào)遞增，在33，1上單調(diào)遞減，所以當h＝法三（轉(zhuǎn)化法）該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點O組成的圓錐體積最大，設圓錐的高為h（0＜h＜1），底面半徑為r，則圓錐的體積V＝13πr2h＝13π（1－h(huán)2）h，則V'＝13π（1－3h2），令V'＝13π（1－3h2）＝0，得h＝33，所以V＝13π（1－h(huán)2）h在0，33上單調(diào)遞增，在33，1（2）當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，設正方體的外接球直徑為2R，則2R＝AC1＝42＋42＋42＝43，即R＝23.分別取側(cè)棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點M，H，G，N，顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且O為正方形MNGH的對角線交點，連接MG，則MG＝42，當球的一個大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓時，球的半徑最小，即R'＝22.綜上，球O半徑的取值范圍為[.、1.設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐DABC體積的最大值為（）A.123 B.183C.243 D.543解析：B由等邊△ABC的面積為93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝33AB＝23.設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱錐DABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐DABC體積的最大值為132.在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是.答案：9解析：易知AC＝10.設△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12×6×8＝12×（6＋8＋10）·r，所以r＝2.因為2r＝4＞3，所以球的最大直徑2R＝3，即R＝32，此時球的體積V＝43πR1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.3 B.33C.3 D.1解析：C設正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即2R＝3，所以R＝32，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，即2r＝1，即r＝12，所以Rr＝3，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為4π2.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.π B.3C.π2 D.解析：B如圖，畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝12.∴底面圓半徑r＝OA2－OM2＝32，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·（3.已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為（）A.16π B.20πC.24π D.32π解析：A如圖所示，在正四棱錐PABCD中，O1為底面對角線的交點，O為外接球的球心.V四棱錐PABCD＝13×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝6.因為O1C＝126+6＝3.設正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，所以（3－R）2＋（3）2＝R2，解得R＝2.所以外接球的表面積為4π×24.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來.若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π解析：B若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即2R＝82＋（2+2）2＋22＝221，所以R＝21，球形容器的表面積S＝5.（多選）已知球O的半徑為62，則下列結論正確的是（A.球O的表面積為6πB.球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C.球O的外切正方體的棱長為4D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2解析：AD球的表面積為4π×（62）2＝4π×64＝6π，A正確.正方體的體對角線長為2×62＝6，棱長為63＝2，B錯誤.球的外切正方體的棱長為2×62＝6，C錯誤.將正四面體AB1CD1補形為正方體如圖所示，正方體的體對角線長為2×62＝6，棱長為63＝2，所以正四面體的棱長為2×2＝2，6.（多選）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說法正確的是（）A.半徑是3 B.體積為18πC.表面積為27π D.表面積為18π解析：ABC如圖，△PAC是正四棱錐的對角面，設球半徑為r，AC是半圓的直徑，則正四棱錐底面邊長為2r，棱錐體積為V＝13×（2r）2×r＝23r3＝18，r＝3，半球體積為V＝23πr3＝23π×33＝18π，表面積為S＝2π×32＋π×32＝27π，故選A7.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐SABC的外接球的半徑是.答案：3解析：如圖所示，將三棱錐補為長方體，則該三棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設外接球半徑為R，則（2R）2＝12＋22＋22＝9，∴4R2＝9，R＝32.即三棱錐SABC的外接球的半徑是38.已知正三棱臺ABCA1B1C1的上、下底面面積分別為934，93，若AA1＝30，解：若正三角形的邊長為a，則其面積為12×a×a×32＝34結合題意，可得AB＝3，A1B1＝6.如圖，取△ABC，△A1B1C1外接圓的圓心O，O2，正三棱臺ABCA1B1C1外接球的球心O1，連接OA，OO2，O1A，O1A1，O2A1，設點A在底面上的射影為M，連接AM，易知M在O2A1上，OA＝O2M＝3，O2A1＝23，則MA1＝3，由AA1＝30，可得OO2＝MA＝AA12－設正三棱臺外接球的半徑為R，則O1A＝O1A1＝R，可得R2＝所以該正三棱臺的外接球的表面積S＝4πR2＝60π.9.如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，關于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說法正確的是（）A.體積之比32 B.體積之比C.表面積之比12 D.表面積之比解析：A設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，∴V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.∴V圓柱V球＝2πR343πR3＝32；S圓柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球10.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32π3，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為（A.3π B.4πC.9π D.12π解析：B如圖所示，由球的體積為32π3，可得該球的半徑R＝2，由題意得，兩個圓錐的高O'S，O'P分別為1和3，∵PS為球O的直徑，∴△PAS為直角三角形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圓半徑O'A＝3，∴這兩個圓錐的體積之和為V＝13π·（3）2·（3＋1）＝4π11.已知A，B，C為球O的球面上的三個點，☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A.64π B.48πC.36π D.32π解析：A如圖所示，設球O的半徑為R，☉O1的半徑為r，因為☉O1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝（23）2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝12.（多選）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為3－1，則下列說法中正確的是（）A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為4C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為23解析：ABC設正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即32a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即a2.∵M，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點，∴MNmin＝32a－a2＝3－12a＝3－1，解得a＝2，即正方體的棱長為2，∴正方體外接球的表面積為4π×（3）2＝12π，內(nèi)切球體積為4π3，則A、B、C正確；線段MN13.一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長為3，則這個球的體積為答案：4解析：設正六棱柱底面邊長為a，正六棱柱的高為h，球的半徑為R，則a＝12，底面積為S＝6×34×（12）2＝338，V柱＝Sh＝338h＝98，解得h＝3，∴R2＝（32）2＋（12）2＝114.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為4π3，當該圓錐體積取最小值時，解：法一因為圓錐的內(nèi)切球的體積為4π3，如圖，設圓錐底面半徑為R，高為h.由△AOF∽△ACE可得OFCE＝AOAC，即1R＝?－1R2＋?2，則R2＝??－2（h＞2），所以圓錐的體積為V＝13πR2h＝1因為h－