球的切接問題專題高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第2課時(shí)球的切、接問題【原卷版】幾何體的外接球【例1】（1）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝.1.已知三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（）A.7143π C.56π D.14π2.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐OABC的體積為（）A.212 B.C.24 D.幾何體的內(nèi)切球【例2】（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn).以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)；（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.1.如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（）A.6π6 C.π6 D.2.已知三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為.與球切、接有關(guān)的最值問題【例3】（1）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是.1.設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐DABC體積的最大值為（）A.123 B.183C.243 D.5432.在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是.1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.3 B.33C.3 D.12.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.π B.3C.π2 D.3.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為（）A.16π B.20πC.24π D.32π4.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，6根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來(lái).若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π5.（多選）已知球O的半徑為62，則下列結(jié)論正確的是（A.球O的表面積為6πB.球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C.球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為4D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為26.（多選）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說(shuō)法正確的是（）A.半徑是3 B.體積為18πC.表面積為27π D.表面積為18π7.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐SABC的外接球的半徑是.8.已知正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的上、下底面面積分別為934，93，若AA1＝30，9.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說(shuō)法正確的是（）A.體積之比32 B.體積之比C.表面積之比12 D.表面積之比10.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為32π3，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（A.3π B.4πC.9π D.12π11.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A.64π B.48πC.36π D.32π12.（多選）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為3－1，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為4C.正方體的棱長(zhǎng)為2D.線段MN的最大值為2313.一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為14.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為4π3，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，15.如圖，在底面邊長(zhǎng)為4，高為6的正四棱柱中有兩個(gè)球，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為.16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，求所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值.第2課時(shí)球的切、接問題【解析版】幾何體的外接球【例1】（1）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝.答案：（1）A（2）2解析：（1）由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，（2）法一如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝23×32×3＝3.將三棱錐SABC補(bǔ)形為正三棱柱SB1C1ABC，由題意知SA為側(cè)棱，設(shè)球心為O，連接OO1，OA，則OO1⊥平面ABC，且OO1＝12SA.又球的半徑R＝OA＝2，OA2＝OO12＋O1A2，所以4＝14SA2＋法二如圖，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，連接O1A，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑r＝O1A＝23×32×3＝3.設(shè)三棱錐SABC的外接球球心為O，連接OO1，則OO1⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC，所以O(shè)O1∥SA，連接OS，OA，由題意知OS＝OA＝2.過(guò)O作SA的垂線，設(shè)垂足為H，則四邊形AO1OH為矩形，所以O(shè)O1＝AH，由OS＝OA可知H為SA的中點(diǎn)，則OO1＝AH＝12SA.所以在Rt△OO1A中，由勾股定理可得OA2＝OO12＋O1A2，即4＝14SA2＋1.已知三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐PABC的外接球的表面積為（）A.7143π C.56π D.14π解析：B以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體PAB'BCA'P'C'被平面ABC所截的三棱錐PABC符合要求，如圖，長(zhǎng)方體PAB'BCA'P'C'與三棱錐PABC有相同的外接球，其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線PP'，設(shè)外接球的半徑為R，則（2R）2＝PP'2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積S＝4πR2＝π·（2R）2＝14π.2.已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐OABC的體積為（）A.212 B.C.24 D.解析：A如圖所示，因?yàn)锳C⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝2.連接OO1，則OO1⊥面ABC，OO1＝1－AB22＝1－222＝22，所以三棱錐OABC的體積V＝13S△ABC×OO1＝13幾何體的內(nèi)切球【例2】（1）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn).以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)；（2）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.答案：（1）12（2）23解析：（1）不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，EF中點(diǎn)為O，取CD，BB1中點(diǎn)G，M，側(cè)面BB1C1C的中心N，連接FG，EG，OM，ON，MN，如圖，由題意可知，O為球心，在正方體中，EF＝FG2＋EG2＝22＋22＝22，即R＝2，則球心O到BB1的距離為OM＝ON2＋MN2＝12＋12＝2，所以球O與棱BB1相切，球面與棱BB1（2）易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則sin∠BPE＝ROP＝BEPB＝13，所以O(shè)P＝3R，所以PE＝4R＝PB2－BE2＝32－12＝22，所以R＝22，1.如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（）A.6π6 C.π6 D.解析：C平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓，∵正方體棱長(zhǎng)為1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.∴內(nèi)切圓半徑r＝tan30°·AE＝33×22＝66.∴S＝πr2＝π×16＝2.已知三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，則該三棱錐的內(nèi)切球的體積為.答案：32解析：因?yàn)锳C＝4，BC＝3，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC為直角三角形.因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，所以PC＝PA2＋AC2＝5.因?yàn)锽C⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC.所以三棱錐PABC的表面積S＝12×4×3＋12×4×3＋12×5×3＋12×5×3＝27，且三棱錐PABC的體積VPABC＝13×12×4×3×3＝6.設(shè)三棱錐PABC的內(nèi)切球的半徑為R，則由VPABC＝13SR＝9R＝6，解得R＝23，所以三棱錐PABC的內(nèi)切球的體積V與球切、接有關(guān)的最值問題【例3】（1）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A.13 B.C.33 D.（2）在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是.答案：（1）C（2）[22，23]解析：（1）法一（特殊法）不妨設(shè)四棱錐的底面是正方形，邊長(zhǎng)為a，底面正方形外接圓的半徑為r，則r＝22a，四棱錐的高h(yuǎn)＝1－a22，所以四棱錐的體積V＝13a21－a22＝43a24·a241－a22≤43a24＋a2法二（導(dǎo)數(shù)法）設(shè)四棱錐的底面是正方形，底面正方形外接圓的半徑為r，四棱錐的高為h，則r2＋h2＝1，r＝1－?2，正方形的邊長(zhǎng)為2r＝21－?2，所以四棱錐的體積V＝13Sh＝23（1－h(huán)2）h＝23（－h(huán)3＋h）.令f（h）＝－h(huán)3＋h（0＜h＜1），則f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝33，所以f（h）在0，33上單調(diào)遞增，在33，1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝法三（轉(zhuǎn)化法）該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大，設(shè)圓錐的高為h（0＜h＜1），底面半徑為r，則圓錐的體積V＝13πr2h＝13π（1－h(huán)2）h，則V'＝13π（1－3h2），令V'＝13π（1－3h2）＝0，得h＝33，所以V＝13π（1－h(huán)2）h在0，33上單調(diào)遞增，在33，1（2）當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，設(shè)正方體的外接球直徑為2R，則2R＝AC1＝42＋42＋42＝43，即R＝23.分別取側(cè)棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點(diǎn)M，H，G，N，顯然四邊形MNGH是邊長(zhǎng)為4的正方形，且O為正方形MNGH的對(duì)角線交點(diǎn)，連接MG，則MG＝42，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形MNGH的外接圓時(shí)，球的半徑最小，即R'＝22.綜上，球O半徑的取值范圍為[.、1.設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93，則三棱錐DABC體積的最大值為（）A.123 B.183C.243 D.543解析：B由等邊△ABC的面積為93，可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝33AB＝23.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱錐DABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐DABC體積的最大值為132.在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是.答案：9解析：易知AC＝10.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12×6×8＝12×（6＋8＋10）·r，所以r＝2.因?yàn)?r＝4＞3，所以球的最大直徑2R＝3，即R＝32，此時(shí)球的體積V＝43πR1.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（）A.3 B.33C.3 D.1解析：C設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長(zhǎng)為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝3，所以R＝32，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，即2r＝1，即r＝12，所以Rr＝3，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為4π2.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）A.π B.3C.π2 D.解析：B如圖，畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝12.∴底面圓半徑r＝OA2－OM2＝32，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·（3.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為（）A.16π B.20πC.24π D.32π解析：A如圖所示，在正四棱錐PABCD中，O1為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，O為外接球的球心.V四棱錐PABCD＝13×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝6.因?yàn)镺1C＝126+6＝3.設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，所以（3－R）2＋（3）2＝R2，解得R＝2.所以外接球的表面積為4π×24.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，6根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成3組，經(jīng)90°榫卯起來(lái).若正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π）（）A.96π B.84πC.42π D.16π解析：B若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時(shí)球體的直徑等于一組正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝82＋（2+2）2＋22＝221，所以R＝21，球形容器的表面積S＝5.（多選）已知球O的半徑為62，則下列結(jié)論正確的是（A.球O的表面積為6πB.球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C.球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為4D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2解析：AD球的表面積為4π×（62）2＝4π×64＝6π，A正確.正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2×62＝6，棱長(zhǎng)為63＝2，B錯(cuò)誤.球的外切正方體的棱長(zhǎng)為2×62＝6，C錯(cuò)誤.將正四面體AB1CD1補(bǔ)形為正方體如圖所示，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2×62＝6，棱長(zhǎng)為63＝2，所以正四面體的棱長(zhǎng)為2×2＝2，6.（多選）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐，方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18，則半球的說(shuō)法正確的是（）A.半徑是3 B.體積為18πC.表面積為27π D.表面積為18π解析：ABC如圖，△PAC是正四棱錐的對(duì)角面，設(shè)球半徑為r，AC是半圓的直徑，則正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2r，棱錐體積為V＝13×（2r）2×r＝23r3＝18，r＝3，半球體積為V＝23πr3＝23π×33＝18π，表面積為S＝2π×32＋π×32＝27π，故選A7.已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐SABC的外接球的半徑是.答案：3解析：如圖所示，將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球半徑為R，則（2R）2＝12＋22＋22＝9，∴4R2＝9，R＝32.即三棱錐SABC的外接球的半徑是38.已知正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的上、下底面面積分別為934，93，若AA1＝30，解：若正三角形的邊長(zhǎng)為a，則其面積為12×a×a×32＝34結(jié)合題意，可得AB＝3，A1B1＝6.如圖，取△ABC，△A1B1C1外接圓的圓心O，O2，正三棱臺(tái)ABCA1B1C1外接球的球心O1，連接OA，OO2，O1A，O1A1，O2A1，設(shè)點(diǎn)A在底面上的射影為M，連接AM，易知M在O2A1上，OA＝O2M＝3，O2A1＝23，則MA1＝3，由AA1＝30，可得OO2＝MA＝AA12－設(shè)正三棱臺(tái)外接球的半徑為R，則O1A＝O1A1＝R，可得R2＝所以該正三棱臺(tái)的外接球的表面積S＝4πR2＝60π.9.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來(lái)重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說(shuō)法正確的是（）A.體積之比32 B.體積之比C.表面積之比12 D.表面積之比解析：A設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，∴V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝43πR3.∴V圓柱V球＝2πR343πR3＝32；S圓柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球10.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為32π3，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（A.3π B.4πC.9π D.12π解析：B如圖所示，由球的體積為32π3，可得該球的半徑R＝2，由題意得，兩個(gè)圓錐的高O'S，O'P分別為1和3，∵PS為球O的直徑，∴△PAS為直角三角形，又∵O'A⊥PS，∴可得截面圓半徑O'A＝3，∴這兩個(gè)圓錐的體積之和為V＝13π·（3）2·（3＋1）＝4π11.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A.64π B.48πC.36π D.32π解析：A如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，☉O1的半徑為r，因?yàn)楱慜1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝（23）2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝12.（多選）已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為3－1，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.正方體的外接球的表面積為12πB.正方體的內(nèi)切球的體積為4C.正方體的棱長(zhǎng)為2D.線段MN的最大值為23解析：ABC設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體外接球的半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即32a；內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，即a2.∵M(jìn)，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，∴MNmin＝32a－a2＝3－12a＝3－1，解得a＝2，即正方體的棱長(zhǎng)為2，∴正方體外接球的表面積為4π×（3）2＝12π，內(nèi)切球體積為4π3，則A、B、C正確；線段MN13.一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為98，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為答案：4解析：設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，球的半徑為R，則a＝12，底面積為S＝6×34×（12）2＝338，V柱＝Sh＝338h＝98，解得h＝3，∴R2＝（32）2＋（12）2＝114.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為4π3，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，解：法一因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的體積為4π3，如圖，設(shè)圓錐底面半徑為R，高為h.由△AOF∽△ACE可得OFCE＝AOAC，即1R＝?－1R2＋?2，則R2＝??－2（h＞2），所以圓錐的體積為V＝13πR2h＝1因?yàn)閔－