第19講圓與方程章末復(fù)習(xí)與測試（三大題型歸納測試卷）

第19講圓與方程章末復(fù)習(xí)與測試【蘇教版2019選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01求圓的方程 3題型02直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 6題型03軌跡問題 9單元測試 14一、求圓的方程1．求圓的方程的兩種方法直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進而寫出方程待定系數(shù)法(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值2.確定圓心位置的三種方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．(3)當(dāng)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線二、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑長為r.若d<r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d>r，則直線與圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離．2．圓與圓的位置關(guān)系：一般利用圓心距與兩半徑的和、差的絕對值的大小關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系．3．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)三、軌跡問題1．求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法2．通過求圓的軌跡問題，體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)題型01求圓的方程【解題策略】求圓的方程主要是聯(lián)系圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法解題．一般地，當(dāng)已知圓的圓心或半徑的幾何特征時，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解；當(dāng)已知圓上三個點時，設(shè)圓的一般方程；當(dāng)所求圓經(jīng)過直線與圓、圓與圓的交點時，常利用圓系方程來解答．過兩個已知圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)【典例分析】【例1】求圓心在直線3x＋4y－1＝0上，且經(jīng)過兩圓x2＋y2－x＋y－2＝0與x2＋y2＝5的交點的圓的方程．解方法一設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，化為一般方程得x2＋y2－eq\f(1,1＋λ)x＋eq\f(1,1＋λ)y－eq\f(2＋5λ,1＋λ)＝0.故圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,21＋λ)，－\f(1,21＋λ)))，代入直線3x＋4y－1＝0，得λ＝－eq\f(3,2).再把λ代入所設(shè)方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－2y－11＝0.方法二解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x＋y－2＝0，,x2＋y2＝5，))得兩圓的交點為A(1，－2)和B(2，－1)．設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B在圓上，且圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直線3x＋4y－1＝0上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋D－2E＋F＝0，,5＋2D－E＋F＝0，,3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋4·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－2，,F＝－11.))故所求圓的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.【變式演練】【變式1】（2324高二下·河南·階段練習(xí)）已知圓過點，且與軸相切，圓心在軸上，則圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心為，半徑為，根據(jù)條件，建立方程組且，求出，即可求出結(jié)果.【詳解】由題可設(shè)圓心為，半徑為，所以且，解得，故圓的方程為，即，故選：B.【變式2】（2223高二上·廣東東莞·期中）求經(jīng)過點且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】分析出圓心在直線上，再結(jié)合其在上，最后得到圓心坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】若經(jīng)過點，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【變式3】（2324高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形為平行四邊形，，，．(1)設(shè)線段的中點為，直線過且垂直于直線，求的方程；(2)求以點為圓心、與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過題意求出點坐標(biāo)和直線的斜率即可求解；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形求出點坐標(biāo)，又由得，從而半徑為，進而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）因為為中點，，，所以．因為四邊形為平行四邊形，所以，由，，得，所以．由知直線的斜率為，所以直線的方程為，即所求直線的方程為．（2）因為四邊形為平行四邊形，且，，，設(shè)，由得解得，又由得，且，所以點為圓心，與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為題型02直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【解題策略】(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程．(2)解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它的幾何圖形的形象直觀性來分析問題【典例分析】【例2】已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l過點P(2,3)且與圓M交于A，B兩點，且AB＝2eq\r(3)，求直線l的方程．解(1)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.示意圖如圖所示，作MC⊥AB于點C.在Rt△MBC中，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，MB＝2，故MC＝eq\r(MB2－BC2)＝1，又M(1,1)，故由點到直線的距離公式得eq\f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).故直線l的方程為3x－4y＋6＝0.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝2，且AB＝2eq\r(3)，所以符合題意．綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2.【變式演練】【變式1】（2324高二上·山東臨沂·期末）已知點，直線過點且與線段AB相交，則與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相交或相切 D．相切或相離【答案】D【分析】求得直線，的斜率，進而可求直線的方程，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】直線的斜率為，，直線經(jīng)過點且與線段相交，直線的斜率的范圍為,,，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，可知圓心在直線的右側(cè)，且圓心的直線的方程的距離為，直線的方程為，即，由圓，可得圓心，，圓心的直線的方程的距離為，故直線與圓相切或相離．故選：D【變式2】（2324高二上·安徽·期中）圓與圓的位置關(guān)系為．【答案】外切【分析】由兩圓的圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，兩圓圓心距，所以兩圓外切.故答案為：外切【變式3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知圓：和圓：.(1)當(dāng)時，判斷圓和圓的位置關(guān)系.(2)是否存在實數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)相交(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意求兩圓圓心和半徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；（2）根據(jù)題意求兩圓圓心和半徑，假設(shè)存在，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析運算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，半徑，可得兩圓的圓心距，且，，則，所以圓和圓相交.（2）不存在，理由如下：圓的方程可化為，則，半徑.由（1）可知：，半徑.假設(shè)存在實數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含，則圓心距，整理得，此不等式無解.故不存在實數(shù)m，使得圓和圓內(nèi)含題型03軌跡問題【解題策略】(1)求動點的軌跡方程是解析幾何中的重要題型，解答這類問題常用的方法有：直接法、定義法、消元法、代入法等．(2)求軌跡方程的步驟：①建系設(shè)點；②列出動點滿足的軌跡條件；③把軌跡條件坐標(biāo)化；④化簡整理；⑤檢驗．在檢驗中要排除不符合要求的點，或者補充上漏掉的部分【典例分析】【例3】如圖所示，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)，使得PM＝eq\r(2)PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P的軌跡方程．解如圖所示，以O(shè)1O2所在直線為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2,0)，O2(2,0)，設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)，連接MO1，NO2，在Rt△PMO1中，PM2＝POeq\o\al(2,1)－1，在Rt△PNO2中，PN2＝POeq\o\al(2,2)－1.又因為PM＝eq\r(2)PN，所以PM2＝2PN2，即POeq\o\al(2,1)－1＝2(POeq\o\al(2,2)－1)，即POeq\o\al(2,1)＋1＝2POeq\o\al(2,2)，所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即為所求點P的軌跡方程．【變式演練】【變式1】（2223高二上·湖北隨州·期中）如圖，已知圓，點為直線上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，．已知直線過定點，則定點的坐標(biāo)是；線段中點的軌跡方程為．【答案】【分析】（1）根據(jù)圓與圓的性質(zhì)可得直線的方程，從而求得所過的定點；（2）求直線和的交點即為的中點.【詳解】（1）因為是圓的兩條切線，所以，，所以四點共圓，連接，設(shè)中點為，如圖所示：圓①，可化為，故圓心，半徑，所以，，圓的半徑，故圓的方程為：，即②，易知線段是圓和圓的公共弦，由，兩式相減得：，即直線的方程為：，當(dāng)時，，故直線經(jīng)過定點.（2），所以直線的方程為：，即，聯(lián)立，消得：由圓的性質(zhì)得：線段的中點即為直線與的交點，且，故線段的中點的軌跡方程為：.故答案為：；【變式2】（2122高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）過直線上一點作圓的切線，切點為，則直線過定點，若的中點為，則點的軌跡方程為【答案】【分析】設(shè)，求的以為圓心為半徑的圓的方程，由此求得直線的方程，進而求得定點坐標(biāo)；設(shè)出點坐標(biāo)，利用勾股定理求得點的軌跡方程.【詳解】設(shè)，圓的圓心為，半徑，則，故以為圓心，半徑為的圓的方程為：，即，①，圓②，②①并化簡得直線的方程為：，也即，所以，所以定點坐標(biāo)為.設(shè)，由于是弦的中點，所以，設(shè)定點為，則，即，化簡得，所以點的軌跡方程為.故答案為：；【變式3】（2324高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）（1）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，求線段AB中點M的軌跡方程；（2）已知圓C的直徑，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍，求點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓C的位置關(guān)系.【答案】（1）；（2），相交【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)線段AB中點M的坐標(biāo)為，用表示端點A的坐標(biāo)，代入圓的方程整理即可得結(jié)果；（2）以AB中點為坐標(biāo)原點建系，設(shè)，根據(jù)題意求點點M的軌跡，并結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷.【詳解】（1）設(shè)線段AB中點M的坐標(biāo)為，因為端點B的坐標(biāo)是，則端點A的坐標(biāo)是，且端點A在圓上，則，整理得，所以線段AB中點M的軌跡方程為.（2）以AB中點為坐標(biāo)原點建系，則，圓C的圓心為，半徑，設(shè)，因為，則，整理得，可知點M的軌跡為以為圓心，半徑的圓，又因為，所以兩圓相交.

【單元測試】一、單選題1．（2324高二上·北京順義·期末）圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】A【分析】根據(jù)圓心距大于半徑之和，得到位置關(guān)系.【詳解】圓：的圓心為，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為3，圓心距，故兩圓外離.故選：A2．（2324高二下·河南·階段練習(xí)）若直線與圓相切，則圓的半徑為（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】由圓心到直線的距離等于半徑列方程即可得解.【詳解】依題意，，解得（負(fù)值舍），所以圓的半徑為.故選:C.3．（2324高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.【詳解】圓，圓心為，半徑為，圓，圓心為，半徑為，若圓與圓有公共點，則，又，所以.故選：D4．（2223高二上·云南昆明·期中）直線與軸，軸分別交于點、，以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線方程求出、點的坐標(biāo)，從而求出的中點即為圓心，長的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出，再化為一般方程即可.【詳解】直線，即，與軸，軸分別交于點、，則的中點為，且，所以以線段為直徑的圓的方程為，即.故選：B5．（2324高二上·遼寧·階段練習(xí)）若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意計算即可得.【詳解】設(shè)該圓方程為，則圓心為，有，將點，代入，有，化簡得，兩式相減得，即有，則，，故該圓方程為.故選：B.6．（2324高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知直線和圓，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．直線過定點 B．直線與圓有兩個交點C．存在直線與直線垂直 D．直線被圓截得的最短弦長為【答案】D【分析】對于A，只需將直線的方程整理成關(guān)于的方程，依題即得；對于B，因A項得到的直線過的定點恰在圓內(nèi)，故直線必與圓相交；對于C，利用兩直線垂直可求得，即說明存在這樣的直線；對于D，利用直線過的定點恰在圓內(nèi)，只需使時即得最短弦長.【詳解】對于A項，由直線方程可整理為：，因,故需使，即直線過定點，故A項正確；對于B項，由A項知直線過定點，而該點到圓心的距離為，而，即點A在圓內(nèi)，故直線與圓有兩個交點，故B項正確；對于C項，直線的斜率為，直線的斜率為，由可得，即時，，故C項正確；對于D項，如圖，因直線過定點，要使直線被圓截得的弦長最短，需使弦心距最長，易知當(dāng)且僅當(dāng)時弦心距最長，此時弦心距即為，最短弦長為，故D項錯誤.(說理如下：過點作直線，交圓于點,過點作，垂足為，在中，顯然,而,其中為圓的半徑，則易得，即是直線與圓相交最短的弦長)故選：D.7．（2324高二下·浙江·開學(xué)考試）若圓與圓只有一個交點，則實數(shù)的值可以是（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】利用圓和圓的位置關(guān)系求解參數(shù)即可.【詳解】易知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由題意得圓與圓只有一個交點，可得兩圓內(nèi)切或外切，易得圓心距，半徑差與和分別為或，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，解得或，當(dāng)兩圓外切時，無解，結(jié)合選項故選：D8．（2223高二下·安徽安慶·開學(xué)考試）若M、N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷直線與圓的位置關(guān)系，再過點P作圓的兩條切線，由圖形可得，從而利用直線上的動點到圓心的最小距離求得的最大值，由此得解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，設(shè)PA、PB是過點P圓的兩切線，且A、B為切點，如圖，顯然，當(dāng)PM，PN為兩切線時取等號；因為PA、PB是過點P圓的兩切線，所以，，由圓的對稱性易得，顯然是銳角，在中，，又，所以，所以，∴．故選：B．.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的突破口是通過過點作圓的切線，化三動點問題為一動點問題，從而利用直線上的動點到圓心的最小距離求得的最大值，由此得解.二、多選題9．（2324高二上·安徽滁州·期末）若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值可能是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍即可.【詳解】直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為2，顯然點在圓外，直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離，解得.故選：AB10．（2324高二下·甘肅武威·開學(xué)考試）已知直線：，圓：，則（

）A．圓的半徑為B．圓心坐標(biāo)為C．當(dāng)直線平分圓時D．當(dāng)直線與圓相切時，或【答案】BC【分析】圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑判斷選項AB，由直線過圓心計算的值判斷選項C，由直線與圓相切的條件判斷選項D.【詳解】圓：，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為，B選項正確；圓的半徑為，A選項錯誤；當(dāng)直線平分圓時，直線過圓心，則有，解得，C選項正確；直線：，過定點，因為，則點在圓內(nèi)，所以直線與圓不可能相切，D選項錯誤.故選：BC11．（2324高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知直線：和圓：，則（

）A．存在k使得直線與直線：垂直B．直線恒過定點C．直線與圓相交D．直線被圓截得的最短弦長為【答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)直線方程可得斜率，結(jié)合垂直關(guān)系分析判斷；對于B：將直線方程化為，即可得定點；對于C：判斷定點與圓的位置關(guān)系，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；對于B：根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可知：圓：的圓心為，半徑，對A：因為直線：的斜率為，當(dāng)直線的斜率為時，此時直線與直線垂直，滿足題意，A正確；對B：由可得，，令，解得，所以直線恒過定點，故B錯誤；對C：因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓O相交，C正確；對D：直線恒過定點，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓O截得的弦長最短為，D正確；故選：ACD.三、填空題12．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）填空：（1）“且”是“表示圓的方程”的條件．（2）直線與圓的位置關(guān)系是．【答案】必要不充分相切【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程的概念求解；（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解.【詳解】（1）因為“表示圓的方程”時，且且,所以“且”是“表示圓的方程”的必要不充分條件.（2）把圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得,所以圓心為，半徑為,所以圓心到直線的距離為，所以直線和圓相切.故答案為:必要不充分；相切.13．（2324高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：.【答案】（或，填一條即可）【分析】先判斷出圓與圓相交，作出圖象，結(jié)合圖象可得一條公切線方程為，另一條公切線與直線關(guān)于直線對稱，用點斜式設(shè)出另一條直線，則有，求解即可.【詳解】解：由已知得到兩圓的圓心分別為,半徑分別為.因為，所以5，圓與圓相交，則圓與圓的公切線有兩條，如圖所示：根據(jù)圖象可以直接觀察出一條公切線方程為，直線的方程為，根據(jù)圖形的對稱性知另一條公切線與直線關(guān)于直線對稱.易知直線與直線的交點為，設(shè)另一條公切線的方程為，即，原點到其距離為，所以，則另一條公切線的方程為.故答案為：（或，填一條即可）14．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）已如直線和曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍.【答案】或【分析】先對曲線進行變形，結(jié)合的取值范圍，可得其圖象為以為圓心，為半徑的圓的下半部分，畫出曲線及直線的圖象，采用數(shù)形結(jié)合，列出等式即可求得結(jié)果.【詳解】因為曲線，所以，解得，曲線可化為，兩邊同時平方有，，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓的一部分，而直線，所以直線的斜率為1，畫圖象如下：由于直線與曲線只有一個公共點，當(dāng)直線過時，即，解得，當(dāng)直線過時，即，解得，由圖象可知，當(dāng)直線與圓相切時：，解得或，而即為在軸上的截距，由圖象可知，綜上：或.故答案為：或.四、解答題15．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知兩圓和.(1)當(dāng)a為何值時，兩圓外切？(2)當(dāng)時，試判斷兩圓的位置關(guān)系.【答案】(1)或(2)兩圓相交【分析】（1）把兩圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，在根據(jù)兩圓外切的條件列式求解即可.（2）把代入方程直接判斷兩圓位置關(guān)系即可.【詳解】（1）將兩圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，，所以兩圓的圓心和半徑分別為，，兩圓的圓心距為，當(dāng)兩圓外切時，，即，解得或.（2）當(dāng)時，，所以兩圓相交.16．（2324高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，圓心在第一象限，該圓與軸相切，且圓過點，直線的方程為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線與圓相交；(3)當(dāng)直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程及最短弦長.【答案】(1)(2)證明見解析(3)，.【分析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意建立方程組，即可解出；（2）通過變形求出直線所過定點的坐標(biāo)，判斷定點與圓C的位置關(guān)系，進而得證；（3）結(jié)合圖象，判斷出直線與定點和圓心連線垂直時弦長最短，求出此時直線的斜率，利用點斜式即可求出直線的方程，從而利用垂徑定理求出最短弦長.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為；由已知可得：，所以圓的方程為；把點代入上式，得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）證明：直線：，可化為，又，所以，解得，即直線恒過定點.而，所以定點在圓內(nèi)，故直線：與圓相交.（3）由題意，直線被圓截得弦長最短時，直線，設(shè)直線的斜率為，且直線的斜率為，所以，得，故的方程為，即為.圓心到的距離為，此時弦長為：.17．（2324高二上·湖北·期末）已知點P為圓C：上的動點，點A的坐標(biāo)為，若(1)當(dāng)時，求B的軌跡方程；(2)討論B的軌跡與C的位置關(guān)系．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點法，即可結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求解，（2）根據(jù)兩圓的半徑與圓心距之間的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，，由，可得，，，又因為，可得B的軌跡方程為：（2）由，可得，，，代入，可得B的軌跡方程為：，所以B的軌跡是以為圓心設(shè)為，為半徑的圓，所以當(dāng)時，，兩圓外離；當(dāng)時，，兩圓外切；當(dāng)時，，兩圓相交．18．（2223高二上·湖南益陽·階段練習(xí)）如圖，已知圓，點為直線上一動點，過點引圓的兩條切線，切點分別為，．(1)求直線的方程，并判斷直線是否過定點若是，求出定點的坐標(biāo)，若不是，請說明理由；(2)求線段中點的軌跡方程；(3)若兩條切線，與軸分別交于，兩點，求的最小值．【答案】(