初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理(滬教市北綜合版)-01數(shù)的整除

初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理（滬教市北綜合版）

導(dǎo)言

《初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理滬教市北綜合版》為編者依據(jù)滬教版《初中數(shù)學(xué)》和市北初級(jí)中學(xué)資優(yōu)生培訓(xùn)教

材《初中數(shù)學(xué)》的內(nèi)容綜合編撰而成，既吸取了滬教版《初中數(shù)學(xué)》側(cè)重基礎(chǔ)、知識(shí)全面的特點(diǎn)，也吸取了

市北版《初中數(shù)學(xué)》拓展廣度、延伸深度的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了兩者內(nèi)容的有機(jī)融合，保證了初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理

的基礎(chǔ)性、系統(tǒng)性、全面性、拓展性和概括性，能為初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供較好的知識(shí)幫助。文中帶“（★）”

部分為市北版的加深內(nèi)容，練習(xí)帶“（★）”部分也為市北版內(nèi)容。

第一章數(shù)的整除

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

奇數(shù)）

偶數(shù)）

素?cái)?shù)）

合數(shù)1~（分解素因數(shù)）

能被2整除的。范］

能被5整除的4嬴］

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：會(huì)正確地分解素因數(shù)，并會(huì)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

難點(diǎn)：求兩個(gè)正整數(shù)的最小公倍數(shù)。

第一節(jié)整數(shù)和整除

1.1整數(shù)和整除的意義

（1）正整數(shù)：用來表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)1,2,3,4,5…叫做正整數(shù)。

(2)負(fù)整數(shù)：在正整數(shù)1,2,3,4,5…之前添上，得到的數(shù)T,-2,-3,-4,-5…叫做負(fù)整數(shù)。

?零既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)。

⑶自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。

(4)整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

正整數(shù)］

r自然數(shù)

整數(shù)V零J

1負(fù)整數(shù)

⑸整除：設(shè)a、b是兩個(gè)整數(shù)，且b豐a,若存在整數(shù)q,使a=bq,則稱b整除a,或a被b整除，記作b|a。

(★)

或者說，如果整數(shù)a除以整數(shù)b(b手0)所得的商是整數(shù)，那么叫做a被b整除，或b能整除a。

整數(shù)a除以整數(shù)b

整數(shù)a被整數(shù)b整除aa~rb

整數(shù)b整除整數(shù)a一

例1：下列哪一個(gè)算式的被除數(shù)能被除數(shù)整除？

284-7104-354-4

解：因?yàn)?8+7=4,

104-3=3.......1,

54-4=1.25,

所以被除數(shù)能被除數(shù)整除的是28?7。

?注意整除的條件：

①除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；

②被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零。

?整除的主要性質(zhì)：(★)

①c|b、b|a,則c|a;

②若m|a、m|b,則m|(a+b);

③若m|a、m|b,則m|(a—b);

@若m|a,則m|ab(b為自然一數(shù))；

⑤n個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積能被n!整除。(n的階乘：n!=1X2X3X-Xn)(★)

例如：a為整數(shù)時(shí)，

2|a(a+1)

6|a(a+1)(a+2)

24|a(a+1)(a+2)(a+3)

……(★)

解：由于4個(gè)連續(xù)的整數(shù)中必有1個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)，還有另一個(gè)數(shù)為2的倍數(shù)，有1個(gè)是3的倍數(shù)，

因?yàn)閍、a+1、a+2、a+3為4個(gè)連續(xù)的整數(shù)，

所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)，另有一個(gè)數(shù)為2的倍數(shù)，有一個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)，即

為2X3X4=24的倍數(shù)。

?整除與除盡的區(qū)別：

整除：它只在整數(shù)氛圍內(nèi)討論，被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù)，余數(shù)為零;

除盡：未限制數(shù)域范圍，只是除完后沒有余數(shù)。

練習(xí)

(1)是否有最小的自然數(shù)？

⑵是否有最大的整數(shù)？

⑶把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的括號(hào)中。

22

-60,12,3.14,0,1,-1,-0.618,一

7

正整數(shù)(),負(fù)整數(shù)(),自然數(shù)()，整數(shù)()O

⑷下列各式中，哪些式子表示整除？

124-4=3()204-0.5=40()354-7=5()

454-45=1()4.24-1.4=3()784-7.8=10()

(5)2.64-1.3=2,能不能說2.6能被1.3整除?

⑹如果a表示一個(gè)自然數(shù)，且a，2,寫出：

①緊挨著它，在它后面的兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)

②緊挨著它，在它前面的兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)0

⑺下列算式中，哪些是除盡？哪些是整除？

42+7=6()

3+5=0.6()

4+0.2=20()

5+3=1....2()

8.14-3=2.7()

2+3=0.66666()

1.2因數(shù)和倍數(shù)

（1）倍數(shù)和因素：如果數(shù)a能被數(shù)b（b手0）整除，a就叫做b的倍數(shù)（mutiple）,b就叫做a的因數(shù)（factor）

（或a的約數(shù)）。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。

（2）因素的特征：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。

⑶倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。

個(gè)數(shù)最小最大

因數(shù)有限1它本身

倍數(shù)無限它本身沒有

（4）一個(gè)數(shù)的因素的求法：

①列乘法算式或直接用口訣找，即這個(gè)數(shù)是哪兩個(gè)數(shù)的乘積，注意要找出所有的可能性;

②列除法算式找，即這個(gè)數(shù)所有能整除的整數(shù)。

例：求18的因素。

①乘積是18的算式有：1X18=18,2X9=18,3X6=18,所以，18的因素有1,2,3,6,9,18。

②18能整除的算式有：184-1=18,184-2=9,184-3=6,所以，18的因素有1,2,3,6,9,18。

⑸一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法：這個(gè)數(shù)和任何非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)，所以，求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法可以

列乘法算式找。

?任何正整數(shù)都是1的倍數(shù)。

練習(xí)

填空：

⑴45?5=9,（）能被（）整除，（）能整除（）；（）是（）的因數(shù)，（）

是（）的倍數(shù)。

⑵一個(gè)正整數(shù)a的因數(shù)的個(gè)數(shù)是（），其中最小的一個(gè)是（），最大的一個(gè)是（）；正整數(shù)a的倍

數(shù)的個(gè)數(shù)是（）,其中最小的一個(gè)是（）。

⑶一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是9,那么這個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是（）,最小因數(shù)是（）。

(4)有一個(gè)數(shù)，它既是6的倍數(shù)，又是6的因數(shù)，這個(gè)數(shù)是()o

1.3數(shù)的整除性

常見數(shù)的倍數(shù)特征：

⑴2的倍數(shù)特征：個(gè)位是偶數(shù)，即個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除。

⑵3的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。

⑶5的倍數(shù)特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除。

⑷9的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

⑸11的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的奇位上的數(shù)字之和與偶位上的數(shù)字之和的差相等或是11的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被

11整除。

(6)7、11、13的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差是7、11、13的倍數(shù)，這

個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除。

⑺4或25的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4(或25)整除，這個(gè)數(shù)就能被4(或25)整除。

(8)8或125的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8(或125)整除，這個(gè)數(shù)就能被8(或125)整除。例如：

1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。

(9)能同時(shí)被2,5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0。

(10)能同時(shí)被2,3,5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0,而且各個(gè)位上的數(shù)字的和能被3整除。

(11)能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

例1:一年級(jí)72名學(xué)生課間加餐共交口52.7口元，□處的數(shù)字辨認(rèn)不清，問每個(gè)學(xué)生交了多少錢？(★)

解：由于72=8X9,

因此，口527口要都能被8、9整除，

□527□被8整除，即27口被8整除，

從而得出個(gè)位數(shù)字是2。

口527口被9整除，即：

□+5+2+7+2=口+7+9

被9整除，從而可得首位是2。

所以每人交了：252.72-72=3.51(元)。

答：每人交了3.51元。

例2：要使六位數(shù)15ABe6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、0?(★)

解：因?yàn)?6=4X9,

所以C只可能是1,3,5,7,9o

要使商最小，首先A應(yīng)盡可能小，

于是取A=0,又

1+5+6+A+B+C=9+3+B+C

能被9整除，即B+C+3是9的倍數(shù)，

C只能是1,3,5,7,9,而B應(yīng)盡可能小，

因此B取1,C取5。

答：A、B、C分別是0、1、5。

練習(xí)1.1(★)

1、有15位同學(xué)參加學(xué)校組織的夏令營(yíng)活動(dòng)，老師準(zhǔn)備把他們平均分成若干小組，有幾種分法？有可能把他們

平均分成4個(gè)小組嗎？為什么？

2、一班同學(xué)分成四個(gè)小組糊紙盒，每組糊的個(gè)數(shù)同樣多，小馬虎統(tǒng)計(jì)時(shí)說：全班共糊紙盒342個(gè)。小馬虎統(tǒng)

計(jì)錯(cuò)了嗎？為什么？

3、不超過100的正整數(shù)中，能被25整除的數(shù)有哪些？不錯(cuò)過1000的正整數(shù)中，能被125整除的數(shù)有哪些？

1.4奇數(shù)與偶數(shù)(★)

(1)奇數(shù)與偶數(shù)：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)(evennumber);不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)(oddnumber)o

?0是偶數(shù)。

?自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

?設(shè)n是整數(shù)，則：2n是偶數(shù)，2nT或2n+1是奇數(shù)；設(shè)n是正整數(shù)，貝h2n是正偶數(shù)，2nT是正奇數(shù)。

⑵奇數(shù)偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

①奇數(shù)士奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)士偶數(shù)=奇數(shù)，

偶數(shù)士偶數(shù)=偶數(shù)；

②奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，

偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)。

③奇數(shù)的正整數(shù)次森是奇數(shù)，

偶數(shù)的正整數(shù)次幕是偶數(shù)。

④兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是奇數(shù)，積是偶數(shù)。

⑶推廣結(jié)論：

①奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)，任意有限個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù)。

②若干個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)。

③如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中

至少有一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)。

④如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，

那么這兩個(gè)整數(shù)一定是一奇一偶。

⑤兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同。

例1:在1,2,2008中每個(gè)數(shù)前面任意添加“+”、“一”號(hào)，最終的運(yùn)算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說

明理由。(★)

解：因?yàn)閍—b與a+b的奇偶性相同，

所以將算式中每一個(gè)數(shù)前的“一”號(hào)逐一改成“+”號(hào)，其結(jié)果的奇偶性不變，

故所求的結(jié)果與1+2+…+2008=1004X2009的奇偶性相同,

因此，所求算式的結(jié)果為偶數(shù)。

例2:將1,2,?-?,99重新排列成ai,a2,…，a”,求證:乘積(ai—1)(a2-1)…(agg—1)一定是偶數(shù)。(★)

解：1,2,…，99中有50個(gè)奇數(shù)，49個(gè)偶數(shù)，

ai,a2,…，a99中也有50個(gè)奇數(shù)，49個(gè)偶數(shù)，

所以ai,a3,a5,…，a99這50個(gè)數(shù)中必有一個(gè)是奇數(shù)，設(shè)其中ak是奇數(shù)，貝I：

ak—k是兩個(gè)奇數(shù)之差，因而是偶數(shù)，

所以(a[—1)(a2—1)???(a99—1)一■定是偶數(shù)。

練習(xí)1.2(*)

1、5個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320,這五個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別是幾？

2、用15、16、17、18、19這五個(gè)數(shù)兩兩相乘，可以得到10個(gè)不同的乘積，問乘積中有多少個(gè)偶數(shù)？

3、一次舞會(huì)有七名男士和七名女士參加，一名男士和一名女士在一起跳為跳一次舞，會(huì)后統(tǒng)計(jì)出有8人各跳了

6次，有5人各跳了3次，問余下的一人至少跳了幾次？

4、13個(gè)不同的自然數(shù)之和等于100,其中偶數(shù)最多有幾個(gè)?偶數(shù)最少有幾個(gè)?

第二節(jié)分解素因數(shù)

1.5素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)

(1)素?cái)?shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做素?cái)?shù)(primenumber)(或質(zhì)數(shù))。

?100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：100以內(nèi)共有26個(gè)質(zhì)數(shù)，具體為：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、

41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、970熟記20以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。

⑵合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)(compositenumber)o

?重點(diǎn)注意：

①1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；

②2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)；

③4是最小的合數(shù)；

④正整數(shù)可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。因此，一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)就一定不是合數(shù)，是合數(shù)就一定不是質(zhì)數(shù)。

⑶素因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)素?cái)?shù)相乘的形式，其中每個(gè)素?cái)?shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的

素因數(shù)(也叫質(zhì)因數(shù))。例如15=3*5,3和5叫做15的素因數(shù)。

例1：判斷3333334111111是素?cái)?shù)還是合數(shù)？(★)

解：3333334111111

=3333333000000+1111111

=1111111X3000000+1111111

=1111111(3000000+1)

=1111111X3000001

所以，3333334111111是合數(shù)。

例2：桌子上有一堆石子共1001粒，第一步從中扔去一粒石子，并將余下的石子分成兩堆。以后的每一步，

都從某個(gè)石子數(shù)目多于1的堆中扔去一粒，再把這堆分成兩堆，試問：能否在若干步以后，使桌上的每

一堆中都剛好有3粒石子？(★)

⑴小明：我家的門牌號(hào)是最小的質(zhì)數(shù)和最小的合數(shù)分別連續(xù)寫兩次。

小麗：我家的門牌號(hào)是10以內(nèi)的奇數(shù)從大到小排列。

你知道小明家和小麗家的門牌號(hào)分別是多少嗎？

解：假設(shè)結(jié)果可能，并設(shè)最后剩下n堆，每堆3粒，

則在此之前一共進(jìn)行了(n-1)次操作，而每次操作都扔去一粒，

所以一共扔去(n-1)粒，

因此3n+(n-1)=1001,即4n=1002

因?yàn)?n是4的倍數(shù)，而1002不是4的倍數(shù)，這樣就產(chǎn)生了矛盾，所以，假設(shè)不成立。

所以，不可能在若干步以后，使桌上的每一堆中都剛好有3粒石子。

(4)分解素因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)素因數(shù)相乘的形式，即求素因數(shù)的過程叫做分解素因數(shù)。把一個(gè)合

數(shù)分解素因數(shù)，通常可用“短除法"或“樹枝分解法”。

?用短除法分解素因數(shù)的步驟：

①先用一個(gè)能整除這個(gè)合數(shù)的素?cái)?shù)(通常從最小的開始)去除；

②得出的商如果是合數(shù)，再按照上面的方法繼續(xù)除下去，直到得出的商是素?cái)?shù)為止；

③然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商按從小到大的順序?qū)懗蛇B乘的形式。

例3：把60分解質(zhì)因數(shù):

2

5

60=2X2X3X5。

?樹枝分解法:

例4：把60分解質(zhì)因數(shù)：

60

230

215

35

60=2X2X3X5。

?一個(gè)數(shù)的因素個(gè)數(shù)的計(jì)算訣竅：用分解素因數(shù)的方法將這個(gè)數(shù)分解成素因數(shù)的乘積，并將相同的素因數(shù)用

43

賽次方的形式表示，則因素個(gè)數(shù)=各素因數(shù)的賽次方分別加1后相乘，如：42000=2X3X5X7,則42000

的因素有（4+1）X（1+1）X（3+1）X（1+1）=80個(gè)。（★）

⑸素?cái)?shù)與合數(shù)的性質(zhì)：

①素?cái)?shù)有無數(shù)多個(gè)。

②2是唯一的偶素?cái)?shù)。大于2的素?cái)?shù)必為奇數(shù)。如果兩個(gè)素?cái)?shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個(gè)是2；如

果兩個(gè)素?cái)?shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個(gè)是2。

③若素?cái)?shù)pIab,則必有p|a或p|b。（★）

④若正整數(shù)a、b的積是素?cái)?shù)p,則必有a|p或b|p。（★）

a]a2ak

⑤唯一^分解定理：任何整數(shù)n（n>1）可以唯一地分解為：n=piP2pk,P1Vp2V…Vpk是素?cái)?shù)；ai,

a2,…ak是正整數(shù)。（★）

.2222.

例5：已知四個(gè)質(zhì)數(shù)滿足P1Vp2Vp3Vp4,且P1+p2+P3+P4=511,試求這四個(gè)質(zhì)數(shù)。（★）

解：由于511是奇數(shù)，

所以這四個(gè)質(zhì)數(shù)不都是奇數(shù)，其中必有偶質(zhì)數(shù)2,即P1=2,代入得：

222

P2+P3+P4=507

,2

因?yàn)?07V529=23,

所以P4<19,

_22

⑴若P4=19,則p2+p3=146,

2

可知73Vp3Vl46,P3=11,P2=5;

,22

⑵若P4=17,則P2+P3=218,

2

可知109Vp3<218,p3=11或13,

2

P3=11時(shí)，P2=97,P2無解；

,2

P3=13時(shí)，p2=49,P2=7;

所以，這四個(gè)質(zhì)數(shù)為2、5、11、19或2、7、13、17o

2222

例6:當(dāng)x取1到10之間的質(zhì)數(shù)時(shí)，四個(gè)整式：x+2、x+4、x+6、x+8的值中，共有質(zhì)數(shù)多少個(gè)？（★）

解：1到10之間的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7,

由于2是偶數(shù)，所以可用質(zhì)數(shù)為3、5、7O

2222

當(dāng)x=3時(shí)，X+2=11,X+4=13,X+6=15,x+8=17,有11、13、17三個(gè)質(zhì)數(shù)；

2222

當(dāng)x=5時(shí)，X+2=27,X+4=29,x+6=31,x+8=33,有29、31兩個(gè)質(zhì)數(shù)；

2222

當(dāng)x=7時(shí)，x+2=51,x+4=53,x+6=55,x+8=57,有53一個(gè)質(zhì)數(shù)；

所以，共有6個(gè)質(zhì)數(shù)。

例7:三個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于它們的和的11倍，求這三個(gè)質(zhì)數(shù)。(★)

解：設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別為P、Q、R,則有：

PQR=11(P+Q+R)

可知，必有一質(zhì)數(shù)為11,設(shè)R=11,

貝hPQ=P+Q+11,

PQ-P-Q=11,

P(Q-1)-(Q-1)=12,

(P-1)(Q-1)=12,設(shè)PWQ,

所以P—1=1,Q-1=12,或P—1=2,Q-1=6,或P—1=3,Q-1=4,得：

P=2,Q=13,或P=3,Q=7,或P=4,Q=5(不符合質(zhì)數(shù)的條件，舍去)，

故所求的三個(gè)質(zhì)數(shù)為2、11、13或3、7、11。

練習(xí)1.3(1)(★)

1、在1到100這100個(gè)自然數(shù)中任取其中的n個(gè)，要使這n個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)合數(shù)，則n至少是多少？

2、有三張卡片，在它們上面各寫著一個(gè)數(shù)字2、3、4,從中抽出一張、二張、三張按任意順序排列起來，可

以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請(qǐng)你將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。

3、已知P,P+10,P+14都是質(zhì)數(shù)，求所有這樣的數(shù)P。

練習(xí)1.3(2)(★)

1、分解素因數(shù)：45,88,126o

2、農(nóng)民用幾只船分三次運(yùn)送315袋化肥，已知每只船載的化肥袋數(shù)相等且至少載7袋，問每次應(yīng)有多少只船,

每只船載多少袋化肥？（每只船至多載50袋化肥）

3、在乘積1000X999X998義....X3X2X1中，末尾連續(xù)有多少個(gè)0?

4、已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a、b、c,它們的積等于30,求適合條件的a、b、c的值。

5、證明：存在2006個(gè)連續(xù)數(shù)，它們都是合數(shù)。

LA公因數(shù)與最大公因數(shù)

⑴公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

?如果ai,a2,…，an和d都是正整數(shù)，且d|ai,d|a2,…，d|an,那么d叫做ai,a2,…，an的公因

數(shù)，公因數(shù)中最大的叫做最大公因數(shù)，記作(ai,a2,an)。(★)

⑵互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，也叫互素。

?成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況：

①1和任何自然數(shù)互質(zhì)；

②相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

③兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

④相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)；

⑤當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

⑥兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)；

⑦如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

?兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的特殊情況：

①如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；

②如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。

⑶求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：

①列舉法：分別列舉出每個(gè)數(shù)的所有因素，然后從公因數(shù)中找出最大的一個(gè)公因數(shù)，就是這幾個(gè)數(shù)的最大公

因數(shù)。

②分解素因數(shù)法：分別將每個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，然后將所有公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因

數(shù)。

③短除法：用所求的幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除這幾個(gè)數(shù)，除到所得的商沒有公因數(shù)為止，然后將左邊除數(shù)連乘，

所得的積就是它們的最大公因數(shù)。

例1：用短除法求12和42的最大公因數(shù)。

2|1242

&|62i~

27

12和42的最大公因數(shù)是2x3=6。

例2：用短除法求84、126和210的最大公因數(shù)。

2184126210

34263105

7142135

235

84、126和210的最大公因數(shù)是2x3x7=42。

例3：在3和9、4和9、3和7、7和14、14和15五對(duì)數(shù)中，哪幾對(duì)數(shù)是互素的？

解：根據(jù)互素的概念，如果兩個(gè)整數(shù)只有公因數(shù)1,則這兩個(gè)數(shù)互素。

所以，在這五對(duì)數(shù)中，4和9、3和7、14和15這三對(duì)只有公因數(shù)1,

所以這三對(duì)數(shù)互素。

例4：植樹節(jié)這天，老師帶領(lǐng)24名女生和32名男生到植物園種樹。老師把這些學(xué)生分成人數(shù)相等的若

干個(gè)小組，每個(gè)小組中男生人數(shù)相等。請(qǐng)問，這56名同學(xué)最多能分成幾組？(★)

解：分成的組數(shù)能整除24和32,也就是24和32的因數(shù)，題目實(shí)際上是求24和32的最大公因數(shù)。

(24,32)=8

答：這56名同學(xué)最多能分成8個(gè)組。

練習(xí)

(1)求8,9和30的最大公因數(shù)。

⑵求18和30的最大公因數(shù)。

(3)用短除法求60和72的最大公因數(shù)。

(4)用短除法求48、72和120的最大公因數(shù)。

練習(xí)1.4(川

1、2520的因數(shù)有多少個(gè)？

2、求24,44,60的最大公因數(shù)。

11111

3、分?jǐn)?shù)--------是不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)？

15015

4、一塊長(zhǎng)方形木料，長(zhǎng)72cm,寬60cm,高36cm,請(qǐng)你把它鋸成同樣大的正方形木塊，且木塊的體積要最

大，木料又不能剩，算一算可以鋸成幾塊？

5、有一級(jí)茶葉165克，二級(jí)茶葉198克，三級(jí)茶葉242克，三者價(jià)值相等,現(xiàn)將這三種茶葉分別裝袋（均

為整克數(shù)），每袋價(jià)值相等，價(jià)格最低，怎樣分裝？

1.6公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

⑴公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：兩個(gè)或多個(gè)數(shù)都有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)

數(shù)的最小公倍數(shù)。

?如果ai,a2,…，an和m都是正整數(shù)，且|m,a2Im,anIm,那么m叫做a1，a2,…，an

的公倍數(shù)，公倍數(shù)中最小的叫做最小公倍數(shù)，記作［a］，a2,an］°（★）

?幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

?兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的特殊情況：

①如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；

②如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

⑵求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：

①枚舉法：分別列出每個(gè)數(shù)的倍數(shù)，然后找出它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)就是它們的最小公倍數(shù)。

②分解素因數(shù)法：分別將每個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，然后取它們所有公有的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，

將這些素因數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

③短除法：

a.兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：用兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除這兩個(gè)數(shù)，除到所有的商互素為止，然后將所有除數(shù)和最后

得到的商連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

b.三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)：首先，用三個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除每個(gè)數(shù)，除到三個(gè)數(shù)的商互素為止；其次，再用每?jī)?/p>

個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除每個(gè)數(shù)，除到三個(gè)數(shù)的商成為兩兩互素（任意的兩個(gè)商互素）為止；第三，把這些除數(shù)

和最后的商相乘，所得的積就是這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

例1：用短除法求12和42的最小公倍數(shù)。

2|1242

3621

27

12和42的最小公倍數(shù)是2x3x2x7=84。

例2:用短除法求84、126和210的最大公因數(shù)。

2L84126144

3426372

7142124

22324

31312

114

84、126和210的最小公倍數(shù)是2x3x7x2x3x1x1x4=1008o

例3：求18和30的最小公倍數(shù)。

解：方法一：

18的倍數(shù)有18,36,54,72,90...

30的倍數(shù)有30,60,90,120,150...

所以18和30的最