安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學試題 含解析

數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分滿分150分，考試時間120分鐘2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解出集合B，再進行集合的并集運算.【詳解】因為，所以.故選：C2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算法則可求，進而可得共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】由，可得，所以，所以.所以復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第三象限.故選：C.3.已知平面向量、滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設，由題意可得，進而可求的取值范圍.【詳解】設，又，，因為，所以，所以在以為圓心，4為半徑的圓上，又，則，即.故選：A.4.樹人學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（）A.20種 B.40種 C.60種 D.80種【答案】C【解析】【分析】利用分組分配問題分類討論一一計算即可.【詳解】由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法.故選：C5.有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率（）A.0.054 B.0.0535 C.0.0515 D.0.0525【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，根據(jù)全概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意，設任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，任取一個零件是次品的概率，故選：B6.已知直線與圓交于不同的兩點，O是坐標原點，且有，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設中點為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點到直線的距離解不等式即可.【詳解】設中點為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點，∴，故，則，.故選：C．7.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計算即可.【詳解】先作出的大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個不等根，且有兩個整數(shù)根，有三個整數(shù)根，結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時符合題意，因為，當且僅當時取得等號，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時有兩個整數(shù)根或，而要滿足有三個整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當時有，則，解方程得的另一個正根為，又，此時五個整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A8.“三角換元思想”是三角函數(shù)中基本思想.運用三角換元法可以處理曲線中的最值問題.譬如：已知，求的最大值.我們令，，則.這樣我們就把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.已知是曲線上的點，則的最大值為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】D【解析】分析】設，可得，令，進而可得，令，利用導數(shù)可得其單調(diào)性，進而可求最大值.【詳解】設，由，可得，則，設，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以當時取最大值，最大值為，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（）A.直線與平面所成的角等于B.四棱錐的體積為C.兩條異面直線和所成的角為D.二面角的平面角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義及求法即可判斷A；由平面即可求出四棱錐的體積判斷B；由異面直線所成角的定義及求法即可判斷C；由平面角的定義及余弦定理即可判斷D．【詳解】如圖，取的中點，連接，則，而平面，平面，得，平面則平面，所以是直線與平面所成的角為，故A正確；點到平面的距離為的長度為，則，故B正確；易證，所以異面直線和所成的角為或其補角，因為為等邊三角形，所以兩條異面直線和所成的角為，故C正確；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D錯誤．故選：ABC．10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前n項和為C.的前100項和為100 D.的前30項和為357【答案】AD【解析】【分析】當時，，兩式相減可求出，檢驗滿足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.【詳解】當時，，當時，，兩式相減可得：，所以，顯然當時，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項和為，故B錯誤；令，的前100項和為：，故C錯誤；令，所以的前30項和為：，故D正確.故選：AD.11.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點P的橫坐標的取值范圍是 B.OP的最大值是C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙紐線的定義求出曲線的方程，逐一判斷各選項的真假即可.【詳解】設是曲線上任意一點，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當時，曲線的方程為，對于A：整理可得：，則，可得，解得，故A錯誤；對于B，，因為，所以，所以，所以，即曲線上任意一點到坐標原點的距離的最大值為，故B正確；對于C：，令，則，所以，所以當時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：，當且僅當，即時取等號，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：利用雙紐線的定義求得曲線方程是關(guān)鍵，進而利用不等式求得最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.【答案】##【解析】【分析】把所給式子兩邊平方相加可求得結(jié)果.【詳解】由，可得①，由，可得②，所以①+②，可得,所以，所以.故答案為：.13.橢圓C：的左右焦點分別為、，點M為其上的動點.當為鈍角時，點M的橫坐標的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】設點，由余弦定理得，再結(jié)合即可求解.【詳解】設，焦點，.因為為鈍角，所以，即.整理得：.因為點Mx,y在橢圓上，代入得解得又因為，所以點縱坐標的取值范圍.故答案為：.14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對應的4個整數(shù)（，，，）通過加減乘除（沒有乘方開方）以及括號運算，使最后的運算結(jié)果是24的一個數(shù)學游戲.因為和撲克牌的花色無關(guān)，所以游戲可以看作在集合中每次任選1個數(shù)，選4次得到4個整數(shù)，記為數(shù)組，因為算24和選取4個數(shù)的順序無關(guān)，可以假設.比如.顯然游戲不同的牌組就對應不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有______個.如果數(shù)組為，寫出一個結(jié)果為24的算式______.【答案】①.1820②.【解析】【分析】分類討論中相等的個數(shù)，結(jié)合組合數(shù)運算求解；若數(shù)組為，直接運算即可.【詳解】因為數(shù)組，且，若中四個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中三個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若有且僅有2個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中有2組2個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中沒有數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；所以所有不同的數(shù)組一共有個；如果數(shù)組為，則.故答案：1820；.四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，面積為S，且.（1）求B；（2）若，，D為邊的中點，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計算即可；（2）利用余弦定理先求c，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式及其運算律計算即可.【小問1詳解】由三角形面積公式及條件可知：，由余弦定理知，所以，因為，所以；【小問2詳解】結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點，.（1）證明：平面；（2）若點P是棱上的動點，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，推導出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理逆定理可證得結(jié)論成立；（2）以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，其中，求出平面的一個法向量的坐標，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接，與交于Q點，在底面矩形中，易知，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；【小問2詳解】由上可知，，，以點A為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0、、、、，設平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設，其中，則，因為直線與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.17.高三聯(lián)考數(shù)學試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項的得0分.設一套數(shù)學試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：（1）小明可以確認一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學期望為3，求p；（2）小明可以確認另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，小明應該選擇哪個方案？【答案】（1）（2）②【解析】【分析】（1）根據(jù)離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可，（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.【小問1詳解】根據(jù)題意可知，，若該題有2個選項正確，則，若該題有3個選項正確，則，則分布列如下：X046P所以，解之得；【小問2詳解】不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件，“有3個選項正確”為事件，若小明選擇方案①，記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應概率為：，故；若小明選擇方案②，記小明該題得分為，則的可能取值為，對應概率為：，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應概率為：，.故，，故以最后得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，小明應該選擇方案②.18.已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過點.（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且（點O為坐標原點），求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過的點即可聯(lián)立求解曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，進而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標運算化簡得，根據(jù)弦長公式，結(jié)合不等式即可求解，【小問1詳解】由題意可得，解得，故雙曲線方程為.【小問2詳解】當直線斜率不存在時，可設，則，將其代入雙曲線方程，又，解得，此時，當直線斜率存在時，設其方程為，設Ax1,聯(lián)立，故，則，化簡得，此時，所以，當時，此時，當時，此時，，故，因此，綜上可得.19.給出以下三個材料：①若函數(shù)可導，我們通常把導函數(shù)的導數(shù)叫做的二階導數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的三階導數(shù)，記作，函數(shù)的三階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的四階導數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的n階導數(shù)，記作，；②若，定義；③若函數(shù)在包含某個開區(qū)間上具有任意階的導數(shù)，那么對于任意有，我們將稱為函數(shù)在點處的泰勒展開式.例如在點處的泰勒展開式為根據(jù)以上三段材料，完成下面