蘇科版2024-2025學年九年級數學上冊1.6 解一元二次方程（公式法與因式分解法）（專項練習）（含答案）

專題1.6解一元二次方程（公式法與因式分解法）（專項練習）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2024·河北石家莊·二模）已知一元二次方程的兩根分別為，，則這個方程不可能為（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級下·廣西梧州·期中）解關于的方程得（

）A．， B．，C．， D．，3．（23-24九年級上·福建漳州·期中）用公式法解方程，所得解正確的是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）下列一元二次方程最適合用因式分解來解的是()A． B．C． D．5．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習）如圖，在中，于點E，，，且a是一元二次方程的根，則的周長為（

）A． B． C．10 D．6．（23-24九年級上·河南開封·期末）若關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．7．（23-24八年級下·四川內江·期中）若分式方程有增根，則a的值是（

）A．1 B．3 C． D．8．（2024·浙江杭州·一模）在實數范圍內定義一種新運算“※”，其運算規(guī)則為．根據這個規(guī)則，方程的解是（

）A． B． C．或 D．或9．（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習）已知是一元二次方程較大的根，則下面對的估計正確的是A． B． C． D．10．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）如圖，已知點，點在軸正半軸上，將線段繞點順時針旋轉到線段，若點的坐標為，則的值為（

）A． B． C． D．1二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．方程的解是．12．（2024·江西九江·二模）若關于的一元二次方程的一個根為，則另一個根為．13．（23-24八年級上·上海青浦·期中）在實數范圍內因式分解：．14．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習）己知，求代數式．15．（23-24八年級下·山東泰安·期中）已知三角形的兩邊長分別是5和8，第三邊的長是一元二次方程的一個實數根，則該三角形的周長是．16．（22-23九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，點C在線段上，D在線段上，且，，，若則的長為．17．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）已知x為實數，若，則．18．（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，已知矩形，，，為邊上一點，，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿著邊向終點運動，連接，設點運動的時間為秒，則當的值為時，是以為腰的等腰三角形．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（23-24八年級下·福建福州·階段練習）解下列方程：(1)；(2)．20．（8分）（2024八年級下·江蘇無錫·專題練習）（1）解方程：．（2）解分式方程：；21．（10分）（2023·江蘇宿遷·模擬預測）先化簡，再求代數式的值：，其中a滿足方程22．（10分）（23-24九年級下·山東煙臺·期中）用指定的方法解方程：(1)（用配方法）(2)（用公式法）(3)（用因式分解法）(4)（用適當的方法）23．（10分）（2024·安徽六安·三模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”．其規(guī)律是：從第3行起，每行兩端的數都是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和．圖中兩平行線之間的一列數：1，3，6，10，15，……，我們把第1個數記為，第2個數記為，第3個數記為，……，第n個數記為．

（1）根據這列數的規(guī)律，，（2）這列數中有66這個數嗎？如果有，求n；如果沒有，請說明理由．24．（12分）（23-24八年級下·上海奉賢·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸和y軸分別交于點B、C，與直線相交于點A．（1）求點A的坐標；（2）已知點P在線段上．①若點P是的中點，求線段的長度；②點D在直線上，點H在x軸上，當四邊形是正方形時，求點P的坐標．參考答案：1．D【分析】本題考查了一元二次方程的根，分別求出各選項中方程的根，然后再根據一元二次方程的根的定義進行判斷即可得到答案.【詳解】解：A、，解得：，，符合題意；B、，解得：，，不符合題意；C、，解得：，，不符合題意；D、，解得：，，不符合題意；故選：D.2．B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用因式分解法求解即可．直接運用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，或，，．故選B．3．A【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握公式法；因此此題可根據公式法求解方程．【詳解】解：∴，∴，∴；故選A．4．B【分析】本題主要考查解一元二次方程根據解一元二次方程的方法直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適的方法，進行判斷即可．【詳解】解：A.適合用直接開平方法，符合題意；B.，適合用因式分解法，符合題意；C.適合用公式法，符合題意；

D.適合用配方法法，符合題意；故選：B．5．A【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基礎知識要熟練掌握．先解方程求得，再根據勾股定理求得，從而計算出的周長即可．【詳解】解：是一元二次方程的根，，即，解得，或（不合題意，舍去）．∴，，在中，，，的周長．故選：A．6．C【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關鍵在于熟知關于一元二次方程若有解，則其解為．【詳解】解：由題意得：，，，∴該方程為，故選：．7．B【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過程中，產生的不適合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計算即可求出的值．【詳解】解：去分母得：，分式方程有增根，，，把代入，得，，經檢驗：時分式方程有增根，符合題意．故選B．8．C【分析】根據新定義，列出常規(guī)式的方程，解答即可．本題考查了新定義的應用、解一元二次方程，正確理解定義，建立方程是解題的關鍵．【詳解】∵，，∴，整理，得，解得或，故選C．9．C【分析】先用公式法求出兩個解，再觀察可知，較大解中包含，最后利用的范圍，求出解的范圍．【詳解】解：∵一元二次方程的解為：，∴較大的根為：，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程的解法和無理數取值范圍，正確代入公式計算是關鍵．10．A【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，旋轉的性質，一元二次方程的解法，先證明，設，再建立方程組解題即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，設，∴，由①得：③，把③代入②得：，∴，∴，解得：，（經檢驗負根舍去）；故選A11．，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本題的關鍵．把方程化為，再利用因式分解的方法解方程即可．【詳解】解：∵，，，或，解得：．故答案為：，．12．【分析】此題考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含義先求解，再解方程即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的一個根為，∴，解得：，∴原方程為，∴，解得：，；故答案為：13．【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根據題目中所說的方法進行分解因式即可，解題關鍵是熟練掌握求方程的根再分解因式的方法．【詳解】解：令，解得：，，∴，故答案為：．14．或【分析】本題考查了解一元二次方程，求代數式的值；由已知消去字母a，得到關于b的一元二次方程，解之求得b的值，即可求得a的值，從而求得結果．【詳解】解：由得：，代入中，整理得，解得：，對應地：；當時，；當時，；綜上，代數式的值為或；故答案為：或．15．【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形的三邊關系，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三邊關系判斷即可得到結果．【詳解】解：，∴或，解得：，當時，∵，∴不能構成三角形，∴不合題意，舍去，當時，∵，∴能構成三角形，此時該三角形的周長是，故答案為：．16．【分析】根據，有，再根據，可得，即，解方程即可求解，問題隨之得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得：（負值舍去），∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意得到關于的一元二次方程是解答本題的關鍵．17．1【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質是轉化，設，則原方程轉化為關于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解該方程求得y的值即可．【詳解】解：設，則，整理，得．所以或．解得或．當時，，此時該方程無解，故舍去．綜上所述，．故答案為：1．18．或【分析】根據矩形的性質得出，，求出，，由勾股定理求出，，分為兩種情況：①當時，②當時，求出即可．【詳解】解：根據題意得：，∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，，由勾股定理得：，過作于，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，由勾股定理得：，①當時，，解得：，，∵不符合題意，舍去；②當時，，解得：，即當的值為或時，是以為腰的等腰三角形，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知識點，能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．19．(1)，(2)，【分析】本題主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：整理得：，，∴，．（2），或，解得：，．20．（1），；（2）【分析】本題主要考查解一元二次方程，分式方程，熟練掌握一元二次方程和分式方程的解法是解題的關鍵，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進行檢驗即可得．【詳解】解：（1）(∴或，解得：，．（2）去分母得，解得檢驗：將代入∴原方程的解為．21．，時，原式；時，原式【分析】本題考查分式的化簡求值，解一元二次方程，先根據分式的混合運算法則，進行化簡，再求出方程的解，將方程的解代入求解即可【詳解】解：原式；∵，∴，或，∴原式，當時，原式；當時，原式．22．(1)，(2)(3)(4)【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）運用配方法解方程，先移項再配方，然后開方即可作答．（2）先化為一般式，再根據算出，以及代入進行化簡，即可作答．（3）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進行解出的值，即可作答．（4）先移項，再提取公因式，令每個因式為0，進行解出的值，即可作答．【詳解】（1）解：移項，得配方，得，即∴解得，；（2）解：∴解得；（3）解：則解得；（4）解：∴解得．23．(1)45，(2)有66這個數，是第11個數，理由見解析．【分析】本題主要考查找規(guī)律和解一元二次方程：（1）根據題目中的數據，可以寫出前幾項，從而可以數字的變化特點，然后即可得到的值；（2）當時，得一元二次方程，求解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可得，，，，，，…，∴，∴當時，，故答案為：45；；（2）解：當時，即：