蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)2.24證明切線的幾種常用方法(全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)(學(xué)生版+解析)（含答案解析）

專題2.24證明切線的幾種常用方法（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】證明一條直線是圓的切線的方法及輔助線的作法連半徑、證垂直：當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”作垂直，證半徑：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確時(shí)，可以過(guò)圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”【知識(shí)點(diǎn)一】證明切線的類型與方法類型一、有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直方法1、特殊角計(jì)算法證垂直方法2、平行線性質(zhì)法證垂直方法3、等角代換法證垂直方法4全等三角形法證垂直類型二、無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑方法5角平分線的性質(zhì)法證半徑方法6全等三角形法證半徑第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（特殊角計(jì)算法證垂直）【例1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)D在的直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在上，，，求證：是的切線．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)O作交于D，．求證：是的切線．【變式2】（2024·西藏日喀則·一模）如圖，是的外接圓，且（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑長(zhǎng)．【題型2】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直(平行線性質(zhì)法證垂直)【例2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以上一點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的面積．【變式1】（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，，是以為直徑的上的點(diǎn)，且弦交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)．求證：是的切線；【變式2】（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，以AB為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E．連接，．作，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）求的度數(shù)．【題型3】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（等角代換法證垂直）【例3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，．求證：與相切．【變式1】（21-22九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接，，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【變式2】（23-24九年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C在上，過(guò)點(diǎn)C的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，．

（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求的長(zhǎng)．【題型4】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（全等三角形法證垂直）【例4】（2024·廣西南寧·三模）如圖，為的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：直線與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)．【變式1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)F，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，求證：也是的切線．【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，過(guò)C作的切線交的延長(zhǎng)線于E，交AB的延長(zhǎng)線于F，連．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑．【題型5】無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑（角平分線的性質(zhì)法證半徑）【例5】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，與以為圓心，長(zhǎng)為半徑的相切于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的半徑．【變式1】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【變式2】（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在同心，大的直徑交小于、，大的兩弦、交于，且，，弦與小切于，過(guò)作于．小的半徑為．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（2）試問(wèn)弦與小是什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；【題型6】無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑（全等三角形法證半徑）【例6】（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，O為上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且．求證：為的切線；【變式1】（2024·廣西南寧·二模）如圖，是的直徑，和分別是的切線，平分，且與交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

【例2】．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．2、拓展延伸【例1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，D是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長(zhǎng)．【例2】（2023·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線交于A、兩點(diǎn)，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且平分，過(guò)作CD⊥PA，垂足為．

（1）求證：為的切線；（2）若，，求的直徑的長(zhǎng)．專題2.24證明切線的幾種常用方法（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】證明一條直線是圓的切線的方法及輔助線的作法連半徑、證垂直：當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來(lái)，然后證明直線垂直于這條半徑，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”作垂直，證半徑：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒(méi)有明確時(shí)，可以過(guò)圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡(jiǎn)稱“作垂直，證半徑”【知識(shí)點(diǎn)一】證明切線的類型與方法類型一、有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直方法1、特殊角計(jì)算法證垂直方法2、平行線性質(zhì)法證垂直方法3、等角代換法證垂直方法4全等三角形法證垂直類型二、無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑方法5角平分線的性質(zhì)法證半徑方法6全等三角形法證半徑第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（特殊角計(jì)算法證垂直）【例1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)D在的直徑的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C在上，，，求證：是的切線．【分析】此題考查了切線的判定，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，再利用三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)即可求證，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.證明：連接，∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線．【變式1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)O作交于D，．求證：是的切線．【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定．由平行線的性質(zhì)得到，由等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，即，得證是的切線．證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線．【變式2】（2024·西藏日喀則·一模）如圖，是的外接圓，且（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)的半徑為2【分析】此題考查圓周角定理、切線的判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）連接．利用圓周角定理得到，再求出，即可得到結(jié)論；（2）連接．求出．證明．則．進(jìn)一步得到．即可得到答案．（1）證明∶連接．∵∵∴．∵，

∴．∴．∴∵是的半徑，∴是的切線．（2）解∶連接．由(1)證可得，．∵為直徑，∴．∴∴．∴．∴．∴．∴即的半徑為2．【題型2】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直(平行線性質(zhì)法證垂直)【例2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以上一點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握切線的判定定理成為解題的關(guān)鍵．（1）先證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合可得，即，最后根據(jù)圓的面積公式即可解答．（1）證明：∵在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切線．（2）解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴的面積為．【變式1】（22-23九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，，是以為直徑的上的點(diǎn)，且弦交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)．求證：是的切線；【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了切線的判定以及圓的有關(guān)知識(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證得，得出，即可證得，即可證得結(jié)論．證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵是圓的半徑，∴是的切線．【變式2】（2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，以AB為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與交于點(diǎn)E．連接，．作，與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）連接．先得出，進(jìn)而得出，則，即可得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，先推出，得出，再根據(jù)，得出，則，即可得出結(jié)論．（1）證明：連接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，在平行四邊形中∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴．【題型3】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（等角代換法證垂直）【例3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，．求證：與相切．【分析】本題主要考查切線的判定．由題意易得，，，進(jìn)而根據(jù)角的等量關(guān)系可進(jìn)行求解．解：∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵是的半徑，∴與相切．【變式1】（21-22九年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接，，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，即，求得，得到，根據(jù)切線的判定定理即可得證；（2）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．（1）證明：如答圖，連接，∵為直徑，∴，即．又∵，，∴，∴，即．∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴．∵，，，∴∴，∴．∵，是的直徑，∴是的切線．∵是的切線，∴，∵，∴，解得．【變式2】（23-24九年級(jí)上·云南文山·階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C在上，過(guò)點(diǎn)C的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，．

（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)6【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到，又，等量代換得到，證明是的切線．（2）在直角中，由，以及（1）的結(jié)論得到，然后求出線段的長(zhǎng)度即可求解．（1）證明：在中，∵，∴，∴，又∵，∴，∵是的直徑，，即，∴，即，∴，∴是的切線；（2）解：∵的半徑為2，是的直徑，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查的是切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，利用角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可以求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型4】有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直（全等三角形法證垂直）【例4】（2024·廣西南寧·三模）如圖，為的直徑，過(guò)圓上一點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：直線與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6．【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，（1）連接，根據(jù)題意得，根據(jù)得，，根據(jù)得，則，根據(jù)可得，則，根據(jù)是的半徑，即可得；（2）設(shè)的半徑為r，由（1）得，，在中，根據(jù)勾股定理得，即，進(jìn)行計(jì)算得，可得，即可得，由（1）得，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，即，進(jìn)行計(jì)算即可得；掌握切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明：如圖所示，連接，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵是的半徑，∴直線與相切；（2）解：設(shè)的半徑為r，由（1）得，，在中，，∴，，，∴，∴，由（1）得，，∴，在中，，∴，，，，即的長(zhǎng)為6．【變式1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)F，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，求證：也是的切線．【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定等：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，，根據(jù)得出，等量代換得出，即可證明；（2）由切線的定義可知，再證，推出，即可證明也是的切線．（1）證明：如圖，連接，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，；（2）證明：是的切線，；由（1）得，即，在和中，，，，又點(diǎn)D在上，是的切線．【變式2】（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，過(guò)C作的切線交的延長(zhǎng)線于E，交AB的延長(zhǎng)線于F，連．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為【分析】本題主要考查垂徑定理、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)定理并能利用等面積法解決問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）連接，由垂徑定理得，根據(jù)垂直平分線的的性質(zhì)可得，證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得即可；（2）先利用勾股定理求得，設(shè)，再根據(jù)等面積法列即可求解．（1）證明：如圖，連接，

是的切線，，為的中點(diǎn)，，，則垂直平分，，，，，，與相切；（2）解：，，，由（1）可知，，，設(shè)，，，，解得，故的半徑為．【題型5】無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑（角平分線的性質(zhì)法證半徑）【例5】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，與以為圓心，長(zhǎng)為半徑的相切于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為．【分析】此題綜合了正方形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)和判定．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到是角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可以求得其對(duì)角線的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到是圓的半徑的倍，從而根據(jù)對(duì)角線的長(zhǎng)列方程求解．（1）證明：連接，過(guò)作于；與相切，，四邊形是正方形，平分，，與相切；（2）解：四邊形為正方形，，，，，，，；又，，．【變式1】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了判定直線是圓的切線的判定、切線的性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，勾股定理求出，如圖：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，根據(jù)等面積法可得，勾股定理求出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∵是等腰直角三角形，，O為的中點(diǎn)，∴，∴，即是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，∴，∵O為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在中，，如圖：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，∴，∴，∵，∴.【變式2】（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在同心，大的直徑交小于、，大的兩弦、交于，且，，弦與小切于，過(guò)作于．小的半徑為．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)_________；（2）試問(wèn)弦與小是什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；【答案】(1)(2)相切，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，證明四邊形是矩形，即得得解；（1）解：連接，∵弦與小切于，小的半徑為，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：；（2）相切．證明：過(guò)作于，∵，∴，∴與小相切；【點(diǎn)撥】本題考查切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，弦、弧、弦心距和圓周角的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)．掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【題型6】無(wú)公共點(diǎn)：做垂直，證半徑（全等三角形法證半徑）【例6】（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，O為上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且．求證：為的切線；【分析】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等與相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，根據(jù)題意證明，再證明，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；證明：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，，，又為的切線，，，，，在和中，，，，，是半徑，是的切線；【變式1】（2024·廣西南寧·二模）如圖，是的直徑，和分別是的切線，平分，且與交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由切線的性質(zhì)得出，于是有，根據(jù)角平分線的定義得出，于是利用證得和全等，得出，于是問(wèn)題得證；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出，再證四邊形是矩形，得出，在中求出的度數(shù)、的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)，的度數(shù)，于是得出為等邊三角形，問(wèn)題即可得解．（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，是的切線，是的直徑，，，平分，，在和中，，∴，，又∵為半徑，，∴是的切線；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）知是的切線，∵和分別是的切線，，，，，，，都是的切線，，，∴四邊形是矩形，，，在中，，，由勾股定理得，，，，平分，，，，∴是等邊三角形，．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長(zhǎng)定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，角平分線的定義，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，需熟練掌握．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線與相切．

【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．【例2】．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，勾股定理求出，連接，過(guò)O作于點(diǎn)H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)．（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵與相切