2021-2022學(xué)年人教B版必修1-2.4.2-求函數(shù)零點(diǎn)近似解的一種計(jì)算方法二分法-教案

—二分法一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)選自?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)1?人教B版第二章第四節(jié)第二小節(jié)，主要分析的是函數(shù)與方程的關(guān)系。用二分法求方程的近似解是新課程中的新增內(nèi)容，它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理〞為確定方程解所在區(qū)間為依據(jù)，從求方程近似解這個(gè)側(cè)面來表達(dá)“方程與函數(shù)的關(guān)系〞，求方程近似解其中隱含“逼近〞的數(shù)學(xué)思想,并且運(yùn)用“二分法〞來逼近目標(biāo)是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù)。而且在“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟〞中滲透了算法的思想為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆。整節(jié)課充分表達(dá)新課程“滲透數(shù)學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用〞的理念，有力培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng)等。二、學(xué)情分析同學(xué)們有了第一節(jié)課的根底，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)具備根本的認(rèn)識(shí)；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，到達(dá)滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的，學(xué)生也能夠很容易理解這種方法。三、設(shè)計(jì)理念本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實(shí)際——理論——實(shí)際應(yīng)用的過程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)——學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)的提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀想象、觀察發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)建模、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等思維過程。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。2、能力目標(biāo)：利用直觀想象分析問題來培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，利用建立模型解決問題來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，通過讓學(xué)生概括二分法思想和步驟培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；在二分法思想的探求中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析，邏輯推理的能力。3、情感目標(biāo)：通過創(chuàng)設(shè)情境調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感；在二分法步驟的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉了克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握二分法的原理，能夠借助計(jì)算器，會(huì)用二分法求相應(yīng)方程的近似解；難點(diǎn)：方程近似解所在初始區(qū)間確實(shí)定及逼近的思想，二分法的原理，精確度的理解。六、教學(xué)情境設(shè)計(jì)〔1〕創(chuàng)設(shè)情境，提出問題情境一：16枚金幣中有一枚略輕,是假幣,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)尋找這枚假幣的方案？教師提問：大家分組討論盡可能多的方案。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方案一：平均分成兩份，每份8個(gè)放上去稱，輕的8個(gè)拿下來再平均分成兩份放上去稱。。。。。。。直到最后剩兩個(gè)，稱一下輕的那個(gè)就是我們要找的假幣。方案二：平均分成4份，每份4個(gè)。方案三：分3份，2份5個(gè)，一份6個(gè)，把5個(gè)的兩份稱后如果天平稱是平的就說明假幣在6個(gè)中，再平均分2份。。。。。。方案4：。。。。。?！部磳W(xué)生具體情況〕。教師提問：這么多方案中，哪一種是你第一時(shí)間想到的，最簡(jiǎn)單，方便，易操作的？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：方案一。課堂活動(dòng)：教師和學(xué)生一起感受方案一的模擬實(shí)驗(yàn)過程。設(shè)計(jì)意圖：從簡(jiǎn)單有趣的金幣問題開始，迅速調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，在學(xué)生分組討論解決問題的過程中，讓學(xué)生迅速建立二分查找的思想與方法。并且通過不同方法的比擬，例如三分，四分，甚至逐個(gè)稱來比擬，讓學(xué)生感受二分法是一種簡(jiǎn)單方便易操作的方法。感受數(shù)學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會(huì)將實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。情境二：在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的線路的某一處發(fā)生了故障。這是一條10km長(zhǎng)的線路，你能否給維修線路的師傅設(shè)計(jì)一個(gè)尋找故障點(diǎn)的方法？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不斷取線路的中點(diǎn)檢測(cè)。設(shè)計(jì)意圖：同學(xué)們有了金幣問題作鋪墊，教師可以引導(dǎo)同學(xué)們用類似的方法來解決這個(gè)連續(xù)型的線路問題。體會(huì)用二分的思想來解決實(shí)際問題的過程。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會(huì)將實(shí)際情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。教師提問：如果把這個(gè)故障點(diǎn)換成函數(shù)零點(diǎn)呢？設(shè)計(jì)意圖：引出主題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，將學(xué)生的思路與前面已解決的問題聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，抽絲撥繭，學(xué)習(xí)如何分析問題、如何利用新的知識(shí)解決問題；培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，以及運(yùn)用知識(shí)、駕馭知識(shí)的能力。培養(yǎng)學(xué)生歸納類比能力和邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕合作探究，解決問題探究1：當(dāng)確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)后，如何求出這個(gè)零點(diǎn)的近似值？教師提問：要求的函數(shù)零點(diǎn)就像線路問題中的故障點(diǎn)，初始區(qū)間類比到10km長(zhǎng)的線路，如何求這個(gè)零點(diǎn)的近似值呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：取區(qū)間中點(diǎn)。教師追問：線路問題中可以在中點(diǎn)通過檢測(cè)線路在判斷故障點(diǎn)的位置，現(xiàn)在我們?nèi)⊥曛悬c(diǎn)要如何判斷零點(diǎn)在哪一半?yún)^(qū)間呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過計(jì)算f(c)的值，看它和哪一端異號(hào)。設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生作類比，，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試探求，感受二分法的定義。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究2：嘗試歸納二分法的定義？課堂活動(dòng)：學(xué)生討論，嘗試歸納。教師小結(jié)：對(duì)于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)或零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法?！矎?qiáng)調(diào)二分法的實(shí)質(zhì)：一分為二+逐步逼近〕。設(shè)計(jì)意圖：開展學(xué)生用文字語言、符號(hào)語言等數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的根本素養(yǎng)。通過二分法的無限逼近，首次讓學(xué)生體會(huì)逐漸逼近的極限思想；將區(qū)間一分為二，通過確定零點(diǎn)的存在位置，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究3：一定要二分嗎？有沒有別的方法？比方3分4分甚至十等分呢？課堂活動(dòng)：分組討論學(xué)生發(fā)現(xiàn)：理論上可以，但是很麻煩。教師小結(jié)：當(dāng)然可以，但是就是比擬麻煩，不方便，事實(shí)上，約在1247年南宋時(shí)代，我國(guó)數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一種解決高次函數(shù)零點(diǎn)近似解的一種方法，他將區(qū)間十等分，算出各分點(diǎn)的函數(shù)值，縮小零點(diǎn)所在區(qū)間，但這種方法計(jì)算冗長(zhǎng)，不便于精確度較高的運(yùn)算，如果精確度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外這種方法在有的國(guó)家被稱為霍耐法〔Horner〕，英國(guó)數(shù)學(xué)家霍耐1819年才發(fā)現(xiàn)，遲于我國(guó)500多年。設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)其他方法的比擬，讓學(xué)生感受二分法的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單方便易操作，同時(shí)滲透對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。探究4：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)〔精確度為0.1〕。教師提問：函數(shù)有沒有零點(diǎn)？如果有，有幾個(gè)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：該函數(shù)在R上單調(diào)遞增。教師追問：在R上單調(diào)遞增的函數(shù)一定有一個(gè)零點(diǎn)嗎？課堂活動(dòng)：學(xué)生分組討論。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不一定，比方反比例函數(shù)。教師追問：非常好，那什么情況下單調(diào)的函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：要找到異號(hào)的兩端。教師追問：對(duì)于函數(shù)，你能否找到異號(hào)的區(qū)間？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：[0，1].設(shè)計(jì)意圖：教師通過追問的方式對(duì)同一函數(shù)從根的存在性問題深入到初始區(qū)間的求法，思路自然，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望。問題是數(shù)學(xué)的“心臟〞，是數(shù)學(xué)知識(shí)、能力開展的生長(zhǎng)點(diǎn)和思維的動(dòng)力，把問題作為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問題，構(gòu)造認(rèn)知沖突和懸念，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，直觀想象素養(yǎng)等。課堂活動(dòng)：教師和學(xué)生一起完成表格，體會(huì)用二分法求解函數(shù)零點(diǎn)近似解的過程，并在黑板畫上畫上數(shù)軸幫助學(xué)生理解。教師提問：數(shù)軸越畫越短，誰能告訴我，什么時(shí)候終止計(jì)算？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：題目有精確度的要求？教師追問：精確度為0.1要怎么用呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：算到區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1即可。教師追問：為什么？課堂活動(dòng)：教師黑板上畫出數(shù)軸講解精確度的含義。xxxobxa精確度為0.1即指誤差不超過0.1，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1時(shí)，區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值都可以作為近似值，為了方便，我們一般取區(qū)間端點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：利用多媒體輔助教學(xué)有利于完善學(xué)生認(rèn)知，深刻體驗(yàn)二分法思想的本質(zhì)，為學(xué)生自身總結(jié)歸納步驟奠定根底，并且提高教學(xué)效率。利用動(dòng)態(tài)演示展現(xiàn)二分法的全過程，使學(xué)生的感官受到強(qiáng)烈的沖擊，加深對(duì)二分法的理解。利用數(shù)軸畫圖出簡(jiǎn)圖來輔助說明，理解為求得方程更為精確的近似解，直觀上就是去探求零點(diǎn)所處的更小的范圍，即求方程近似解的問題可以轉(zhuǎn)化為不斷縮小零點(diǎn)所在范圍或區(qū)間的問題。培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等。教師提問：如果精確度改為0.01呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：再算。教師提問：想不想算？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不想。教師提問：我們請(qǐng)個(gè)小幫手。注意到剛剛求解的過程中，一直重復(fù)地完成一些步驟：取中點(diǎn)，算中點(diǎn)函數(shù)值，定區(qū)間。像這種一直重復(fù)性的過程可以交給誰來完成？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：電腦。課堂活動(dòng)：教師展示一個(gè)由高一同學(xué)編寫的用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的小程序。設(shè)計(jì)意圖：借助程序，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生感受二分法的一大優(yōu)點(diǎn)：易于編程，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行。將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程相結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)過程中，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)逐漸增加，零點(diǎn)存在區(qū)間逐漸逼近準(zhǔn)確解，讓學(xué)生感受無限逼近的極限思想；讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的逐漸增加，零點(diǎn)的近似解就越接近精確解，估計(jì)就越準(zhǔn)確，感受精確與近似的對(duì)立統(tǒng)一；算法可以解決一類問題，節(jié)約了大量的時(shí)間，使學(xué)生對(duì)二分法的算法思想與計(jì)算原理有新的感受；樹立典范作用，激發(fā)學(xué)生的求知欲。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。教師提問：如果終止計(jì)算的條件該為精確到呢？課堂活動(dòng)：教師和學(xué)生一起分析精確到到精確度的區(qū)別。設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生區(qū)分精確到與精確度，雖然兩者都是用來終止計(jì)算的，但是要求不同。有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕歸納總結(jié)，揭示新知教師提問：回憶剛剛整個(gè)過程，給定精確度，嘗試歸納用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的步驟？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：確定初始區(qū)間，取中點(diǎn)，算中點(diǎn)函數(shù)值，縮小區(qū)間，再取中點(diǎn)。。。。教師提問：有沒有可能當(dāng)你第一次縮小區(qū)間后發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)算完了？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有可能。課堂活動(dòng)：教師PPT上給出完整步驟。并給出用數(shù)學(xué)語言表示的步驟。用二分法求方程的近似解一般步驟1.確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε；2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c；3.計(jì)算f(c)；(1)假設(shè)f(c)=0，那么c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)假設(shè)f(a)·f(c)<0，那么令b=c〔此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c));(3)假設(shè)f(c)·f(b)<0，那么令a=c〔此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)).4.判斷是否到達(dá)精確度ε:即假設(shè)|a-b|<ε，那么得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否那么重復(fù)步驟2—4．設(shè)計(jì)意圖：開展學(xué)生用文字語言、符號(hào)語言等數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的根本素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等?！?〕概念拓展，實(shí)踐穩(wěn)固課堂活動(dòng):用二分法求函數(shù)〕。同桌兩人一組，一人用計(jì)算器算，一人填寫課前發(fā)好的表格。最快的一組上來投影展示。設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生自行嘗試,讓學(xué)生體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問題的成就感。讓學(xué)生體會(huì)用二分法來求方程近似解的完整過程,進(jìn)一步穩(wěn)固二分法的思想方法。培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。課堂活動(dòng)：在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的線路的某一處發(fā)生了故障，這是一條10km長(zhǎng)的線路，請(qǐng)你用二分法算一算：要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100m左右，要檢查多少次？設(shè)計(jì)意圖：首尾照應(yīng)，學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實(shí)際問題。開展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，開展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等?！?〕課堂小結(jié)，作業(yè)創(chuàng)新教師提問：這節(jié)課我們都學(xué)了哪些知識(shí)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：二分法的定義，用二分法求方程近似解的步驟。課堂活動(dòng)：PPT展示二分法的口訣：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷。對(duì)本節(jié)課表達(dá)的數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)進(jìn)行總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力,養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣,并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時(shí)讓學(xué)生知道理解二分法定義是關(guān)鍵,掌握二分法解題的步驟是前提,實(shí)際應(yīng)用是深化。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等。課堂活動(dòng)：PPT展示今天作業(yè)：(1)P74/A1,2.(2)P81/閱讀與欣賞“數(shù)學(xué)文化〞。(3)研究性作業(yè)：利用Internet查找有關(guān)資料,查閱牛頓法、華羅庚優(yōu)選法等其他求函數(shù)零點(diǎn)的方法，上交小報(bào)告。設(shè)計(jì)意圖：在作業(yè)中提出對(duì)“數(shù)學(xué)文化〞的學(xué)習(xí)要求，讓學(xué)生通過自主查閱，閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，實(shí)現(xiàn)教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造〞。在完成作業(yè)的過程中，有力培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng)等。七、評(píng)價(jià)和說明1、這節(jié)課安排了創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；合作探究，解決問題；歸納總結(jié)，揭示新知；概念拓展，實(shí)踐穩(wěn)固；課堂小結(jié)，作業(yè)創(chuàng)新等環(huán)節(jié)。整堂課圍繞等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及無限逼近的數(shù)學(xué)思想方法來展開