多體量子體系(多粒子態(tài))求解：二次量子化

背景:多體波函數(shù)原則上包含了所有信息,但直接求解薛定諤方程很困難:

由于粒子間相互作用勢V(x1,…,xN)的存在,Ψ不能分離變量(平均場近似?)由于全同性，Ψ需要具有相應(yīng)的交換粒子坐標(biāo)（空間與內(nèi)稟坐標(biāo)）的對稱性(對稱性要求會影響所尋求的解，如He例子中看到的)解決辦法？常采用：1.二次量子化：用二次量子化算符(波函數(shù)

算符)體現(xiàn)全同粒子的統(tǒng)計性比用單粒子波函數(shù)的對稱化或反對稱化乘積描述全同粒子的統(tǒng)計方便，也是相對論性量子理論描述粒子產(chǎn)生與湮滅所必需。此外，常可作合理的物理近似，將二次量子化哈密頓算符簡化為二次形式而有嚴(yán)格解。2.量子場論：基于二次量子化而發(fā)展出。在具體物理問題處理中，可以避免直接處理多粒子波函數(shù)和坐標(biāo)，而只關(guān)注感興趣的幾個矩陣元。3.格林函數(shù)：包含基態(tài)能量及其熱力學(xué)函數(shù)、激發(fā)態(tài)能量、壽命和對外擾的線性響應(yīng)等物理信息，可用Feynman-Dyson微擾理論和Feynman圖、Feynman規(guī)則求得。

多體量子體系(多粒子態(tài))求解：二次量子化一、一次量子化的薛定諤方程這里xk是第k粒子的（空間和分立變量如自旋）坐標(biāo)。用單粒子定態(tài)波函數(shù)的完備集合或完備基(依問題而定、不含時間)展開多粒子波函數(shù)(理論上是嚴(yán)格的)：

Ek：單粒子量子數(shù)集合（如nlmms)全同性的充分+必要條件：充分性可通過代入得到證明；必要性則可通過上式投影出特定系數(shù)及波函數(shù)的交換對稱性證明。態(tài)矢的全同對稱性由完備基矢上的展開系數(shù)體現(xiàn)

二、一次量子化向二次量子化的過渡態(tài)矢的全同對稱性由完備基矢上的展開系數(shù)體現(xiàn)考慮展開系數(shù)特點，對玻色子，可選基矢

對費米子，基矢完全（反）對稱的波函數(shù)用完全（反）對稱和正交的完備基展開（且對量子數(shù)集的求和轉(zhuǎn)化為對占據(jù)數(shù)態(tài)的求和）f給出了一次與二次量子化態(tài)矢之間的聯(lián)系（物理問題本身并沒有因為表述而變）

三、多粒子態(tài)基矢的構(gòu)造多粒子希爾伯特空間（?？丝臻g：以占據(jù)數(shù)表述）1.抽象不含時態(tài)矢(粒子數(shù)表象)正交性完備性2.真空態(tài)3.單粒子態(tài)：4.產(chǎn)生算符：5.湮滅算符：不妨要求：對兩粒子態(tài)，應(yīng)有：；可要求：又：,可歸納要求：和粒子數(shù)算符：

四、單粒子算符對，可預(yù)期

是c數(shù)

五、雙粒子算符對，可改寫為

對分布算符：

注意pq的順序（對費米子很重要）是c數(shù)

六、歸納：二次量子化的薛定諤方程H是抽象占據(jù)數(shù)Hilbert空間（?？丝臻g）的(二次量子化)哈密頓算符。粒子的統(tǒng)計性和算符性質(zhì)包含于產(chǎn)生和湮滅算符中:<i|T|j>和<ij|V|kl>是c數(shù)。

f給出了一次與二次量子化態(tài)矢之間的聯(lián)系七、應(yīng)用例子：簡并電子氣（均勻正電背景中運動的電子氣）

感興趣的物理效應(yīng)均體現(xiàn)于Hel二次量子化形式（平面波為基）

(周期性邊界條件)

由于：第一項與前面H的第一項相消考慮先L－>∞后μ－>0(L>>1/μ)的極限，得：基態(tài)能量的一階近似解零階近似：得基態(tài)能量的一階近似解：一階微擾：該結(jié)果對堿金屬是不錯的近似作業(yè):1）7.72）若N個全同粒子體系的哈密頓算符為：

,

寫出對應(yīng)的二次量子化形式并指出產(chǎn)生湮滅算符的基本對易或反對易關(guān)