理論力學(xué)-課件第10章

第10章

動量矩定理本章內(nèi)容1質(zhì)點的動量矩定理2質(zhì)點系的動量矩定理3質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理4剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算5剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面運動微分方程第一節(jié)質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理21質(zhì)點的動量矩一、質(zhì)點的動量矩圖10-1設(shè)質(zhì)點M繞定點O運動，某瞬時的動量為mv，對定點O的矢徑為r（見圖10-1），類似于力點之矩，我們把質(zhì)點動量mv對O點之矩，稱為質(zhì)點對O點的動量矩，即（10-1）可仿照力對點之矩和力對通過該點的軸之矩的關(guān)系，即質(zhì)點動量mv對定軸x，y，z之矩的表達(dá)式為（10-2）。由式（10-2）可知，質(zhì)點對定點的動量矩矢在軸上的投影，等于質(zhì)點對軸的動量矩。動量矩的量綱為質(zhì)量、速度與長度的量綱的乘積，即在國際單位制中，動量矩的單位為質(zhì)點對O點的動量矩是矢量，垂直于矢徑r和mv所構(gòu)成的平面，矢量的指向按右手規(guī)則來確定，它的大小為二、質(zhì)點的動量矩定理設(shè)質(zhì)點M對定點O的矢徑為r，動量為mv，其上的作用力為F，如圖10-2所示。則質(zhì)點M對O點的動量矩為圖10-2將此式對時間求一次導(dǎo)數(shù)，有考慮到，另由動量定理有因此上式可寫為而，于是得（10-3）式（10-3）就是質(zhì)點動量矩定理，即質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點上的力對該點之矩。將式（10-3）投影于定軸x，y，z，得（10-4）由式（10-4）可知，質(zhì)點對某定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力對該軸之矩。下面討論兩種特殊情況由此可知，若作用力對某定點（或定軸）之矩恒等于零，則質(zhì)點對該定點（或定軸）的動量矩保持不變。這就是質(zhì)點的動量矩守恒定理。例題解析例10-1如圖10-3所示，一質(zhì)量為m的光滑小球，放在半徑為R的固定圓形管內(nèi)。給小球一初始小擾動，試求小球微小運動的運動規(guī)律。圖10-3小球的運動規(guī)律可通過小球與圓形管中心O的連線的擺動來描述。它可歸為轉(zhuǎn)動類型的動力學(xué)問題，適合于應(yīng)用動量矩定理求解。解

（1）取小球為研究對象。（2）受力分析。將小球置于運動的一般位置，其上作用力有重力mg和管的約束力FN，F(xiàn)N的方向指向中心O。（3）求運動規(guī)律。應(yīng)用對O點（即對通過O點而垂直于圓形管平面的軸）的動量矩定理，有或考慮到，代入上式得或此微分方程的解為可見小球做簡諧運動。式中任意常數(shù)

和

可通過運動的初始條件來確定。第二節(jié)質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩21一、質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對點O的動量矩，等于質(zhì)點系中各質(zhì)點對點O動量矩的矢量和，即（10-5）質(zhì)點系對某軸z的動量矩，等于質(zhì)點系中各質(zhì)點對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即（10-6）利用式（10-2），有因此得（10-7）由式（10-7）可知，質(zhì)點系對某點O的動量矩在通過該點的軸上的投影，等于質(zhì)點系對該軸的動量矩。圖10-4令

，稱為剛體對軸z的轉(zhuǎn)動慣量，則有（10-8）這就是計算繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩公式。轉(zhuǎn)動慣量的計算在動力學(xué)中是很重要的，我們將在后面詳細(xì)討論。二、質(zhì)點系的動量矩定理

（10-9）這樣的方程共有n個，將n個式（10-9）相加后，得由于這就是質(zhì)點系的動量矩定理，即質(zhì)點系對某定點的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系上的外力對該點的矩的矢量和（或外力對該點的主矩）。在應(yīng)用時，取式（10-10）的投影式，即（10-11）由上式可知，質(zhì)點系對某定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對該軸之矩的代數(shù)和。由動量矩定理可知，質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩，只有作用于質(zhì)點系的外力才能使質(zhì)點系的動量矩發(fā)生變化。下面討論兩種特殊情況。由此可知，若作用于質(zhì)點系的外力對某定點（或定軸）的主矩（或力矩的代數(shù)和）恒等于零，則質(zhì)點系對于該定點（或定軸）的動量矩保持不變。這就是質(zhì)點系動量矩守恒定理。例題解析圖10-5，被提升的例10-2斜面提升裝置如圖10-5所示。已知鼓輪半徑為r，重量為W，對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，作用在鼓輪上的力矩為M。斜面的傾角為為P，設(shè)繩的重量和各處的摩擦忽略不計。小車重量求小車的加速度。（1）取小車與鼓輪組成的質(zhì)點系為研究對象。解（4）根據(jù)動量矩定理得即例題解析圖10-6（2）受力分析。質(zhì)點系受力如圖10-6所示。作用在質(zhì)點系上的外力對O軸的矩為（1）取重物M1，M2和塔輪組成的質(zhì)點系為研究對象。解例10-3例題解析

（a）

（b）

（c）圖10-7解

這個轉(zhuǎn)動問題也可應(yīng)用動量矩定理求解。

（1）取圓盤連同轉(zhuǎn)軸及質(zhì)點M組成的系統(tǒng)為研究對象。（2）受力分析及受力圖。畫出M在任意位置系統(tǒng)所受的外力的受力圖，如圖10-7（a）所示。例10-4其中，

是初始時系統(tǒng)對軸Cz的動量矩，

是M點到達(dá)D點時系統(tǒng)對軸Cz的動量矩。（3）運動分析，計算動量矩。由受力圖可知在運動過程中所有外力對轉(zhuǎn)軸Cz之矩恒等于零，即因此可應(yīng)用對Cz的動量矩守恒定理，即由圖10-7（b）可知由圖10-7（c）可知（4）根據(jù)動量矩定理得解得第三節(jié)

質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理前面介紹的動量矩定理只適用于慣性參考系（或稱靜坐標(biāo)系），也就是說動量矩的矩心（或矩軸）是定點（或定軸），質(zhì)點的速度也是對靜坐標(biāo)系的速度，即絕對速度。設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)心為C，Oxyz為靜坐標(biāo)系

是以質(zhì)心C為原點，并隨質(zhì)心做平動的動參考系，如圖10-8所示。在坐標(biāo)系Oxyz中，質(zhì)點系對定點O的動量矩為下面將證明，在隨質(zhì)點系質(zhì)心相對靜坐標(biāo)系做平動的動參考系中，仍有與前面形式相同的動量矩定理，這時動量矩的矩心為質(zhì)點系的質(zhì)心，質(zhì)點的速度是對動參考系的速度，即相對速度。圖10-8（10-12）在坐標(biāo)系

中，質(zhì)點系對質(zhì)心C的動量矩為式中，表示對C點的矢徑；表示質(zhì)點（10-13）由圖10-8可知式中，

是質(zhì)心C對O點的矢徑，因此（10-14）由于（10-15）式中，M是質(zhì)點系的總質(zhì)量。此外，根據(jù)運動學(xué)中點的速度合成定理則由質(zhì)心坐標(biāo)公式可知（10-16）式（10-16）表明，在動參考系中，質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩，等于質(zhì)點系中各質(zhì)點的絕對動量對質(zhì)心之矩的矢量和。將式（10-15）、式（10-16）代入式（10-14），得質(zhì)點系的動量矩定理為（10-17）將式（10-17）代入上式，并注意到

，得式（10-19）表明，質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系上的外力對質(zhì)心之矩的矢量和（或外力對質(zhì)心的主矩）?；?/p>

（10-18）這個結(jié)論稱為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理。這個定理在形式上與質(zhì)點系相對于靜坐標(biāo)系（慣性參考系）的動量矩定理完全相同。最后得到（10-19）回轉(zhuǎn)半徑21簡單形狀的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量的計算1平行移軸定理第四節(jié)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量的計算前面給出了轉(zhuǎn)動慣量的概念，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量，它等于剛體內(nèi)每一點的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)動軸的距離平方乘積的總和，以公式表示為（10-20）如果剛體質(zhì)量連續(xù)分布，則此式可寫成（10-21）轉(zhuǎn)動慣量的單位是由式（10-21）可知，轉(zhuǎn)動慣量恒為正值，它的大小取決于剛體質(zhì)量的大小及其分布的情況，而與剛體的運動無關(guān)。確定剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量可用計算法和實驗法。下面舉例說明用公式計算轉(zhuǎn)動慣量的方法。1．均質(zhì)細(xì)直桿圖12-9將沿桿的直線取為x軸，在其上任取一微段dx，則其質(zhì)量為

，由公式（10-21）可知,直桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為式中，,是整根直桿的質(zhì)量。一、簡單形狀的均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量的計算圖10-102．均質(zhì)薄細(xì)圓環(huán)圖12-11圖12-123．均質(zhì)薄圓盤式中，是圓盤單位面積的質(zhì)量。圓環(huán)對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為圖10-13圖10-14式中

為圓柱體的質(zhì)量；為其半徑。利用均質(zhì)圓盤對Oz軸的轉(zhuǎn)動慣量公式，還可求出其對

軸、軸的轉(zhuǎn)動慣量。由轉(zhuǎn)動慣量定義可知將均質(zhì)圓柱體分成許多互相平行的薄圓盤，如圖10-14所示，應(yīng)用上面的結(jié)果，則可求出均質(zhì)圓柱對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為式中，

是圓盤的質(zhì)量。圖10-15由于對稱性，有此外還有因此得二、回轉(zhuǎn)半徑表10-1簡單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑注：圖中C點表示形心的位置，公式中M表示物體的質(zhì)量。三、平行移軸定理平行移軸定理：剛體對任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體質(zhì)量與兩軸之間距離平方的乘積。（10-23）式中，Cz軸通過剛體的質(zhì)心；M為剛體的質(zhì)量；d為兩軸之間的距離。圖10-16由平行移軸定理式（10-23）可知，在所有相互平行的各軸中，剛體對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。如果我們已經(jīng)知道了剛體對某一軸的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)平行移軸定理，很容易求出與該軸平行軸的轉(zhuǎn)動慣量。則考慮到于是得因為

軸通過質(zhì)心，

則，所以例題解析解如圖10-17所示為一均質(zhì)等厚度零件，單位面積的質(zhì)量為ρ，大圓半徑為R，挖去的小圓半徑為r，兩圓心的距離為a，試求通過O點并垂直于零件平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖10-17設(shè)大圓與小圓部分分別為Ⅰ，Ⅱ。根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，零件對O軸的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)為應(yīng)用平行移軸定理有于是例10-4剛體的平面運動微分方程21剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程第五節(jié)剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面運動微分方程一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程圖10-18

（10-24）或（10-25）與質(zhì)點的動力學(xué)一樣，應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程可解決轉(zhuǎn)動剛體動力學(xué)的兩類問題，即已知剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律時，可求作用于剛體上的外力矩或外力；或已知作用于剛體上的外力矩，可求剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。但是必須指出，由于軸承約束力都通過轉(zhuǎn)軸，它們對轉(zhuǎn)軸之矩為零，在轉(zhuǎn)動微分方程中不出現(xiàn)，因此不可能通過轉(zhuǎn)動微分方程求出這些軸承約束力。這些約束力的求法將在以后討論。

例題解析解例1為求剛體對通過質(zhì)心C的AB軸的轉(zhuǎn)動慣量，將剛體固定在一個可以繞定軸DE轉(zhuǎn)動的框架上，如圖10-19所示。DE軸平行于AB軸，兩軸之間的距離為h。使剛體繞DE軸微小擺動，并測得其周期為T。設(shè)剛體重量為P，框架的重量略去不計，試求剛體對AB軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖10-19框架同剛體固連在一起繞DE軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動微分方程為這就是剛體繞DE軸轉(zhuǎn)動的微分方程。不難求得其解為考慮到很小，sin，則有式中，

是由運動初始條件決定的常數(shù)。由題可知剛體做簡諧運動，其圓頻率為圓頻率

與周期T的關(guān)系為因此有或再由平行移軸定理，可得例2（a）

（b）

（c）圖12-20解二、剛體的平面運動微分方程圖10-21式中，M為剛體的質(zhì)量；

為剛體對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量。將上面第一式寫成投影的形式，并注意到則有這就是剛體的平面運動微分方程，它完整地描述了剛體的平面運動。利用該方程，可以求解剛體平面運動動力學(xué)的兩類問題，即已知運動求力；已知力求運動。下面舉例說明其應(yīng)用。例題解析例10-8圖10-22一均質(zhì)滾子質(zhì)量為m，半徑為R，放在粗糙的水平地板上，在滾子的鼓輪上繞以繩索，其上作用力有常力F1，其方向與水平成α角。鼓輪的半徑為r，滾子對軸O的回轉(zhuǎn)