1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示（教學(xué)課件）高二數(shù)學(xué)選擇性高效課堂（人教A版2019）

1學(xué)習(xí)目標(biāo)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示。23（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求1學(xué)習(xí)目標(biāo)23（二）課時目標(biāo)要求4理解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性.借助空間直角坐標(biāo)系理解空間中點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)的概念及坐標(biāo)表示.會用坐標(biāo)表示空間向量的線性運算及數(shù)量積運算.會利用空間向量運算的坐標(biāo)表示解決一些簡單的立體幾何問題.引入新知我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點排除了數(shù)量關(guān)系……對于集合,對于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法……”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運算.引入新知情境二情境Ⅰ:如圖,數(shù)軸上有A,B兩點.情境Ⅱ:在平面直角坐標(biāo)系中,點P,Q的位置如圖所示.【思考】(1)情境Ⅰ中如何表示A,B兩點的位置?(2)情境Ⅱ中如何表示P,Q兩點的位置?(3)對于情境Ⅲ,空間中如何表示板凳和氣球的位置?情境Ⅲ:一個房間的示意圖如圖所示,我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?新課探究問題1我們是如何建立平面向量的坐標(biāo)表示的?你能類比平面直角坐標(biāo)系與平面向量單位正交基的關(guān)系，你能利用空間向量單位正交基底概念構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系嗎?xyOij新課探究新課探究在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

新課探究問題2在平面直角坐標(biāo)系中,每一個點和向量都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示.對空間直角坐標(biāo)系中的每一個點和向量,是否也有類似的表示呢?xyOijAa新課探究追問1：在空間直角坐標(biāo)系中如何定義的坐標(biāo)呢？xyOijaA平面直角坐標(biāo)系內(nèi)空間直角坐標(biāo)系內(nèi)取與

軸、

軸方向相同的兩個單位向量

，

為基底，由平面向量基本定理，有且只有一對實數(shù)

，

，使得.我們把有序數(shù)對

，

叫做

的坐標(biāo)，記作

，.取與軸、軸、軸方向相同的單位向量，，為基底，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得新課探究定義：在單位正交基底，

，下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，，，叫做點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作,,，

其中叫做點的橫坐標(biāo)，叫做點

的縱坐標(biāo)，叫做點

的豎坐標(biāo).新課探究追問2：對于給定的向量

又該如何定義它的坐標(biāo)呢？我們在空間直角坐標(biāo)系中可以作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使

有序?qū)崝?shù)組，

，叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記為，，新課探究問題3在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任意一點，或任意一個向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(biāo)，，嗎？過點分別作垂直于軸、

軸和軸的平面依次交軸、

軸和

軸于點

，

和.即點或者向量的坐標(biāo)就是

，，.可以證明在軸、軸、軸上的投影向量分別為，

，.

新課探究問題4有了空間向量的坐標(biāo)表示,你能類比平面向量的坐標(biāo)運算,得出空間向量運算的坐標(biāo)表示并給出證明嗎?請同學(xué)們類比平面向量運算的坐標(biāo)表示研究空間向量運算的坐標(biāo)表示，獨立完成下列表格，并進行小組交流新課探究設(shè)

設(shè)設(shè)

設(shè)加法運算減法運算平面向量坐標(biāo)運算空間向量坐標(biāo)運算數(shù)乘運算數(shù)量積運算有向線段的向量坐標(biāo)表示線性運算新課探究下面我們證明空間向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示.請同學(xué)們證明剩下運算的坐標(biāo)表示設(shè)為空間的一個單位正交基底，則所以因為所以

新課探究問題5平面向量的坐標(biāo)運算可以幫助我們解決平行、垂直等位置關(guān)系以及距離，角度等度量問題.空間向量的坐標(biāo)運算是否仍然可以幫助我們解決這些問題？新課探究yOz平面追問1：如何用平面向量的坐標(biāo)運算刻畫平面向量的平行和垂直？平面向量的特殊位置關(guān)系平面向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當(dāng)

時，當(dāng)

時，設(shè)能否表示為？?新課探究當(dāng)

時，設(shè)能否表示為？?至少一個不為0.例如：當(dāng)與平面平行時，.此時

無意義.例如：當(dāng)

與平面平行時，.此時無意義.因此，只有均不為0時，特殊地，

與任意向量平行.當(dāng)時，新課探究yOz平面平面向量的特殊位置關(guān)系空間向量的特殊位置關(guān)系設(shè)當(dāng)

時，當(dāng)

時，設(shè)新課探究yOz平面追問2：能否用空間向量的坐標(biāo)表示長度和夾角？平面向量的長度和夾角空間向量的長度和夾角你能證明空間兩點間的距離公式嗎？設(shè)

則設(shè)設(shè)設(shè)

則新課探究你能證明空間兩點間的距離公式嗎？設(shè)

，

是空間中任意兩點，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，于是所以這就是空間兩點間的距離公式.則應(yīng)用新知例1應(yīng)用新知應(yīng)用新知反思感悟1.在空間中根據(jù)點的坐標(biāo)確定點的位置的方法根據(jù)點的坐標(biāo)確定點的位置,要先確定點(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(x0,y0,z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置.(1)讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面內(nèi);(2)充分利用幾何圖形的特性.一般先找出這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影,確定其兩個坐標(biāo),再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影(或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正號或負號),確定第三個坐標(biāo).2.建立空間直角坐標(biāo)系時應(yīng)遵循的原則3.求點的坐標(biāo)的方法應(yīng)用新知變式訓(xùn)練詳解應(yīng)用新知例2應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z例3應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知OABCxy圖1.3-9DA1B1C1D1F1ME1z應(yīng)用新知規(guī)律方法1．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，進而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點的坐標(biāo)；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．2．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟應(yīng)用新知變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對稱性問題例題能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對稱性問題解析應(yīng)用新知方法總結(jié)yOz平面求對稱點的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰對稱誰不變，其余的符號均相反．”在空間直角坐標(biāo)系中，任一點P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點的坐標(biāo)如下：對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點坐標(biāo)坐標(biāo)原點x軸y軸z軸xOy平面yOz平面xOz平面(a，－b，－c)(－a，b，－c)(－a，－b，c)(a，b，－c)(－a，b，c)(a，－b，c)(－a，－b，－c)P(a，b，c)能力提升方法總結(jié)能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對稱性問題變式訓(xùn)練能力提升題型一空間直角坐標(biāo)系中的對稱性問題解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算例題能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算解析應(yīng)用新知方法總結(jié)進行空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算的技巧應(yīng)用新知方法總結(jié)應(yīng)用新知方法總結(jié)判斷空間向量垂直或平行的步驟能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算變式訓(xùn)練解析能力提升題型二空間向量的坐標(biāo)運算變式訓(xùn)練能力提升題型二空間