2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性2

第二章平面解析幾何雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程;2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法;3.能用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的實(shí)際問題;4.與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行比較,并加以區(qū)分.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1雙曲線的定義焦點(diǎn)的距離|F1F2|名師點(diǎn)睛若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于|PF1|與|PF2|的大小.(1)若|PF1|>|PF2|,則|PF1|-|PF2|>0,點(diǎn)P的軌跡是靠近定點(diǎn)F2的那一支;(2)若|PF1|<|PF2|,則|PF2|-|PF1|>0,點(diǎn)P的軌跡是靠近定點(diǎn)F1的那一支.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)×××2.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則動點(diǎn)的軌跡是怎樣的?解

①當(dāng)2a=|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn)).②當(dāng)2a>|F1F2|時,動點(diǎn)的軌跡不存在.③當(dāng)2a=0時,動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.知識點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程

=1

=1

焦點(diǎn)

a,b,c的關(guān)系b2=c2-a2(a>0,b>0)(a>0,b>0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)名師點(diǎn)睛雙曲線與橢圓的比較曲線名稱橢圓雙曲線定義|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2b2=c2-a2標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上

=1(a>b>0)

=1(a>0,b>0)焦點(diǎn)在y軸上

=1(a>b>0)

=1(a>0,b>0)注意:在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b的大小關(guān)系不確定.過關(guān)自診

D2.[北師大版教材例題改編]已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別是F1(-5,0),F2(5,0),該雙曲線上的點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差的絕對值是6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.規(guī)律方法

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點(diǎn)位置不確定,可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復(fù)雜.若雙曲線過兩定點(diǎn),則可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,簡化求解過程.變式訓(xùn)練1[北師大版教材習(xí)題]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0),且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之差為2;(2)焦點(diǎn)在y軸上,焦距為10,且經(jīng)過點(diǎn)(0,4);探究點(diǎn)二雙曲線定義的應(yīng)用【例2】

已知雙曲線

-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3),則|PQ|+|PF1|的最小值為

.

解析

如圖,由雙曲線

-y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,則c=2,則F2(2,0).連接QF2交雙曲線右支于P,則此時|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|.∵Q的坐標(biāo)為(-2,3),F2(2,0),【例3】

已知F1,F2是雙曲線

=1的兩個焦點(diǎn).(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16,求點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離;(2)如圖,若P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1||PF2|=32,試求△F1PF2的面積.(1)由雙曲線的定義得||MF1|-|MF2||=2a=6.又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個焦點(diǎn)的距離等于16,假設(shè)點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離等于m,則|16-m|=6,解得m=10或m=22,故點(diǎn)M到另一個焦點(diǎn)的距離為10或22.(2)將|PF2|-|PF1|=2a=6兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,則|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得變式探究將例3(2)中的條件“|PF1||PF2|=32”改為“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面積.由雙曲線的定義得|PF2|-|PF1|=6.因?yàn)閨F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,規(guī)律方法

求雙曲線中距離的范圍和焦點(diǎn)三角形面積的策略(1)求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時,若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果;若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離,則根據(jù)定義中的條件||PF1|-|PF2||=2a求解.(2)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時,首先要注意定義中的條件||PF1|-|PF2||=2a的應(yīng)用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進(jìn)行運(yùn)算.模仿橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式,可類似得到雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面變式訓(xùn)練2(1)已知雙曲線C:

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=7,則△ABF2的周長為(

)A.16 B.30C.38 D.60B解析

設(shè)|AF1|=m,|BF1|=n,由題意可得m+n=7,由雙曲線的定義可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,則△ABF2的周長是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+2×7=30.故選B.(2)若點(diǎn)P在曲線C1:

=1上,點(diǎn)Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點(diǎn)R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是(

)A.9 B.10

C.11

D.12B解析

在雙曲線C1中,a=4,b=3,c=5,易知兩圓圓心分別為雙曲線C1的兩個焦點(diǎn),記點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),當(dāng)|PQ|-|PR|取最大值時,P在雙曲線C1的左支上,所以|PQ|-|PR|≤|PF2|+1-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故選B.探究點(diǎn)三與雙曲線有關(guān)的軌跡問題【例4】

(1)一動圓P過定點(diǎn)M(-4,0),且與已知圓N:(x-4)2+y2=16相切,則動圓圓心P的軌跡方程是(

)C解析

動圓圓心為P,半徑為r,已知圓N的半徑為4.由題意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)4,P在以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線上,且2a=4,2c=8,(2)某飛船返回艙順利到達(dá)地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達(dá)區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點(diǎn).某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠(yuǎn),在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向.解

因?yàn)閨PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因?yàn)閨PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.規(guī)律方法

求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題,常見的方法有兩種:(1)列出等量關(guān)系,化簡得到方程;(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系,根據(jù)雙曲線的定義,得出對應(yīng)的方程.定義法求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意:(1)雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;(2)檢驗(yàn)所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.(3)實(shí)際應(yīng)用問題還要注意實(shí)際意義以及該意義下隱藏的變量范圍.變式訓(xùn)練3(1)[人教A版教材例題]已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.解

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,使A,B兩點(diǎn)在x軸上,并且原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340.又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44

400.因?yàn)閨PA|-|PB|=680>0,所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支,因此x≥340.(2)[人教A版教材習(xí)題]設(shè)動點(diǎn)M與定點(diǎn)F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測A級必備知識基礎(chǔ)練123456789101112131415161718C解析

由題意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.因?yàn)閏2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故選C.1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)二]設(shè)點(diǎn)P在雙曲線

=1上,若F1,F2為雙曲線的兩個焦點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=1∶3,則△F1PF2的周長等于(

)A.22 B.16

C.14

D.12A由雙曲線定義知||PF2|-|PF1||=6.又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,∴△F1PF2的周長為3+9+10=22.故選A.1234567891011121314151617183.[探究點(diǎn)一](多選題)若方程

=1所表示的曲線為C,則下面四個說法錯誤的是(

)A.若C為橢圓,則1<t<3B.若C為雙曲線,則t>3或t<1C.曲線C可能是圓D.若C為橢圓,且長軸在y軸上,則1<t<2AD1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)二]已知雙曲線

=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為10,則PF1的中點(diǎn)N到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為(

)A.3或7 B.6或14 C.3

D.7A解析

設(shè)右焦點(diǎn)為F2,連接PF2,ON(圖略),ON是△PF1F2的中位線,∴|ON|=|PF2|.∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)二]已知F是雙曲線

=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為(

)A.9 B.8

C.7

D.6A|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'三點(diǎn)共線時取等號,所以|PF|+|PA|的最小值為9.故選A.123456789101112131415161718A.2 B.3

C.4

D.5B1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)一]已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸,中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在直線x+y=6上,且c=2a,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

解析

直線x+y=6與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(0,6).當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸時,c=6,因?yàn)閏=2a,所以a=3,1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)二]已知雙曲線C:

=1的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線C上一點(diǎn),若|PF1|=10,則|PF2|=

.

18或2點(diǎn),|PF1|=10,所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8,所以|PF2|=18或|PF2|=2.因?yàn)閨PF1|=10>a+c=9,所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合題意.1234567891011121314151617189.[探究點(diǎn)一·北師大版教材習(xí)題]已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓

=1的左、右頂點(diǎn)相同,且經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),求該雙曲線的方程.12345678910111213141516171810.[探究點(diǎn)三]如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.123456789101112131415161718解

圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1;圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.設(shè)動圓M的半徑為R,則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練11.(多選題)已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)m>0時,點(diǎn)C的軌跡是雙曲線B.當(dāng)m>0時,點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去兩個頂點(diǎn))C.當(dāng)m=-1時,點(diǎn)C在圓x2+y2=25(除去點(diǎn)(5,0),(-5,0))上運(yùn)動D.當(dāng)m<-1時,點(diǎn)C的方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(不含左、右頂點(diǎn))BC12345678910111213141516171812.若雙曲線上存在點(diǎn)P,使得P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1,則稱此雙曲線存在“L點(diǎn)”,下列雙曲線中存在“L點(diǎn)”的是(

)A123456789101112131415161718A123456789101112131415161718整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線上可得||PF1|-|PF2||=6,則(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②①-②,得|PF1||PF2|=64,則△PF1F2的面積為12345678910111213141516171814.已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為

.

所以P(2,±3),|PF|=3.又因