蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·單元復習篇【四大篇章】(原卷版+解析)

蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·單元復習篇【四大篇章】知識點一：長方體和正方體的認識

1.長方體的特征。長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，有6個面、12條棱和8個頂點，相對的面完全相同、相對的棱長度相等。

2.長方體的長、寬、高的含義。長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。知識點二：長方體和正方體的展開圖1.沿著正方體（或長方體）的棱將其剪開，可以把正方體（或長方體）展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體（或長方體）的展開圖。

2.正方體（或長方體）的展開圖的特點：在展開圖中，正方體的6個面完全相同（長方體相對的面完全相同），相對的面完全隔開。3.一個表面涂色的正方體，把每條棱平均分成相等的若干份，然后切成同樣大的小正方體。（1）3面涂色的小正方體有8個。

（2）如果用n表示把正方體的棱平均分成的份數(shù)（n為大于或等于2的自然數(shù)），用a、b分別表示2面涂色和1面涂色的小正方體的個數(shù)，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。知識點三：長方體、正方體的表面積計算1.意義。長方體（或正方體）6個面的總面積。

2.計算方法。（1）長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2。

（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6。知識點四：體積與體積單位1.體積的意義：物體所占空間的大小叫作物體的體積。

2.容積的意義：容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分別寫成cm3、dm3和m3。

計量液體的體積，通常用升或毫升作單位。

1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升知識點五：長方體和正方體的體積1.長方體的體積=長×寬×高，字母公式為V=abh。2.正方體的體積=棱長×棱長×棱長，字母公式為V=a3。3.底面積：長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。

4.體積計算公式：長方體(或正方體)的體積=底面積×高，如果用字母S表示底面積，h表示高，長方體(或正方體)的體積計算公式可以寫成V=Sh。5.體積單位常用到，相鄰進率是1000。立方分米立方米，它們進率是1000。

立方分米立方厘米，它們進率是1000。

【第一部分】基本知識與基本應用【高頻考題01】長方體和正方體的概念認識。1．下圖的長方體共有()個面、()個頂點、()條棱；長方體中和b平行的棱有()條。2．長方體是由()個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。正方體是由()個完全相同的正方形圍成的立體圖形；正方體可以看成長、寬、高都()的長方體。【高頻考題02】長方體和正方體棱長及棱長和與生活實際應用。1．爸爸過生日，女兒麗麗為爸爸準備了一個禮盒。捆扎這個禮盒，如果接頭處用去18厘米長的彩帶，那么至少需要多長的彩帶？2．快遞公司要把一個棱長為40厘米的正方體的物體用紙箱包裝好后，再用包裝帶按如圖所示的方法捆扎起來，接頭處需要30厘米。捆扎這個物體一共需要多少米包裝袋？3．長方體和一個正方體的棱長之和相等，已知長方體的長是5.2米，寬是4米，高是3.4米。正方體的棱長是多少米？【高頻考題03】長方體和正方體的表面積與生活實際應用。1．方形排水管的橫截面是邊長0.15米的正方形，每節(jié)排水管長2.5米。做30節(jié)這樣的排水管至少需要多少平方米鐵皮？只列式，不計算。2．一個正方體玻璃魚缸的棱長為3分米，制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面沒有蓋。）3．淘氣的房間的長和寬都是5米，高是3米，要粉刷房間的天花板和四面墻壁，門窗的面積是10平方米。粉刷藝術漆的單價是28元/平方米，一共需要多少元？【高頻考題04】長方體和正方體體積（容積）的實際應用。1．一輛汽車，油箱長5dm、寬4dm、高3dm。如果每升汽油可行駛10千米，這一箱汽油可使汽車行駛多少千米？只列式，不計算。2．修路工人把10.5立方米的沙子鋪在一段長25米、寬3米的路上，可以鋪多厚？（用方程解）3．一塊正方體石料的棱長為6分米，如果1立方分米石料的質量是2.7千克，這塊石料的質量是多少千克？【高頻考題05】體積、容積單位的選擇與換算。1．在括號里填上適當?shù)捏w積或容積單位。一輛公交車的體積約是50()

一瓶墨水約60()一塊橡皮的體積約是6()

小轎車油箱的容積約45()2．在括號里填上合適的數(shù)或單位名稱。一瓶礦泉水的體積約500()一間教室的空間約200()450dm2＝()m24.05L＝()L()mL3．在括號里填上合適的數(shù)。3290cm2＝()dm2

409L＝()mL＝()m37508dm3＝()m3()dm3

0.09m3＝()L＝()mL【第二部分】綜合應用與解決問題【高頻考題01】折疊問題。1．如圖，一塊正方形鐵皮，從四個角分別切去一個邊長是3厘米的正方形后，做成一個無蓋的鐵盒，這個鐵盒的容積是多少？2．一塊長40cm、寬30cm的長方形鐵板，從它的四個角上分別切去一個邊長為5cm的正方形（如圖），然后焊接成一個無蓋的長方體鐵盒．它的容積是多少升？（厚度忽略不計）【高頻考題02】表面積增減變化問題。1．把一塊長120分米的長方體木材鋸成完全相同的兩塊小長方體（如圖），表面積增加了0.8平方分米。這根木材原來的體積是多少立方分米？2．榆林氈繡，又名絨線毛氈繡花。它是一種古老的絨線氈繡工藝品。樂樂買了4幅掛屏，每幅都裝在盒子里寄給朋友，每個盒子的長、寬、高分別是20厘米、15厘米6厘米，請你算一算怎樣包裝才能最節(jié)約包裝紙？至少需要多少平方厘米的包裝紙？（接口處不計）3．一個正方體的高增加2厘米，得到的新長方體的表面積比原來正方體的表面積增加了56平方厘米。求原來正方體的體積?！靖哳l考題03】等積變形問題。1．把一塊棱長為30厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個寬4.5分米，高1.2分米的長方體，這個長方體鐵塊的長是多少厘米？（損耗不計）2．如圖（單位：厘米），一個密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【高頻考題04】排水法求不規(guī)則物體的體積問題。1．媽媽買來一只烏龜，放入長5分米、寬4分米的長方體玻璃魚缸中。烏龜完全沉入水中后，觀察到水面上升了1厘米。這只烏龜?shù)捏w積是多少立方厘米？2．一個長方體的玻璃缸，長8分米，寬6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一塊棱長為4分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？【高頻考題05】不規(guī)則或組合立體圖形的體積問題。1．計算下列圖形的表面積和體積（單位：厘米）。2．計算下面圖形的體積和表面積。（單位：厘米）一、填空題。1．（2022上·甘肅平?jīng)觥て谀┮粋€正方體的魔方放在桌子上，從正面、上面、左面看到的都是()；一個足球放在桌子上從左面看到的是()。2．（2024上·河南周口·期末）科學研究表明，每立方米月球巖石中可以提取約6升水，即()毫升水，相當于()瓶500毫升裝的純凈水。3．（2023下·河南鄭州·期末）用小棒擺搭長方體。聰聰：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一個長方體。樂樂：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一個長方體。天天：我用12根長度相同的小棒搭成一個長方體。聰聰搭成的長方體是()；樂樂搭成的長方體是()。（在括號里填上圖形的編號）4．（2023上·湖南郴州·期末）用鐵絲做一個長7cm、寬5cm、高3cm的長方體框架，至少需要()dm長的鐵絲。5．（2023上·山東日照·期末）把一個棱長和是32dm的長方體包裝盒，從最長的棱中間切開，正好得到兩個無蓋的正方體盒子。這個長方體包裝盒的表面積是()。6．（2023上·河南洛陽·期末）燈籠又稱燈彩。每逢佳節(jié)，家家戶戶掛起大紅燈籠，是我們的傳統(tǒng)習俗。李爺爺用木條制作了一個棱長8厘米的正方體燈籠框架，需要木條()厘米；給燈籠各面蒙上彩紙，需要彩紙()平方厘米。7．（2023上·四川綿陽·期末）一個長方體玻璃容器，從里面量長、寬均為20厘米，向容器中倒入6升水，再把一個蘋果放入水中，當蘋果完全淹沒在水中時，量得容器內的水深是17厘米。這個蘋果的體積是()立方厘米。二、判斷題。8．（2020上·黑龍江·期末）一瓶墨水有100毫升。()9．（2023上·山東日照·期末）在探索長方體體積計算公式的時候用到了類推的思想方法。()10．（2022上·廣西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。()11．（2023上·河南洛陽·期中）表面積相等的兩個長方體，它們的長、寬、高一定分別相等。()三、選擇題。12．（2024上·山東濟寧·期末）下面的圖形中，折疊后不能圍成正方體的是()。A． B． C．13．（2023上·河南周口·期末）把兩個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是()平方厘米。A．300 B．275 C．25014．（2021上·河北邯鄲·期末）一種飲料包裝箱從里面量長28厘米、寬14厘米、高24厘米，要裝底面直徑是7厘米、高是12厘米的罐裝飲料，最多能裝()罐。A．12 B．16 C．2015．（2020下·河南洛陽·期末）一個長方體被挖掉一小塊正方體（如圖），下面說法完全正確的是()。A．體積減少，表面積也減少B．體積減少，表面積增加C．體積減少，表面積不變四、計算題。16．（2022下·廣東云浮·期末）求左圖的表面積和右圖的體積。（單位：cm）

17．（2023·全國·期末）計算如圖所示圖形的表面積和體積。（單位：cm）五、解答題。18．（2023下·河南信陽·期末）母親節(jié)到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結處需要20厘米，捆扎這個禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

19．（2021下·福建莆田·期末）一間長方體教室長8米，寬6米，高4米，門窗面積是22平方米?，F(xiàn)在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？20．（2023下·浙江紹興·期末）有一塊長方形鐵皮（下圖），從四個角各切掉一個邊長為8厘米的正方形，然后做成一個盒子，這個盒子的長、寬、高各是多少？容積是多少？21．（2023下·浙江溫州·期末）濤濤為了測量一塊石頭的體積，做了以下的實驗。①準備一個無蓋的長方體玻璃容器。②測量出這個容器長20厘米，寬8厘米，高15厘米（玻璃厚度忽略不計）。③在容器內注入800毫升的水。④將石頭完全浸沒在水中（水未溢出），此時量出水面高度是8厘米。（1）制作這個無蓋長方體玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？（2）這塊石頭的體積是多少立方厘米？22．（2022下·浙江杭州·期末）有三塊高分別為10厘米、20厘米和30厘米的長方體木塊，它們的底面均為邊長是10厘米的正方形。現(xiàn)將它們拼合成一個物體（如下圖所示），那么這個物體的體積是多少？表面積呢？

23．（2022下·浙江杭州·期末）有一個長方體，如果把長減少2厘米（寬和高不變），那么就得到一個表面積是平方厘米的正方體。求原來長方體的體積。蘇教版2024-2025學年六年級數(shù)學上冊夯實提煉第一單元長方體和正方體·單元復習篇【四大篇章】知識點一：長方體和正方體的認識

1.長方體的特征。長方體是由6個長方形（也可能有2個相對的面是正方形）圍成的立體圖形，有6個面、12條棱和8個頂點，相對的面完全相同、相對的棱長度相等。

2.長方體的長、寬、高的含義。長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。知識點二：長方體和正方體的展開圖1.沿著正方體（或長方體）的棱將其剪開，可以把正方體（或長方體）展開成一個平面圖形，這個平面圖形就是正方體（或長方體）的展開圖。

2.正方體（或長方體）的展開圖的特點：在展開圖中，正方體的6個面完全相同（長方體相對的面完全相同），相對的面完全隔開。3.一個表面涂色的正方體，把每條棱平均分成相等的若干份，然后切成同樣大的小正方體。（1）3面涂色的小正方體有8個。

（2）如果用n表示把正方體的棱平均分成的份數(shù)（n為大于或等于2的自然數(shù)），用a、b分別表示2面涂色和1面涂色的小正方體的個數(shù)，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。知識點三：長方體、正方體的表面積計算1.意義。長方體（或正方體）6個面的總面積。

2.計算方法。（1）長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=（長×寬+長×高+寬×高）×2。

（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6。知識點四：體積與體積單位1.體積的意義：物體所占空間的大小叫作物體的體積。

2.容積的意義：容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分別寫成cm3、dm3和m3。

計量液體的體積，通常用升或毫升作單位。

1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升知識點五：長方體和正方體的體積1.長方體的體積=長×寬×高，字母公式為V=abh。2.正方體的體積=棱長×棱長×棱長，字母公式為V=a3。3.底面積：長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。

4.體積計算公式：長方體(或正方體)的體積=底面積×高，如果用字母S表示底面積，h表示高，長方體(或正方體)的體積計算公式可以寫成V=Sh。5.體積單位常用到，相鄰進率是1000。立方分米立方米，它們進率是1000。

立方分米立方厘米，它們進率是1000。

【第一部分】基本知識與基本應用【高頻考題01】長方體和正方體的概念認識。1．下圖的長方體共有()個面、()個頂點、()條棱；長方體中和b平行的棱有()條?！敬鸢浮?8123【分析】根據(jù)長方體的特征，填空即可。【詳解】長方體共有6個面、8個頂點、12條棱；b是長方體的寬，根據(jù)長方形對邊平行且相等可知，長方體中4條寬互相平行，則與b平行的棱有3條。【點睛】考查了長方體的特征及平行的特征，基礎題。2．長方體是由()個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。正方體是由()個完全相同的正方形圍成的立體圖形；正方體可以看成長、寬、高都()的長方體?！敬鸢浮?6相等【詳解】長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形；正方體可以看成長、寬、高都相等的長方體?！靖哳l考題02】長方體和正方體棱長及棱長和與生活實際應用。1．爸爸過生日，女兒麗麗為爸爸準備了一個禮盒。捆扎這個禮盒，如果接頭處用去18厘米長的彩帶，那么至少需要多長的彩帶？【答案】100厘米【分析】捆扎的彩帶包括2條長，2條寬，4條高和接頭，用長×2＋寬×2＋高×4＋接頭＝彩帶長度，列式解答即可?！驹斀狻?5×2＋10×2＋8×4＋18＝30＋20＋32＋18＝50＋32＋18＝82＋18＝100（厘米）答：至少需要100厘米的彩帶?！军c睛】本題考查長方體的總棱長，明確彩帶的組成是解題的關鍵。2．快遞公司要把一個棱長為40厘米的正方體的物體用紙箱包裝好后，再用包裝帶按如圖所示的方法捆扎起來，接頭處需要30厘米。捆扎這個物體一共需要多少米包裝袋？【答案】3.5米【分析】觀察題意可知，包裝帶的長度＝8條正方體的棱長＋接頭處，已知正方體的棱長為40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎這個物體一共需要多少厘米包裝帶，然后把單位換算成米，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×8＋30＝320＋30＝350（厘米）350厘米＝3.5米答：捆扎這個物體一共需要3.5米包裝帶?！军c睛】本題考查了正方體棱長和公式的靈活應用，關鍵是明確包裝袋的長度包含了幾條棱長。3．長方體和一個正方體的棱長之和相等，已知長方體的長是5.2米，寬是4米，高是3.4米。正方體的棱長是多少米？【答案】4.2米【分析】根據(jù)長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出長方體的棱長和，因為長方體和一個正方體的棱長之和相等，根據(jù)正方體的棱長和＝棱長×12，用求得的棱長和除以12，即可求出正方體的棱長。【詳解】（5.2＋4＋3.4）×4＝12.6×4＝50.4（米）50.4÷12＝4.2（米）答：正方體的棱長是4.2米?！军c睛】本題主要考查了長方體棱長和公式和正方體棱長和公式的靈活應用，要熟練掌握公式?！靖哳l考題03】長方體和正方體的表面積與生活實際應用。1．方形排水管的橫截面是邊長0.15米的正方形，每節(jié)排水管長2.5米。做30節(jié)這樣的排水管至少需要多少平方米鐵皮？只列式，不計算?！敬鸢浮?.15×2.5×4×30【分析】根據(jù)題意，結合長方形的面積公式：長×寬可知，用0.15乘上2.5再乘上4，即為一節(jié)排水管的面積，再用求出的結果乘上30，即可求出答案。【詳解】0.15×2.5×4×30＝0.375×4×30＝1.5×30＝45（平方米）答：做30節(jié)這樣的排水管至少需要45平方米鐵皮。2．一個正方體玻璃魚缸的棱長為3分米，制作這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面沒有蓋。）【答案】45平方分米【分析】求這個魚缸至少需要多少平方分米的玻璃，實際是求正方體的表面積。正常情況正方體有6個面，但這個魚缸上面沒有蓋，所以只要求5個面的面積和，根據(jù)求正方體表面積方法求解即可?！驹斀狻?×3×5＝9×5＝45（平方分米）答：制作這個魚缸至少需要45平方分米的玻璃。3．淘氣的房間的長和寬都是5米，高是3米，要粉刷房間的天花板和四面墻壁，門窗的面積是10平方米。粉刷藝術漆的單價是28元/平方米，一共需要多少元？【答案】2100元【分析】把淘氣房間的內空間看成一個長方體，地面不粉刷，實際上是求長方體的4個側面和1個底面的面積之和，利用長方體的表面積公式求出即可；然后再減去門窗的面積就是要粉刷的面積，再用粉刷的面積乘每平方米需要的涂料費就是粉刷這個教室需要花費的錢數(shù)。【詳解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28＝（25＋30＋30－10）×28＝75×28＝2100（元）答：一共需要2100元。【點睛】這是一道長方體表面積的實際應用，在計算時要分清需要計算幾個長方形面的面積，缺少的是哪一個面的面積，從而列式解答即可。【高頻考題04】長方體和正方體體積（容積）的實際應用。1．一輛汽車，油箱長5dm、寬4dm、高3dm。如果每升汽油可行駛10千米，這一箱汽油可使汽車行駛多少千米？只列式，不計算?！敬鸢浮?×4×3×10【分析】根據(jù)題意，結合長方形的體積公式：長×寬×高，求出油箱的體積，因為1立方分米等于1升，所以即為求出油箱可裝多少升油，再用求出的結果乘上10，即可求出答案。【詳解】5×4×3＝20×3＝60（立方分米）60立方分米＝60升60×10＝600（千米）答：這一箱汽油可使汽車行駛600千米。2．修路工人把10.5立方米的沙子鋪在一段長25米、寬3米的路上，可以鋪多厚？（用方程解）【答案】0.14米【分析】可以把所鋪的道路形狀看作是一個長為25米，寬為3米，高（厚）未知的長方體，根據(jù)長方體的體積公式（長方體的體積＝長×寬×高），求出長方體的高即道路的厚度。【詳解】解：設可以鋪x米。3×25x＝10.575x＝10.575x÷75＝10.5÷75x＝0.14答：可以鋪0.14米厚?！军c睛】本題考查長方體的體積公式在實際生活中的應用以及根據(jù)等量關系列方程解決問題。3．一塊正方體石料的棱長為6分米，如果1立方分米石料的質量是2.7千克，這塊石料的質量是多少千克？【答案】583.2千克【分析】先根據(jù)正方體的體積公式，棱長×棱長×棱長，求出石料的體積，再乘2.7即可求出石料的質量即可?！驹斀狻?×6×6×2.7＝36×6×2.7＝216×2.7＝583.2（千克）答：這塊石料的質量是583.2千克?！军c睛】解答本題的關鍵是掌握正方體的體積計算公式?！靖哳l考題05】體積、容積單位的選擇與換算。1．在括號里填上適當?shù)捏w積或容積單位。一輛公交車的體積約是50()

一瓶墨水約60()一塊橡皮的體積約是6()

小轎車油箱的容積約45()【答案】立方米/m3毫升/mL立方厘米/cm3升#L【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計量單位，即可解答。【詳解】一輛公交車的體積約是50立方米；一瓶墨水約60毫升；一塊橡皮的體積約是6立方厘米；小轎車油箱的容積約45升。【點睛】本題考查根據(jù)情景選擇合適的計量單位，要注意聯(lián)系生活實際、計量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活地選擇。2．在括號里填上合適的數(shù)或單位名稱。一瓶礦泉水的體積約500()一間教室的空間約200()450dm2＝()m24.05L＝()L()mL【答案】毫升/mL立方米/cm34.5450【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根據(jù)生活經(jīng)驗以及數(shù)據(jù)的大小，選擇合適的計量單位，即可解答?！驹斀狻恳黄康V泉水的體積約500毫升；一間教室的空間約200立方米；450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL?！军c睛】此題考查根據(jù)情景選擇合適的計量單位，要注意聯(lián)系生活實際、計量單位和數(shù)據(jù)的大小，靈活地選擇。3．在括號里填上合適的數(shù)。3290cm2＝()dm2

409L＝()mL＝()m37508dm3＝()m3()dm3

0.09m3＝()L＝()mL【答案】32.94090000.40975089090000【分析】低級單位換高級單位除以進率，根據(jù)1dm2＝100cm2，用3290÷100即可；高級單位換低級單位乘進率，根據(jù)1L＝1000mL，用409×1000即可，根據(jù)1m3＝1000L，則用409÷1000即可；根據(jù)1m3＝1000dm3，把7508拆成7000＋508，然后用7000÷1000即可；根據(jù)1m3＝1000L，則0.09×1000即可，根據(jù)1m3＝1000000mL，用0.09×1000000即可?！驹斀狻?290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m37508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm30.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL【點睛】本題考查單位換算，明確各單位之間的進率是解題的關鍵?！镜诙糠帧烤C合應用與解決問題【高頻考題01】折疊問題。1．如圖，一塊正方形鐵皮，從四個角分別切去一個邊長是3厘米的正方形后，做成一個無蓋的鐵盒，這個鐵盒的容積是多少？【答案】300立方厘米【分析】由題意可知：這個無蓋鐵盒的長、寬都是16－3×2＝10（厘米），高是3厘米。長方體的容積＝長×寬×高，把長、寬、高的數(shù)據(jù)代入長方體容積計算公式計算即可?！驹斀狻浚?6－3×2）×（16－3×2）×3＝（16－6）×（16－6）×3＝10×10×3＝100×3＝300（立方厘米）答：這個鐵盒的容積是300立方厘米?！军c睛】用長方形鐵皮或正方形鐵皮制成盒子（四個角上分別去掉一個相同的小正方形），盒子的長和寬要在鐵皮的長和寬中去掉兩個小正方形的邊長，盒子的高是去掉的小正方形的邊長。2．一塊長40cm、寬30cm的長方形鐵板，從它的四個角上分別切去一個邊長為5cm的正方形（如圖），然后焊接成一個無蓋的長方體鐵盒．它的容積是多少升？（厚度忽略不計）【答案】3L【詳解】40-5×2=30（cm）30-5×2=20（cm）30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L【高頻考題02】表面積增減變化問題。1．把一塊長120分米的長方體木材鋸成完全相同的兩塊小長方體（如圖），表面積增加了0.8平方分米。這根木材原來的體積是多少立方分米？【答案】48立方分米【分析】根據(jù)題意，把長方體木材鋸成兩段后，表面積比原來增加了2個橫截面的面積，先用增加的表面積除以2，求出一個橫截面的面積，再根據(jù)長方體的體積公式V＝Sh，求出這根木料的體積?！驹斀狻?.8÷2＝0.4（平方分米）0.4×120＝48（立方分米）答：這根木材原來的體積是48立方分米。【點睛】抓住長方體切割的特點和增加的表面積求出一個橫截面的面積，然后靈活運用長方體的體積公式是解題的關鍵。2．榆林氈繡，又名絨線毛氈繡花。它是一種古老的絨線氈繡工藝品。樂樂買了4幅掛屏，每幅都裝在盒子里寄給朋友，每個盒子的長、寬、高分別是20厘米、15厘米6厘米，請你算一算怎樣包裝才能最節(jié)約包裝紙？至少需要多少平方厘米的包裝紙？（接口處不計）【答案】把這四個長方體盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大長方體的表面積最?。?280平方厘米【分析】求最少要用包裝紙多少平方厘米，只需把這4個長方體盒子的最大面，即（20×15）這個面摞在一起，拼成一個長20厘米、寬15厘米、高（6×4）厘米的長方體最省紙，根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入數(shù)據(jù)解答即可。【詳解】由分析得：把這四個長方體盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大長方體的表面積最小。（20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2＝（300＋480＋360）×2＝1140×2＝2280（平方厘米）答：把這四個長方體盒子的20×15面相粘合，得到的大長方體的表面積最小。至少需要2280平方厘米的包裝紙?！军c睛】本題關鍵是找出拼組后長方體的長、寬、高各是多少，然后根據(jù)長方體表面積公式求解。3．一個正方體的高增加2厘米，得到的新長方體的表面積比原來正方體的表面積增加了56平方厘米。求原來正方體的體積?！敬鸢浮?43立方厘米【分析】由題意可知：將正方體的高增加2厘米后，增加了四個相同的寬為2厘米的長方形的面積，所以得到該長方形的長（也就是正方體的棱長）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方體的體積＝7×7×7＝343立方厘米；據(jù)此解答。【詳解】56÷4÷2＝7（厘米）7×7×7＝49×7＝343（立方厘米）答：原來正方體的體積是343立方厘米。【點睛】本題考查了正方體的拼接與體積，此題的關鍵是要理解將正方體的高增加2厘米后，增加了四個相同的寬為2厘米的長方形的面積（也就是增加的表面積）?！靖哳l考題03】等積變形問題。1．把一塊棱長為30厘米的正方體鐵塊，熔鑄成一個寬4.5分米，高1.2分米的長方體，這個長方體鐵塊的長是多少厘米？（損耗不計）【答案】50厘米【分析】根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出正方體鐵塊的體積，熔鑄后，體積不變，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這個長方體鐵塊的長?！驹斀狻?.5分米＝45厘米1.2分米＝12厘米30×30×30÷（45×12）＝27000÷540＝50（厘米）答：這個長方體鐵塊的長是50厘米?！军c睛】此題主要考查等積變形，靈活運用正方體和長方體的體積公式求解。2．如圖（單位：厘米），一個密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？【答案】14厘米【分析】根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，用35×22×8即可求出水的體積，如果把容器的左面朝下放，水的體積還是不變，只是水的長變?yōu)?2厘米，寬變?yōu)?0厘米，根據(jù)長方體的體積公式，用水的體積÷22÷20即可求出現(xiàn)在水面的高度。【詳解】35×22×8＝6160（立方厘米）6160÷22÷20＝14（厘米）答：水面的高是14厘米?！军c睛】本題主要考查了長方體體積公式的靈活應用，要注意水的體積不變?！靖哳l考題04】排水法求不規(guī)則物體的體積問題。1．媽媽買來一只烏龜，放入長5分米、寬4分米的長方體玻璃魚缸中。烏龜完全沉入水中后，觀察到水面上升了1厘米。這只烏龜?shù)捏w積是多少立方厘米？【答案】2000立方厘米【分析】水面上升的那部分水的體積就是烏龜?shù)捏w積，根據(jù)“長方體的體積＝長×寬×高”求出水面上升的那部分水的體積，即烏龜?shù)捏w積。【詳解】5分米＝50厘米4分米＝40厘米50×40×1＝2000×1＝2000（立方厘米）答：這只烏龜?shù)捏w積是2000立方厘米?！军c睛】此題考查了用排水法求不規(guī)則物體的體積的方法。向盛水的容器中放入物體，且物體完全浸入水中（水未溢出），放入物體的體積等于容器中升高的那部分水的體積。2．一個長方體的玻璃缸，長8分米，寬6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一塊棱長為4分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？【答案】6.4升【分析】已知長方體的玻璃缸，長寬高分別是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，現(xiàn)在投入一塊正方體鐵塊，鐵塊的棱長為4分米，缸里的水溢出來了；正方體的棱長與長方體的高相等，則等量關系為：原來長方體空余的上部分體積＋溢出水的體積＝正方體鐵塊的體積；正方體鐵塊的體積為4×4×4，長方體空余部分體積為8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的體積，列式為：4×4×4－8×6×（4－2.8）?！驹斀狻?×4×4－8×6×（4－2.8）＝64－48×1.2＝64－57.6＝6.4（立方分米）＝6.4升答：缸里的水溢出6.4升?！军c睛】本題稍顯復雜，可畫示意圖輔助理解，關鍵是明確，因為原來長方體玻璃缸有一部分空余的空間，所以溢出水的體積不完全等于正方體鐵塊的體積?！靖哳l考題05】不規(guī)則或組合立體圖形的體積問題。1．計算下列圖形的表面積和體積（單位：厘米）?！敬鸢浮勘砻娣e：1712平方厘米；體積：4320立方厘米【分析】圖中的幾何體可以看成是從長、寬、高分別為20厘米、20厘米、12厘米的長方體上面切下一個長、寬、高分別為20厘米、6厘米、4厘米的小長方體，算表面積可以用平移的方法求解，最終相當于是原長方體的表面積減去兩個的面，求體積直接用大長方體體積減去小長方體體積即可?！驹斀狻浚ɡ迕祝┍砻娣e：（平方厘米）體積：（立方厘米）2．計算下面圖形的體積和表面積。（單位：厘米）【答案】體積為875立方厘米；表面積為700平方厘米?！痉治觥款}干中圖形是由一個棱長10厘米的正方體挖去一個棱長為5厘米的正方體得到，根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，圖形體積＝大正方體體積?小正方體積可得出體積。表面積增加了小正方體4個側面的面積，根據(jù)邊長×邊長×4得出表面積?！驹斀狻繄D形體積為：（立方厘米）圖形表面積為：（平方厘米）一、填空題。1．（2022上·甘肅平?jīng)觥て谀┮粋€正方體的魔方放在桌子上，從正面、上面、左面看到的都是()；一個足球放在桌子上從左面看到的是()。【答案】正方形圓【分析】因為正方體的六個面都是正方形，所以從正面、上面、左面看到的都是正方形；一個足球是球形所以無論從哪個方向看都是一個圓。據(jù)此填空即可?！驹斀狻坑煞治隹芍阂粋€正方體的魔方放在桌子上，從正面、上面、左面看到的都是正方形；一個足球放在桌子上從左面看到的是圓?！军c睛】本題考查從不同方向觀察物體，明確正方體和球形的特點是解題的關鍵。2．（2024上·河南周口·期末）科學研究表明，每立方米月球巖石中可以提取約6升水，即()毫升水，相當于()瓶500毫升裝的純凈水?！敬鸢浮?00012【分析】1升＝1000毫升，據(jù)此將6升換算成毫升。用水的總容量除以每瓶純凈水的容量，求出瓶數(shù)?！驹斀狻?升＝6000毫升6000÷500＝12（瓶）科學研究表明，每立方米月球巖石中可以提取約6升水，即6000毫升水，相當于12瓶500毫升裝的純凈水。3．（2023下·河南鄭州·期末）用小棒擺搭長方體。聰聰：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一個長方體。樂樂：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一個長方體。天天：我用12根長度相同的小棒搭成一個長方體。聰聰搭成的長方體是()；樂樂搭成的長方體是()。（在括號里填上圖形的編號）【答案】①③【分析】聰聰搭的長方體的長寬高各不相同；樂樂搭的長方體有相鄰的兩邊長度相等；天天搭的長方體十二條邊長度都相等，據(jù)此解答。【詳解】聰聰搭的長方體的長寬高各不相同是①；樂樂搭的長方體有相鄰的兩邊長度相等即長方體的兩個相對面是正方形是③；天天搭的長方體十二條邊長度都相等也就是正方體是②。因此，聰聰搭成的長方體是①；樂樂搭成的長方體是③。4．（2023上·湖南郴州·期末）用鐵絲做一個長7cm、寬5cm、高3cm的長方體框架，至少需要()dm長的鐵絲?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)題意，用鐵絲做一個長方體框架，求鐵絲的長度，就是求長方體的棱長總和；根據(jù)長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，以及進率：1dm＝10cm，代入數(shù)據(jù)計算，即可求解?！驹斀狻浚?＋5＋3）×4＝15×4＝60（cm）60cm＝6dm至少需要6dm長的鐵絲?！军c睛】本題考查長方體棱長總和公式的運用，明白求鐵絲的長度就是求長方體的棱長總和是解題的關鍵。5．（2023上·山東日照·期末）把一個棱長和是32dm的長方體包裝盒，從最長的棱中間切開，正好得到兩個無蓋的正方體盒子。這個長方體包裝盒的表面積是()?！敬鸢浮?0dm2/40平方分米【分析】根據(jù)從最長的棱中間切開，正好得到兩個無蓋的正方體盒子，即長方體的四個長棱，八個短棱，一個長棱等于兩個短棱，所以有4×2＋8個短棱，設短棱長為x，列式求出一個短棱的長度，再根據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，把幾個面相加即可解答?！驹斀狻拷猓涸O短棱長為x，16x＝3216x÷16＝32÷16x＝2側面積是：2×4×4＝8×4＝32（dm2）底面積是：2×2＝4（dm2）32＋4＋4＝36＋4＝40（dm2）這個長方體包裝盒的表面積是40dm2。6．（2023上·河南洛陽·期末）燈籠又稱燈彩。每逢佳節(jié)，家家戶戶掛起大紅燈籠，是我們的傳統(tǒng)習俗。李爺爺用木條制作了一個棱長8厘米的正方體燈籠框架，需要木條()厘米；給燈籠各面蒙上彩紙，需要彩紙()平方厘米?！敬鸢浮?6384【分析】正方體棱長和＝棱長×12，據(jù)此列式求出需要木條多少厘米；正方體表面積＝棱長×棱長×6，據(jù)此求出需要彩紙多少平方厘米?！驹斀狻?×12＝96（厘米）8×8×6＝384（平方厘米）所以，需要木條96厘米；需要彩紙384平方厘米。7．（2023上·四川綿陽·期末）一個長方體玻璃容器，從里面量長、寬均為20厘米，向容器中倒入6升水，再把一個蘋果放入水中，當蘋果完全淹沒在水中時，量得容器內的水深是17厘米。這個蘋果的體積是()立方厘米?！敬鸢浮?00【分析】長方體容器中水的形狀可以看作是長方體，長方體的體積＝長×寬×高，據(jù)此把容器的長、寬和水深相乘，即可求出水和這個蘋果的體積之和，再減去水的體積，即可求出這個蘋果的體積?！驹斀狻?0×20×17＝6800（立方厘米）6升＝6000立方厘米6800－6000＝800（立方厘米）則這個蘋果的體積是800立方厘米。二、判斷題。8．（2020上·黑龍江·期末）一瓶墨水有100毫升。()【答案】√【分析】計量液體的體積常用容積單位升和毫升，通常較多液體的體積用升，較少液體的體積用毫升。一瓶墨水的體積是100毫升比較合適?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知：一瓶墨水有100毫升。原題說法正確。故答案為：√9．（2023上·山東日照·期末）在探索長方體體積計算公式的時候用到了類推的思想方法。()【答案】√【分析】長方形所含面積單位的數(shù)量，就是長方形的面積，長方形所含面積單位的數(shù)量等于長和寬的乘積，所以長方形的面積＝長×寬；長方體所含體積單位的數(shù)量，就是長方體的體積，長方體所含體積單位的數(shù)量等于長、寬、高的乘積，所以長方體的體積＝長×寬×高，據(jù)此解答?！驹斀狻坑煞治隹傻茫涸谔剿鏖L方體體積計算公式的時候用到了類推的思想方法，所以原題說法正確。故答案為：√10．（2022上·廣西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。()【答案】√【分析】根據(jù)題意，0.1的立方，表示3個0.1相乘，據(jù)此判斷?！驹斀狻?.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。原題計算正確。故答案為：√【點睛】本題考查一個數(shù)的立方的意義及計算。11．（2023上·河南洛陽·期中）表面積相等的兩個長方體，它們的長、寬、高一定分別相等。()【答案】×【分析】長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的表面積大小是由長、寬、高的數(shù)值根據(jù)公式求值決定的。假設其中一個長方體的長5厘米、寬1厘米、高1厘米，另一個長方體的長3厘米，寬2厘米，高1厘米，根據(jù)長方體的表面積公式，代入數(shù)據(jù)解答，再比較即可?！驹斀狻块L5厘米、寬1厘米、高1厘米的長方體的表面積是：（5×1＋5×1＋1×1）×2＝（5＋5＋1）×2＝11×2＝22（平方厘米）長3厘米，寬2厘米，高1厘米的長方體的表面積是：（3×2＋3×1＋2×1）×2＝（6＋3＋2）×2＝11×2＝22（平方厘米）所以兩個長方體的表面積相等，它們的長、寬、高也不一定相等。原題干說法錯誤。故答案為：×三、選擇題。12．（2024上·山東濟寧·期末）下面的圖形中，折疊后不能圍成正方體的是()。A． B． C．【答案】A【分析】正方體展開圖是由6個相同的正方形組成的，根據(jù)正方體展開圖的特征解答即可?！驹斀狻肯聢D是正方體的展開圖，共有11種。A.不屬于正方體展開圖的形式，不能圍成正方體；B.屬于正方體展開圖的“1?3?2”型，所以能圍成正方體；C.屬于正方體展開圖的“2?2?2”型，所以能圍成正方體。故答案為：A13．（2023上·河南周口·期末）把兩個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是()平方厘米。A．300 B．275 C．250【答案】C【分析】把兩個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，則長方體的長為5×2＝10厘米，寬和高均為5厘米；將數(shù)據(jù)代入長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2計算即可?！驹斀狻科闯傻拈L方體的長為5×2＝10厘米，寬和高均為5厘米。（10×5＋10×5＋5×5）×2＝（50＋50＋25）×2＝125×2＝250（平方厘米）把兩個棱長為5厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是250平方厘米。故答案為：C14．（2021上·河北邯鄲·期末）一種飲料包裝箱從里面量長28厘米、寬14厘米、高24厘米，要裝底面直徑是7厘米、高是12厘米的罐裝飲料，最多能裝()罐。A．12 B．16 C．20【答案】B【分析】先分別用長和寬除以直徑求出長邊裝的罐數(shù)和寬邊裝的罐數(shù)，再用長方體的高除以飲料罐的高求出飲料罐的層數(shù)，再將三者個數(shù)相乘算出結果?！驹斀狻?8÷7＝4（罐）14÷7＝2（罐）24÷12＝2（層）4×2×2＝8×2＝16（罐）則最多能裝16罐。故答案為：B15．（2020下·河南洛陽·期末）一個長方體被挖掉一小塊正方體（如圖），下面說法完全正確的是()。A．體積減少，表面積也減少B．體積減少，表面積增加C．體積減少，表面積不變【答案】C【分析】根據(jù)長方體的體積、表面積的意義，從長方體的頂點上挖掉一個小正方體，因為這個小正方體原來外露3個面，挖掉這個小正方體后又外露與原來相同的3個面，所以剩下圖形的表面積不變，體積減少了，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：一個長方體被挖掉一小塊正方體，則此時體積減少，表面積不變。故答案為：C四、計算題。16．（2022下·廣東云浮·期末）求左圖的表面積和右圖的體積。（單位：cm）

【答案】1932cm2；512cm3【分析】把長方體的長、寬、高的數(shù)據(jù)代入到長方體的表面積公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，計算出長方體的表面積。把正方體的棱長的數(shù)據(jù)代入正方體的體積公式：V＝a×a×a中，計算出正方體的體積。【詳解】（25×18＋25×12＋18×12）×2＝（450＋300＋216）×2＝966×2＝1932（cm2）8×8×8＝512（cm3）即長方體的表面積是1932cm2，正方體的體積是512cm3。17．（2023·全國·期末）計算如圖所示圖形的表面積和體積。（單位：cm）【答案】表面積：150cm2；體積：109cm3【分析】（1）通過平移的方法，將凹進去的面向外平移，圖形可以填補為：棱長為5cm的正方體，根據(jù)公式：正方體的表面積＝6a2，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）圖形的體積＝正方體的體積－小長方體的體積，正方體的體積＝a3，長方體的體積＝abh；將數(shù)據(jù)代入公式計算即可?！驹斀狻勘砻娣e：5×5×6＝25×6＝150（cm2）體積：5×5×5－4×2×2＝25×5－8×2＝125－16＝109（cm3）五、解答題。18．（2023下·河南信陽·期末）母親節(jié)到了，小悅想把送給媽媽的禮品盒包裝得更精美，按照右圖的方法捆扎，打結處需要20厘米，捆扎這個禮品盒一共需要多少厘米絲帶？

【答案】340厘米【分析】觀察圖片可知，絲帶的長度＝4條高＋2條長＋2條寬＋打結處，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?0×2＋40×2＋30×4＋20＝120＋80＋120＋20＝340（厘米）答：捆扎這個禮品盒一共需要340厘米絲帶?！军c睛】本題考查了長方體棱長和公式的靈活應用，要熟練掌握公式。19．（2021下·福建莆田·期末）一間長方體教室長8米，寬6米，高4米，門窗面積是22平方米?，F(xiàn)在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？【答案】34.5千克【分析】由題意可知，要粉刷的面積就是長方體五個面的面積減去門窗的