備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯題（新高考專用）專題08 數(shù)列（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯題（新高考專用）專題08數(shù)列（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案專題08數(shù)列易錯點一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；（2）符號語言：(，為常數(shù))．2、等差中項：若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：．（2）前項和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項公式：當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項和：當公差時，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和．1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個等差數(shù)列，的前n項和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)（1）若項數(shù)為，則，；（2）若項數(shù)為，則，，，.最值問題：解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，當時，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當時，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最大值，其最大值是所有非負項的和；當，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負項是哪一項時，只要令即可易錯提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時有時可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題，要注意的取值不是連續(xù)實數(shù)，忽略這一點很容易出錯.例．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，求取得最大值時對應(yīng)的n值.變式1．數(shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項開始有？(2)求此數(shù)列的前項和的最大值．變式2．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求的最小值．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項公式和前項和公式；(2)當取何值時，前項和最大，最大值是多少．1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和，有最大值，當時，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，則取得最小值時n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數(shù)列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項和為，則時，的最大值為277．已知數(shù)列的前項和滿足，則下列說法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大8．已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值9．數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當時， D．當或4時，取得最大值10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和的最大值為．11．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．易錯點二：忽視兩個“中項”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語言表達式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項，其中.注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；通項公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和．（等比中項）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標和相等，項的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項。只有同號的兩數(shù)才有等比中項，“”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點。例．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．1．已知等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯誤的是（

）A． B． C． D．5．正項等比數(shù)列中，是與的等差中項，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或77．數(shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．9．已知是等差數(shù)列，公差，前項和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，10．數(shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項，則（

）A．398 B．388C．189 D．199易錯點三：忽略等比數(shù)列求和時對的討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數(shù)列共有項，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；（4）等比數(shù)列的前項和，令，則（為常數(shù)，且）易錯提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則.變式1．記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則．變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項和．變式3．數(shù)列前項和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為，求數(shù)列前項和．1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），為其前項和，則（

）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項和為170C．的前10項積為 D．的前n項和為5．已知正項等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.6．已知等比數(shù)列的前n項和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項．7．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，，則8．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，且，則．9．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，，，則．10．數(shù)列的前n項和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為．11．在正項等比數(shù)列中，已知，，則公比．易錯點四：由求時忽略對“”的檢驗（求通項公式）類型1觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．類型2公式法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．類型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．類型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．類型6對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．類型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式易錯提醒：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n項和之間關(guān)系如下，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗.例．已知數(shù)列和，其中的前項和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項公式；(2)記，求證：.變式1．數(shù)列的前n項和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前n項和為，證明：變式2．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為.證明：對一切正整數(shù)，.變式3．已知數(shù)列的前項和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.1．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)當時，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.2．已知數(shù)列的前項和為，且與的等差中項為.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.3．已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項和.4．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，當時，是4的常數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)當時，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.5．在數(shù)列中，，是的前n項和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．6．已知數(shù)列的前項和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.7．已知首項為4的數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．8．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．9．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求時，n的最小值．10．已知為數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的前項和．11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（且）．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．易錯點五：裂項求和留項出錯（數(shù)列求和）常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯提醒：用裂項相消法求和時，裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，一般來說前面剩余幾項后面也剩余幾項，若前面剩余的正數(shù)項，則后面剩余的是負數(shù)項。例．已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，證明：.變式1．記為數(shù)列的前n項和，滿足，.(1)求的通項公式；(2)證明：.變式2．已知首項為1的數(shù)列，其前項利為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．變式3．已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.1．已知是數(shù)列的前項和，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．2．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，當時，是4的常數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)當時，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.3．在數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若.求數(shù)列的前項和.4．設(shè)數(shù)列前n項和為，，.(1)求，及的通項公式；(2)若，證明：.5．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列的前n項之積為，，且．(1)求；(2)令，求正整數(shù)n，使得“”與“是，的等差中項”同時成立；(3)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和．6．設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.7．已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：.8．設(shè)為數(shù)列的前項和，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列的最小項為第項，求；(3)設(shè)數(shù)的前項和為，證明：9．已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.10．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足，求的前項和.

專題08數(shù)列易錯點一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問題）1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；（2）符號語言：(，為常數(shù))．2、等差中項：若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：．（2）前項和公式：．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項公式：當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項和：當公差時，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和．1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）；（2）；（3）兩個等差數(shù)列，的前n項和，之間的關(guān)系為.（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)（1）若項數(shù)為，則，；（2）若項數(shù)為，則，，，.最值問題：解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數(shù)列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標法求最值；二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，當時，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當時，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最大值，其最大值是所有非負項的和；當，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負項是哪一項時，只要令即可易錯提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時有時可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題，要注意的取值不是連續(xù)實數(shù)，忽略這一點很容易出錯.例．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，求取得最大值時對應(yīng)的n值.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，而，于是公差，因此，由，得，顯然數(shù)列是遞減等差數(shù)列，前5項都是非負數(shù)，從第6項起為負數(shù)，所以的最大值為，此時或.變式1．數(shù)列是等差數(shù)列，，．(1)從第幾項開始有？(2)求此數(shù)列的前項和的最大值．【詳解】（1）因為，，所以．令，則．由于，故當時，，即從第項開始各項均小于；（2）方法1：．當取最接近于的自然數(shù)，即時，取到最大值．方法2：因為，，由（1），知，，所以，且．所以．變式2．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求的最小值．【詳解】（1）設(shè)公差為，，∴，解得，∴．（2）∵，，∴＝，∴當時，最小，最小值為．變式3．等差數(shù)列，，公差．(1)求通項公式和前項和公式；(2)當取何值時，前項和最大，最大值是多少．【詳解】（1）由為等差數(shù)列的前項和，則，解得，，則，.（2）由，則數(shù)列為遞減數(shù)列，由，，則當時，取得最大值，即最大值為.1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和，有最大值，當時，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】可判斷數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，利用前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得進而可得的最大值．【詳解】因為，所以和異號，又等差數(shù)列的前項和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以當時，的最大值為19．故選：C．2．已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，則取得最小值時n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項公式，求得，，進而得到當當時，，當時，，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的通項公式，得，又，所以則等差數(shù)列中滿足，，且，數(shù)列為遞增數(shù)列，且當時，，當時，，所以當取得最小值時，n的值為.故選：B.3．已知數(shù)列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由題意可得數(shù)列是以首項為25，公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式以及前n項和的性質(zhì)分析運算.【詳解】由，可得，所以數(shù)列是以首項為25，公差的等差數(shù)列，且為單調(diào)遞減數(shù)列，其通項公式為．當且時，Sn最大，解得且，則，即數(shù)列{an}的前15項均為非負值，第16項開始為負值，故S15最大，.故選：C．4．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，再結(jié)合，，求解即可．【詳解】根據(jù),得，，所以，因為，所以，所以使前項和成立的最大自然數(shù)是4042．故選：C5．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值【答案】BD【分析】對于B：根據(jù)題意結(jié)合前n項和分析可得；對于A：根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷；對于C：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得，進而可得結(jié)果；對于D：根據(jù)等差數(shù)列的正負性結(jié)合前n項和的性質(zhì)分析判斷.【詳解】因為，，則，故B正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故A錯誤；可知數(shù)列為遞減數(shù)列，可得，可得，所以，故C錯誤；因為為最后一項正數(shù)，根據(jù)加法的性質(zhì)可知：為的最大值，又因為，所以與均為的最大值，故D正確；故選：BD.6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．設(shè)的前項和為，則時，的最大值為27【答案】BC【分析】由已知求得，，解公差為的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)逐個選項判斷正誤即可.【詳解】∵，，∴，，∴，，∴，A選項錯誤；又∵，即，∴，解得，B選項正確；∵，故C選項正確；因為等差數(shù)列的前n項和為，所以，即，由，∴數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，因為當時，，當時，，所以當時，，當時，，所以，，因為，所以可能為正數(shù)，也可能為負數(shù)，所以D選項不正確．故選：BC．7．已知數(shù)列的前項和滿足，則下列說法正確的是（

）A．是為等差數(shù)列的充要條件B．可能為等比數(shù)列C．若，，則為遞增數(shù)列D．若，則中，，最大【答案】ABD【分析】計算，當時，，驗證知A正確，當時是等比數(shù)列，B正確，舉反例知C錯誤，計算得到D正確，得到答案.【詳解】，；當時，，當時，，滿足通項公式，數(shù)列為等差數(shù)列；當為等差數(shù)列時，，，故A正確；當時，，是等比數(shù)列，B正確；，取，則，C錯誤；當時，從第二項開始，數(shù)列遞減，且，故，故，最大，D正確.故選：ABD8．已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項，從而可判斷AB，根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C，根據(jù)前項和的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】當時，，當時，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差，A正確；，B正確；因為公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，C錯誤；，易知當或時，有最大值，D錯誤.故選：AB9．數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當時， D．當或4時，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達式及時，的關(guān)系，算出數(shù)列通項公式，即可判斷A、B、C選項的正誤.的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B錯誤；當時，，故C正確；因為的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠，所以當或時，取得最大值，故D正確.故選：CD.10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和的最大值為．【答案】21【分析】先求得數(shù)列的通項公式，由此求得數(shù)列的通項公式，可知數(shù)列是等差數(shù)列，然后根據(jù)通項公式的特征求得前項和的最大值．【詳解】由于等比數(shù)列中，，，所以，解得，所以，所以，所以數(shù)列是首項為6，公差為的等差數(shù)列，當1≤n≤6時，；當n＝7時，；當n＞7時，，則當n＝6或n＝7時，數(shù)列的前n項和取得最大值，最大值為6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案為：21．11．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．【答案】【分析】由求出和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，所以，因為，所以，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當時，取最大值，故答案為：.易錯點二：忽視兩個“中項”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項求其它）1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。數(shù)學(xué)語言表達式：(，為非零常數(shù))．2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項，其中.注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；通項公式的推廣：.（2）等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和．（等比中項）1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）若，則有口訣：角標和相等，項的積也相等推廣：（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數(shù)列。（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。易錯提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項。只有同號的兩數(shù)才有等比中項，“”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點。例．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，∴a3＋a5＝5，選項A正確變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則(

)A． B． C． D．【詳解】由題意可知，得，解得或，因為，故，所以.故選：A.變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（

）A．， B．，C．， D．，【詳解】因為是和的等比中項，所以，設(shè)公比為，則，所以b與首項-1同號，所以．又a，c必同號，所以．故選：B變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．或 D．【詳解】解：由等比數(shù)列性質(zhì)可知，所以或，但，可知，所以，則，故選：B1．已知等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用等比中項公式列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足，，成等比數(shù)列，可得，即，整理得，因為，所以，又由.故選：A.2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．80【答案】C【分析】由題知，，進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式解得，再求和即可.【詳解】因為，所以，解得.又，，成等比數(shù)列，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，整理得.因為，所以.所以.故選:C.3．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)求解即可.【詳解】若成等比數(shù)列，則，即，當時，滿足，成等比數(shù)列，故使得成等比數(shù)列的充要條件的b值為.故選：B4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出公差，根據(jù)題干條件列出方程，求出公差，求出通項公式，再利用通項公式和前n項和公式對四個選項一一計算，進行判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d（）.因為且成等比數(shù)列，所以.解得：，所以.對于A：.故A正確；對于B：因為，所以.故B正確；對于C：.故C錯誤；對于D：因為，所以當時，，即.故D正確.故選：C5．正項等比數(shù)列中，是與的等差中項，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】依題意是與的等差中項，可求出公比，進而由求出，根據(jù)等比中項求出的值.【詳解】由題意可知，是與的等差中項，所以，即，所以，或（舍），所以，，故選：D.6．已知實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或7【答案】C【分析】根據(jù)等比中項可求，然后代入曲線方程分別得到曲線為橢圓和雙曲線，根據(jù)離心率的公式即可求解.【詳解】實數(shù)4，，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，可得，當時，圓錐曲線為橢圓,則其離心率為：．當時，圓錐曲線為雙曲線,其離心率為：．故選：C．7．數(shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)等比中項的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則，則是、的等比中項，即；若是、的等比中項，設(shè)的公比為，則，因為，故，即.因此，是的充要條件.故選：A.8．在數(shù)列中，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由等比數(shù)列定義可知數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】，，即，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，，…，，又數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故選：D.9．已知是等差數(shù)列，公差，前項和為，若，，成等比數(shù)列，則A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】首先由，，成等比數(shù)列可得，然后計算得出，再由可得，最后由等差數(shù)列的前項和公式即可得出的表達式，進而得出所求的答案．【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，即，因為，所以；而，故選：．10．數(shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用等差、等比中項的性質(zhì)求對應(yīng)中項即可.【詳解】若等差中項為m，則，可得；若等比中項為n，則，可得；故選：B11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項，則（

）A．398 B．388C．189 D．199【答案】C【分析】數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，由是和的等比中項，可得，解得即可得出．【詳解】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項，，化為，．所以，則．故選：C．易錯點三：忽略等比數(shù)列求和時對討論（等比數(shù)列求和）等比數(shù)列前項和的性質(zhì)（1）在公比或且為奇數(shù)時，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數(shù)列共有項，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；（4）等比數(shù)列的前項和，令，則（為常數(shù)，且）易錯提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則.【詳解】當?shù)墓葹?時，由可知顯然不成立，故公比不為1，由得，所以時，，相減可得，故公比，又，故，故答案為：變式1．記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則．【詳解】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項為，則①，②，化簡②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故答案為：變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項和．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，所以，解得：，所以，又，所以.變式3．數(shù)列前項和滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為，求數(shù)列前項和．【詳解】（1），①，當時，，當時，②，兩式①-②得，即，其中，也滿足上式，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故；；（2），令，解得，又，故，則，故，所以為等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以.1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求出首項，進而可得，再結(jié)合對數(shù)運算即可得答案.【詳解】依題意，，，解得，因此，所以.故選：C2．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的前項和公式直接計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當時，，不符合題意，（注意對情況的討論），所以，由得，得，（注意等比數(shù)列為正項數(shù)列，故），因此.故選：C．3．已知，，（，），為其前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用遞推關(guān)系構(gòu)造得是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，再賦值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式求答案.【詳解】由（，）可得，已知，，所以，即是一個以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，，，，，，，故選B.4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項和為170C．的前10項積為 D．的前n項和為【答案】ABC【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以，，A對；由上可知：，所以，B對；而，C對；記的前n項和為，則的前n項和，D錯，故選：ABC.5．已知正項等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.【答案】5【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解基本量，再由解關(guān)于的不等式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為，所以，解得，或.由數(shù)列為正項等比數(shù)列，則，所以.又由，即，解得，因為，所以，得，解得，因為，即，又，所以的最大值為.故答案為：.6．已知等比數(shù)列的前n項和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項．【答案】【分析】根據(jù)條件求和，從而可得數(shù)列的通項公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，又－3，，成等差數(shù)列，得，即，，解得，所以.故答案為：.7．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，，則【答案】【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項公式可求得公比，代入等比數(shù)列求和公式中可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，.故答案為：.8．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，且，則．【答案】【分析】根據(jù)條件求等比數(shù)列的基本量及等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】設(shè)公比為，則，由，，解之得或（舍去），故.故答案為：9．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，，，則．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，根據(jù)題意求出，的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，因為，，所以，即，解得,所以．故答案為：10．數(shù)列的前n項和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為．【答案】【分析】對遞推公式進行變形構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式、比較法進行求解即可.【詳解】，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此，所以，設(shè)，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因此有，即，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，而，，因此滿足的最小的自然數(shù)n的值為，故答案為：11．在正項等比數(shù)列中，已知，，則公比．【答案】3【分析】利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解：因為在正項等比數(shù)列中，，，所以，即，即，解得或（舍去），故答案為：3易錯點四：由求時忽略對“”檢驗（求通項公式）類型1觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．類型2公式法：若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．類型3累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．類型4累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類型5構(gòu)造數(shù)列法：（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．類型6對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．類型7倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．類型8形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式易錯提醒：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n項和之間關(guān)系如下，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗.例．已知數(shù)列和，其中的前項和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項公式；(2)記，求證：.【詳解】（1）當時，，所以，時，①，②，①-②得，即，，所以是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以；（2），即③，④，④-③，得，因為，，所以.變式1．數(shù)列的前n項和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列的前n項和為，證明：【詳解】（1）由得，，兩式相減的，整理得，當時，得，，當時，，，，，相加得，所以，，當，2時符合，所以，則，，則，即.（2）由（1）得，所以，因為，，所以，綜上可得，.變式2．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為.證明：對一切正整數(shù)，.【詳解】（1）因為，即，當時，解得或（舍去），當時，所以，即，即，則，因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式是（2）由（1）可得，所以，，所以，所以，因為，所以.變式3．已知數(shù)列的前項和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，當時，，故，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，所以由題意，故，則，故，則.1．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)當時，求；(2)若為等比數(shù)列，求的值.【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用與之間的關(guān)系將已知等式轉(zhuǎn)化為之間的關(guān)系式，然后利用之間的關(guān)系求的值，進而求的值；（2）利用（1）得之間的關(guān)系式，分和討論，利用等比數(shù)列性質(zhì)列式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，又，所以，解得，故，所以，解得；（2）由（1）知，．①當時，，此時，這與矛盾，所以不成立，即；②當時，，所以，所以，，因為為等比數(shù)列，所以，即，解得.綜上，的值為5.2．已知數(shù)列的前項和為，且與的等差中項為.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差中項，構(gòu)造數(shù)列，等比數(shù)列的知識得出；（2）采用裂項相消法，注意分為奇數(shù)偶數(shù).【詳解】（1）因為與的等差中項為，所以，即.當時，，則.當時，，所以，所以，可變形為，所以，且也符合，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）方法一當為奇數(shù)時，.當為偶數(shù)時，.所以數(shù)列的前項和為.方法二..3．已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求；(2)記，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得是等差數(shù)列，即可求解，進而可得，（2）根據(jù)錯位相減法即可求解.【詳解】（1），，又.數(shù)列是公差為2，首項為的等差數(shù)列.,即.當時，，故.（2）時，時，.設(shè)的前n項和為，則，..（）當時，也符合，所以4．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，當時，是4的常數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)當時，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題目條件得到，故數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列，從而得到通項公式；（2）裂項相消得到，從而求和，得到不等式.【詳解】（1）當時，為等比數(shù)列，即是4的常數(shù)列，故，當時，，當時，，∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列，，，.（2），∴當時，數(shù)列的前項和為.5．在數(shù)列中，，是的前n項和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先應(yīng)用等差數(shù)列求，再應(yīng)用計算通項公式；（2）應(yīng)用錯位相減法求和即可．【詳解】（1）由已知得，，所以，①當時，，②，得，也符合該式，所以．（2）由（1）得，所以，③，④，得．故．6．已知數(shù)列的前項和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）先對進行化簡構(gòu)造出，并結(jié)合等比數(shù)列定義可求解；（2）根據(jù)（1）求出，然后構(gòu)造關(guān)于的方程組并利用錯位相減法可求解.【詳解】（1）證明：當時，，得：；當時，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當時，是等比數(shù)列，通項公式為：，當，也符合，故可證：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則得：，則：①②①-②得：，化簡得：.所以：數(shù)列的前項和：.7．已知首項為4的數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出與的關(guān)系，進一步變形得出等比數(shù)列；（2）利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，即，故，即，又，故數(shù)列是以-1為首項，-1為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，即．數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，故．8．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合探討數(shù)列的特征，再求出通項公式即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和，再借助單調(diào)性推理即得.【詳解】（1）依題意，當時，，解得，當時，，整理得，即有，兩式相減得，因此數(shù)列為等差數(shù)列，由，，得公差，所以數(shù)列的通項公式．（2）由（1）知，，因此，則，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，即有，而，所以．9．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求時，n的最小值．【答案】(1).(2)n的最小值為20.【分析】（1）利用求通項公式；（2）先寫出數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的前n項和公式求出，最后解不等式得出答案.【詳解】（1），當時，有，解得當時，有，因為，所以，化簡可得.數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.數(shù)列的通項公式為.（2），，即數(shù)列是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列.，解得或.n為正整數(shù)n的最小值為20.10．已知為數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：根據(jù)得到，從而得到，可得的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，得到答案；法二：變形得到，結(jié)合，得到，利用求出答案；（2）變形得到，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，求和，得到答案.【詳解】（1）法一:當時，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當時，，又當時，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項公式是．法二：因為，所以，同理可得，故，因為，所以，即，當時，，當時，適合上式，所以的通項公式是.（2）因為，故當時，①，當時，②，①、②兩式相減得：，因為，，所以，因為，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以，所以；當n為偶數(shù)時，,當n為奇數(shù)時，，綜上，.11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（且）．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用（）化簡題中條件，可得列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)（），即可求解；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）當時，，即，解得．因為（），所以（），又（，），，所以（），又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以．當時，，當時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．易錯點五：裂項求和留項出錯（數(shù)列求和）常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯提醒：用裂項相消法求和時，裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，一般來說前面剩余幾項后面也剩余幾項，若前面剩余的正數(shù)項，則后面剩余的是負數(shù)項。例．已知數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，證明：.【詳解】（1）因為，當時，，，，，當時，由得，兩式相減得，，，，所以有，從而，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，所以.（2）由，且，所以.變式1．記為數(shù)列的前n項和，滿足，.(1)求的通項公式；(2)證明：.【詳解】（1）因為，∴當時，，所以，整理得：，即，∴顯然對于也成立，∴的通項公式（2）∴由于，所以，故得證.變式2．已知首項為1的數(shù)列，其前項利為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，即，，當時，，當時，，滿足，綜上，的通項公式為．（2）由題