第三章 突破2 利用導數(shù)研究恒(能)成立問題

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用突破2利用導數(shù)研究恒(能)成立問題

x(0，2)2(2，＋∞)f

'(x)－0＋f(x)↘極小值↗所以

f

(

x

)的極小值為

f

(2)＝1＋ln2，無極大值.例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4(2)若對于任意的

x

∈[1，e2]，

f

(

x

)≤0恒成立，求實數(shù)

a

的取值范圍.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4方法技巧步驟：(1)利用不等式的性質，將參數(shù)分離出來，轉化為

f

(

x

)＞

a

或

f

(

x

)＜

a

的形式；(2)通過研究函數(shù)的性質求出

f

(

x

)的最值；(3)得出參數(shù)

a

的取值范圍.技巧：(1)

f

(

x

)＞

a

恒成立?

f

(

x

)min＞

a

；

f

(

x

)＜

a

恒成立?

f

(

x

)max＜

a

.(2)

f

(

x

)＞

a

有解?

f

(

x

)max＞

a

；

f

(

x

)＜

a

有解?

f

(

x

)min＜

a

.例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4訓練1

[2024遼寧省聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝ln(

x

＋1)－

ax

＋2.(1)若

a

＝2，求

f

(

x

)在

x

＝0處的切線方程；(2)當

x

≥0時，

f

(

x

)＋2

x

＋

x

ln(

x

＋1)≥0恒成立，求整數(shù)

a

的最大值.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4(2)若

f

(

x

)＜sin2

x

，求

a

的取值范圍.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4方法技巧對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看成常數(shù)，通過分析，變形，合理構造

函數(shù)(常用的有作差構造，同構化構造等)，轉化成求函數(shù)的最值問題.例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

[解析]

(1)當

a

＝1時，

f

(

x

)＝e

x

＋

x

2－

x

，

f

'(

x

)＝e

x

＋2

x

－1.易知

f

'(0)＝0，且

f

'(

x

)在R上單調遞增，故當

x

∈(－∞，0)時，

f

'(

x

)＜0；當

x

∈(0，＋∞)時，

f

'(

x

)＞0.所以

f

(

x

)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4命題點3

雙變量的恒(能)成立問題例3[2024廣東七校聯(lián)考]設

a

為實數(shù)，函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－3

x

2＋

a

，

g

(

x

)＝

x

lnx

.(1)求

f

(

x

)的極值；[解析]

(1)函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－3

x

2＋

a

的定義域為R，

f

'(

x

)＝3

x

2－6

x

＝3

x

(

x

－2)，令

f

'(

x

)＝0，可得

x

＝0或

x

＝2，當

x

變化時，

f

'(

x

)，

f

(

x

)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f

'(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗故函數(shù)

f

(

x

)的極大值為

f

(0)＝

a

，極小值為

f

(2)＝

a

－4.例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4方法技巧解決雙變量“存在性或任意性”問題的關鍵就是將含有全稱量詞或存在量詞的條件

“等價轉化”為兩個函數(shù)最值之間的關系(或兩個函數(shù)值域之間的關系).例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

(1)如果存在

x

1，

x

2∈[0，2]，使得

g

(

x

1)－

g

(

x

2)≥

M

成立，求滿足上述條件的最大

整數(shù)

M

；

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4xg'(x)－0＋g(x)↘極小值↗

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4x1(1，2)h'(x)＋0－h(huán)(x)↗極大值↘所以

a

≥

h

(

x

)max＝

h

(1)＝1，故實數(shù)

a

的取值范圍是[1，＋∞).例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

思維幫·提升思維快速解題

(－∞，

0]

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4訓練4

已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

(e

x

－1)－

ax

2(

a

∈R).(1)若

f

(x

)在

x

＝－1處有極值，求

a

的值；

(2)當x＞0時，f(x)≥0，求實數(shù)a的取值范圍.[解析](2)解法一當

x

＞0時，

f

(

x

)≥0，即

x

(e

x

－1)－

ax

2≥0，即e

x

－1－

ax

≥0，令φ(

x

)＝e

x

－1－

ax

(

x

＞0)，則φ(

x

)min≥0，φ'(

x

)＝e

x

－

a

.①當

a

≤1時，φ'(

x

)＞0，∴φ(

x

)在(0，＋∞)上單調遞增，∴φ(

x

)＞e0－1－0＝0，∴

a

≤1滿足條件.例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4②當

a

＞1時，若0＜

x

＜lna

，則φ'(

x

)＜0，若

x

＞lna

，則φ'(

x

)＞0.∴φ(

x

)在(0，lna

)上單調遞減，在(lna

，＋∞)上單調遞增，∴φ(

x

)min＝φ(lna

)＝

a

－1－

a

lna

≥0.令

g

(

a

)＝

a

－1－

a

lna

(

a

＞1)，則g'(

a

)＝1－(1＋lna

)＝－lna

＜0，∴

g

(

a

)在(1，

＋∞)上單調遞減.∴

g

(

a

)＜1－1－ln1＝0與

g

(

a

)≥0矛盾，故

a

＞1不滿足條件.綜上，實數(shù)

a

的取值范圍是(－∞，1].例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

例1訓練1例2訓練2例3訓練3例4訓練4

A123

123

123

1233.[命題點3]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

＋

a

lnx

(

a

∈R)，

g

(

x

)＝e

x

－1(e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若直線

y

＝0與函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的圖象相切，求

a

的值；(2)設

a

＞0，?

x

1，

x

2∈[3，＋∞)(

x

1≠

x

2)，都有｜

f

(

x

1)－

f

(

x

2)｜＜｜

g

(

x

1)－

g

(

x

2)｜，求實數(shù)

a

的取值范圍.

123

123

12341.[2024貴陽市模擬節(jié)選]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋(

a

－2)

x

＋

a

，

a

∈R.若

f

(

x

)－

x

3＋

x

2lnx

≥0，求

a

的取值范圍.

①當

a

≤0時，g'(

x

)＞0，

g

(

x

)單調遞增，

x

→0時，

g

(

x

)→－∞，不合題意；1234解法二令

g

(

x

)＝

f

(

x

)－

x

3＋

x

2lnx

＝

a

(

x

＋1)－2

x

＋

x

2lnx

，

令φ(

x

)＝

x

－1＋

x

lnx

，則φ'(

x

)＝lnx

＋2，當

x

∈(0，e－2)時，φ'(

x

)＜0，φ(

x

)單調遞減，當

x

∈(e－2，＋∞)時，φ'(

x

)＞0，φ(

x

)單調遞增，∴φ(

x

)min＝φ(e－2)＝－1－e－2.1234又φ(1)＝0，當

x

→0時，φ(

x

)→－1，當

x

→＋∞時，φ(

x

)→＋∞，∴φ(

x

)的大致圖象如圖所示.當

x

∈(0，1)時，h'(

x

)＞0，

h

(

x

)單調遞增，當

x

∈(1，＋∞)時，h'(

x

)＜0，

h

(

x

)單調遞減，∴

h

(

x

)max＝

h

(1)＝1，∴

a

≥1.1234

1234

1234①當

a

≤0時，函數(shù)

g

(

x

)在區(qū)間[0，1]上的最大值為

g

(0)＝0，不合題意.

12343.[2022新高考卷Ⅱ節(jié)選]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

e

ax

－e

x

.(1)當

a

＝1時，討論

f

(

x

)的單調性；[解析]

(1)當

a

＝1時，

f

(

x

)＝

x

e

x

－e

x

，

f

'(

x

)＝

x

e

x

，當

x

＞0時，

f

'(

x

)＝

x

e

x

＞0，函數(shù)

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調遞增；當

x

＜0時，

f

'(

x

)＝

x

e

x

＜0，函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，0)上單