4.2 指數(shù)函數(shù)（原卷版）

.2指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【【解題思路】1.判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法(1)底數(shù)的值是否符合要求．(2)ax前的系數(shù)是否為1.(3)指數(shù)是否符合要求．2.求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式?！纠?-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是（

）A． B．C． D．【例1-2】（23-24高一上·青海西寧·期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．且【例1-3】．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的解析式為（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多選）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是冪函數(shù)的是；是指數(shù)函數(shù)的是.3．（23-24高一上·上海·假期作業(yè)）在下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的有.①

②

③

④⑤

⑥

⑦4．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則．知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)【例2-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為．【例2-2】（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）直線和函數(shù)的圖象均恒過(guò)同一定點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式】1．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）若函數(shù)（且）經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是．2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)．3．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．4 B．1 C． D．4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，其中，，則的最小值為（）A． B．9 C． D．8知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【【解題思路】處理函數(shù)圖象問(wèn)題的思路(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．【例3-1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)（且）的圖象在第二、三、四象限內(nèi)，則（）A． B．且C．且 D．【例3-2】．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）若函數(shù)（且）的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則有（）A．且 B．且C．且 D．且【變式】1．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）在下圖中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是（

）A．B．C． D．2．（22-23高一上·廣東·階段練習(xí)）（多選）函數(shù)的圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·四川·期中）（多選）已知函數(shù)（且的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．B．C． D．重難點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義域和值域【【解題思路】1.函數(shù)y＝af(x)定義域的求法形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．2.函數(shù)y＝af(x)值域的求法①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過(guò)建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類(lèi)討論．【例4-1】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【例4-2】（2024廣西）函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C．3或 D．或【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式】1．（2023高一·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).2．（23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)（且）在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．3 D．3．（23-24高一上·全國(guó)·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或重難點(diǎn)二指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【【解題思路】指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的解題思路(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過(guò)考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．(2)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．【例5-1】（23-24高二下·湖南衡陽(yáng)·期中）的單調(diào)遞減區(qū)間為【例5-2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【變式】1．（23-24高一下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．2．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）計(jì)算：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.3．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．4．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．5．（23-24高一上·江西·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值為．重難點(diǎn)三比較大小【【解題思路】比較冪值大小的3種類(lèi)型及處理方法1.底數(shù)相同指數(shù)不同：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷2.底數(shù)不同指數(shù)相同：利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷3.底數(shù)不同指數(shù)不同：通過(guò)中間量比較【例6】（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）比較下列各組數(shù)的大小:(1)和；(2)和；(3)和；(4)和；(5)和；(6)和.【變式】1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·四川樂(lè)山·期中）在，，，這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．4．（2024高一上·湖南邵陽(yáng)）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)四簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的解法【【解題思路】簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的解法(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，若底數(shù)不確定，就需進(jìn)行分類(lèi)討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．【例7-1】（2024·江蘇宿遷）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【例7-2】（23-24貴州六盤(pán)水·期中）已知定義在上的奇函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，若恒成立，則t的取值范圍是．【變式】1．（2023春·遼寧）已知函數(shù)（且），若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2024陜西咸陽(yáng)）已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江鶴崗）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．重難點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用【例8】（23-24高一上·河北石家莊·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(2)在（1）的前提下，函數(shù)滿足，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【變式】1．（23-24高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)，．(1)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若關(guān)于x的不等式：在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)，．(1)若，求的最大值．(2)若時(shí)，圖象恒在圖象的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．單選題1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函數(shù)，則的值域是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙）已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．5．（2024北京）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A． B．C． D．6．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．7．（23-24江西鷹潭·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．多選題9．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習(xí)）函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，則的值可能是（

）A． B． C． D．210．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)是常數(shù)，且在區(qū)間上有最大值3，最小值，則的可能取值是（

）A． B．C． D．11（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．填空題12．（22-23高一下·青海西寧·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是.13．（24-25高一上·上?！卧獪y(cè)試）已知，，，則、、三者的大小關(guān)系是．14．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍是．解答題15．（23-24高二下·山東青島·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．（23-24高一上·廣東湛