1.1 集合的概念（解析版）

1.1集合的概念知識(shí)點(diǎn)一集合概念的理解【【解題思路】判斷一組對象是否能構(gòu)成集合的三個(gè)依據(jù)(1)確定性：判斷標(biāo)準(zhǔn)要明確統(tǒng)一(2)互異性：集合中的每個(gè)元素要互不相同(3)無序性：表示只要一個(gè)集合的元素確定，則這個(gè)集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān)．【例1】（23-24高一上·天津南開·期中）下列給出的對象能構(gòu)成集合的有（

）①某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生；②的所有近似值；③某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績較好的所有學(xué)生；④不等式的所有正整數(shù)解A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對于①：某校2023年入學(xué)的全體高一年級(jí)新生，對象確定，能構(gòu)成集合，故①正確；對于②：的所有近似值，根據(jù)精確度不一樣得到的近似值不一樣，對象不確定，故不能構(gòu)成集合，故②錯(cuò)誤；對于③：某個(gè)班級(jí)中學(xué)習(xí)成績較好是相對的，故這些學(xué)生對象不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯(cuò)誤；對于④：不等式的所有正整數(shù)解有、、，能構(gòu)成集合，故④正確；故選：B【變式】1．（23-24高一上·重慶·期中）下列敘述能組成集合的是（）A．接近0的數(shù) B．?dāng)?shù)學(xué)成績好的同學(xué)C．中國古代四大發(fā)明 D．跑得快的運(yùn)動(dòng)員【答案】C【解析】對于選項(xiàng)ABD：缺乏統(tǒng)一的判斷標(biāo)準(zhǔn)，均不滿足確定性，故ABD錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：中國古代四大發(fā)明是確定的，符合確定性，所以能構(gòu)成集合，故C正確.故選：C.2．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）下列對象能構(gòu)成集合的是（

）A．本班成績較好的同學(xué)全體 B．與10接近的實(shí)數(shù)全體C．絕對值小于5的整數(shù)全體 D．本班興趣廣泛的學(xué)生【答案】C【解析】對于A，成績較好不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故A不符合；對于B，與10接近的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故B不符合；對于C，絕對值小于5的整數(shù)全體是個(gè)明確的概念，并且給定一個(gè)元素能確定是否屬于這個(gè)整體，故能構(gòu)成集合，故C符合；對于D，興趣廣泛的不是一個(gè)確定的概念，不能構(gòu)成集合，故D不符合.故選：C.3．（2023高一上·江蘇·專題練習(xí)）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）A．參加杭州亞運(yùn)會(huì)的全體電競選手 B．小于的正整數(shù)C．2023年高考數(shù)學(xué)難題 D．所有無理數(shù)【答案】C【解析】對于A，參加杭州亞運(yùn)會(huì)的全體電競選手是確定的，可以構(gòu)成集合；對于B，小于的正整數(shù)是確定的，可以構(gòu)成集合；對于C，2023年高考數(shù)學(xué)難題，難題的標(biāo)準(zhǔn)是不確定的，不能構(gòu)成集合；對于D，所有無理數(shù)都是確定的，能構(gòu)成集合，故選：C知識(shí)點(diǎn)二集合與元素的關(guān)系【【解題思路】判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．【例2-1】（2024·河南駐馬店·一模）已知集合，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由方程，解得或，所以，所以，，.故選：A.【例2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)或時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A【變式】1．（2024北京）下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由元素與集合的關(guān)系，得：在①中，，故①正確；在②中，，故②正確；在③中，不正確，故③錯(cuò)誤；在④中，，故④錯(cuò)誤；在⑤中，，故⑤錯(cuò)誤；在⑥中，，故⑥正確.所以正確的個(gè)數(shù)為3.故選：D.2．（2024安徽亳州·期末）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】由于；；；，故①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤，故選：A．3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用符號(hào)“”或“”填空：（1）若，則-1A；（2）若，則3B；（3）若，則8C，9.1C.（4）；（5）；（6）2017.（7），，，．【答案】【解析】（1），故；（2），故；（3），故；（4），；（5）（6）因?yàn)?017不能被表示為的形式，所以；（7）知識(shí)點(diǎn)三集合的表示方法【【解題思路】1.用列舉法表示集合的3個(gè)步驟(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．(3)用花括號(hào)括起來．2.利用描述法表示集合的關(guān)注點(diǎn)(1)寫清楚該集合代表元素的符號(hào)．(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi)．(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．(4)在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實(shí)數(shù)集時(shí)可以省略不寫．【例3-1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)；(2)；(3)．(4)．(5)由＋（a，b∈R）所確定的實(shí)數(shù)組成的集合.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）大于1且小于6的整數(shù)組成的集合為；（2）（3）（4）（5）由題意，當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋；當(dāng)時(shí)，＋，【例3-2】（2024湖北）用描述法表示下列集合：(1)不等式的解組成的集合；(2)被除余的正整數(shù)的集合；(3)；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饨M成的集合為，則集合中的元素是數(shù).設(shè)代表元素為x，則x滿足，所以，即．（2）設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則．又因?yàn)樵貫檎麛?shù)，故．所以被3除余2的正整數(shù)的集合（3）設(shè)偶數(shù)為x，則．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即，故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合為．【變式】1．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于小于12.8的整數(shù)的全體；(3)所有能被3整除的數(shù)的集合；(4)方程的解集；(5)不等式的解集；(6)拋物線上的點(diǎn)組成的集合．(7)方程的解集；(8)；(9)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合；(10)不等式的解集．【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月．（2）．（3）（4）.（5）.（6）.(7)(8)(9)(10)知識(shí)點(diǎn)四集合相等【【解題思路】只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的，例如集合{a，b，c}與集合{c，a，b}是相等集合【例4-1】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】選項(xiàng)A：兩個(gè)集合中元素對應(yīng)的坐標(biāo)不同，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：集合中的元素具有無序性，兩個(gè)集合是同一集合，B正確；選項(xiàng)C：兩個(gè)集合研究的對象不同，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：是以0為元素的集合，是數(shù)字0，D錯(cuò)誤.故選：B【例4-2】（2024山東棗莊·階段練習(xí)）含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為.【答案】0【解析】因?yàn)?，且，所以，則有，所以，且，得，所以，故答案為：0【變式】1．（23-24高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）（多選）下列各組中表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A中，是數(shù)集，是點(diǎn)集，二者不是同一集合,故；選項(xiàng)B中，與表示不同的點(diǎn)，故；選項(xiàng)C中，，，故；選項(xiàng)D中，是二次函數(shù)的所有組成的集合，而集合是二次函數(shù)圖象上所有點(diǎn)組成的集合，故.故選：ABD.2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【解析】題意知集合，所以當(dāng)時(shí)，得，所以，故滿足；當(dāng)時(shí)，得，所以，故不滿足；當(dāng)時(shí)，無解，故不滿足；綜上，可得實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.重難點(diǎn)一集合的互異性【【解題思路】1.根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值2.根據(jù)集合中的元素的互異性對求得參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn).注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.【例5-1】（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）已知，則的取值為（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【答案】C【解析】由元素和集合關(guān)系可知：或或，解的或或，由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，所以的取值為或.故選：C.【例5-2】（23-24高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【解析】由，若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），，此時(shí)符合集合元素的特性；若，即，則不符合集合元素的互異性.故.故選：B.【例5-3】（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得且，解得．故選：A【例5-4】（2024廣東潮州）已知集合．(1)若A是沒有元素，求的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；(3)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；(3)【解析】（1）解：是空集，且，，解得，所以的取值范圍為：；（2）：①當(dāng)時(shí)，集合，②當(dāng)時(shí)，，，解得，此時(shí)集合，綜上所述，當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；（3）中至少有一個(gè)元素，則當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，或；當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則且，即，解得且；綜上可得，時(shí)中至少有一個(gè)元素，即.故由＋（a，b∈R）所確定的實(shí)數(shù)組成的集合為.【變式】1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【解析】因?yàn)榍?，所以或，①若，此時(shí)，不滿足元素的互異性；②若，解得或3，當(dāng)時(shí)不滿足元素的互異性，當(dāng)時(shí)，符合題意.綜上所述，.故選：B2．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.3．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，其中.若1是集合中的一個(gè)元素，則集合（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，集合中的方程為，解得或，，故選：C．4．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合.(1)若A是沒有元素，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫出來；(3)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)(2)的值為或，當(dāng)時(shí)，元素為，當(dāng)時(shí)，元素為(3)【解析】（1）A是空集，且，，解得，的取值范圍為：；（2）當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，，，解得，此時(shí)集合，綜上所求，的值為或，當(dāng)時(shí)，元素為，當(dāng)時(shí)，元素為；（3）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.單選題1．（23-24高一上·山西臨汾·階段練習(xí)）下列對象不能組成集合的是（

）A．不超過20的偶數(shù)B．π的近似值C．方程的實(shí)數(shù)根D．最小的正整數(shù)【答案】B【解析】對A，不超過20的偶數(shù)是確定的，可以組成集合；對B，π的近似值無法確切取到，不能組成集合；對C，方程的實(shí)數(shù)根是確定的，就是1，可以組成集合；對D，最小的正整數(shù)是確定的，是1，可以組成集合，故選：B2．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意.故選：D.3．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）給出四個(gè)結(jié)論：①是由4個(gè)元素組成的集合；②集合表示僅由一個(gè)“1”組成的集合；③與是兩個(gè)不同的集合；④集合大于3的無理數(shù)是一個(gè)有限集．其中正確的是（

）A．①④ B．②④ C．②③ D．②【答案】D【解析】對于①，集合不滿足集合元素的互異性，故①錯(cuò)誤；對于②，集合僅有1個(gè)元素，故②正確；對于③，集合與元素相同，是兩個(gè)相同的集合，故③錯(cuò)誤；對于④，集合大于3的無理數(shù)是無限集，故④錯(cuò)誤.故選：D.4．（23-24高一上·四川成都·期中）集合中實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．或B．且C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互異性可知，，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故選：D.5．（2023春·河北）下面四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是（

）.①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，則的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)時(shí)，，但，故②錯(cuò)誤；若，則a的最小值為1.又，則b的最小值為1，當(dāng)a和b都取最小值時(shí)，取最小值2，故③正確；由集合中元素的互異性知④錯(cuò)誤.故選：C6．（23-24高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知集合，若，則a的值可能為（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由題意若，解得或，若，解得，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，違背了集合中元素間的互異性，當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.7（2023-2024·江西）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】對于（1），由，得，一一對應(yīng)，則對于（2），由，得，一一對應(yīng)，則對于（3），由，得，一一對應(yīng)，則對于（4），，但方程無解，則與不相同故選：B8．（23-24高一下·安徽安慶·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)集滿足條件:若，則，則集合中所有元素的乘積為（

）A．1 B． C． D．與的取值有關(guān)【答案】A【解析】由題意，若，，，，，綜上，集合.所以集合A中所有元素的乘積為.故選：A.多選題9．（23-24高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知集合，，則a的值為（

）.A． B． C．1 D．【答案】BD【解析】，集合，得或或，解得或或，當(dāng)時(shí)，，，不符合集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，，滿足題意.故選：BD.10．（23-24高一上·山西臨汾·階段練習(xí)）若以集合A中的四個(gè)元素為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形不可能是（

）A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形【答案】BCD【解析】因?yàn)榧现械脑鼐哂谢ギ愋裕?，所以可以?gòu)成四邊都不相等的梯形，但是不可能構(gòu)成平行四邊形，菱形和矩形.故選：BCD11．（2023春·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）若對任意，，則稱為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，可知，，為“影子關(guān)系”集合，由，得或，當(dāng)時(shí)，，故不是“影子關(guān)系”集合．故選：ABD填空題12．（2024·新疆阿克蘇·期末）已知集合，若，則實(shí)數(shù).【答案】0【解析】若，則，而，不滿足集合元素的互異性；若，則，故，滿足題設(shè)，所以.故答案為：013．（2023·海南）已知集合各元素之和等于3，則實(shí)數(shù)___________.【答案】或【解析】由題意知：中元素，即為的解，∴或，可知：或∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴或，故答案為：或14．（22-23高一上·上海奉賢·期末）集合中恰好有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)滿足的條件是.【答案】或【解析】由方程，則或，當(dāng)存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，此時(shí)方程的解為，符合題意；當(dāng)存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中一個(gè)根為時(shí)，，解得，此時(shí)，則方程另一個(gè)解為，符合題意.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，集合中恰有兩個(gè)元素.故答案為：或.解答題15．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合；(2)所有奇數(shù)組成的集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點(diǎn)組成的集合；(4)；(5)不大于10的非負(fù)奇數(shù)集；(6)且；(7)且，；(8)；(9)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)組成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)【解析】（1）大于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合.（2）所有奇數(shù)組成的集合.（3）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上的點(diǎn)組成的集合.（4）.（5）解：由不大于10，即小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0，所以不大于10的非負(fù)奇數(shù)集，用列舉法可表示為.（6）解：由集合且，可得，解得且，當(dāng)時(shí)，可得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，可得，滿足題意，所以集合且可表示為.（7）解：由集合且，則滿足且且，所以，所以可表示為集合.（8）解：由方程且，解得，所以集合可表示為集合.（9）解：由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)到軸的距離為，到軸的距離為，所以與坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)組成的集合，可表示為集合.16．（2024江蘇·課后作業(yè)）已知集合中有三個(gè)元素：，，，集合中也有三個(gè)元素：0，1，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)的值為0或(2)的值為【解