2024年湖南省中考數學試題及答案

第1頁/共1頁2024年湖南省初中學業(yè)水平考試數學本試題卷共6頁．時量120分鐘．滿分120分．注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號寫在答題卡和本試題卷上，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號和相關信息：2．選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框，修改時用橡皮擦干凈，不留痕跡；3．非選擇題部分請按題號用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，否則作答無效：4．在草稿紙、試題卷上作答無效；5．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；6．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙．一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在日常生活中，若收入300元記作元，則支出180元應記作（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】此題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義，結合題意解答即可；【詳解】解：收入為“”，則支出為“”，那么支出180元記作元．故選：C．2.據《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內有效發(fā)明專利量達到401.5萬件，高價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內有效發(fā)明專利數量突破400萬件的國家，將用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，n可以用整數位數減去1來確定．用科學記數法表示數，一定要注意a的形式，以及指數n的確定方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正數；當原數的絕對值小于1時，n是負數．【詳解】解：用科學記數法表示為．故選：B．3.如圖，該紙杯的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接依據主視圖即從幾何體的正面觀察，進而得出答案．此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，正確把握觀察角度是解題的關鍵．【詳解】解：該紙杯的主視圖是選項A，故選：A．4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了合并同類項，同底數冪的乘除法，積的乘方，根據以上運算法則逐項分析即可．【詳解】解：A、，故該選項不正確，不符合題意；B、，故該選項正確，符合題意；C、，故該選項不正確，不符合題意；D、，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．5.計算的結果是（）A. B. C.14 D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關鍵．直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】解：，故選：D6.下列命題中，正確的是（）A.兩點之間，線段最短 B.菱形的對角線相等C.正五邊形的外角和為 D.直角三角形是軸對稱圖形【答案】A【解析】【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質，菱形性質及軸對稱圖形的特點，解題的關鍵是掌握這些基礎知識點．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，選項錯誤，是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假命題，不符合題意；故選：A．7.如圖，，為的兩條弦，連接，，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半是解題的關鍵．根據圓周角定理可知，即可得到答案．【詳解】根據題意，圓周角和圓心角同對著，，，．故選：C．8.某班的5名同學1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數據的中位數是（）A.130 B.158 C.160 D.192【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數，找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數．據此求解即可．【詳解】解：從小到大排序為130，141，158，179，192，最中間的數是158，∴中位數是158，故選：B．9.如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結論中，錯誤的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，由三角形中位線性質可判斷；由相似三角形的判定和性質可判斷，掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故選：．10.在平面直角坐標系中，對于點，若x，y均為整數，則稱點P為“整點”．特別地，當（其中）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點在第二象限，下列說法正確的是（）A. B.若點P為“整點”，則點P的個數為3個C.若點P為“超整點”，則點P的個數為1個 D.若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和大于10【答案】C【解析】【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，∴，故選項A錯誤；∵點為“整點”，，∴整數a為，，0，1，∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為，，，，∵，，，∴“超整點”P為，故選項C正確；∵點為“超整點”，∴點P坐標為，∴點P到兩坐標軸的距離之和，故選項D錯誤，故選：C．二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分．11.計算：________．【答案】2024【解析】【分析】本題考查了求一個數的相反數，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．根據相反數的定義，即可求解．【詳解】解：，故答案為：2024．12.有四枚材質、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解本題的關鍵．概率所求情況數與總情況數之比．根據概率公式計算即可．【詳解】解：∵共有4枚棋子，∴從中任意摸出一張，恰好翻到棋子“”的概率是．故答案為：13.分式方程=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．【詳解】解：方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關鍵．14.一個等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數是________度．【答案】【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形內角和，解答時根據等腰三角形兩底角相等，求出頂角度數即可．【詳解】解：因為其底角為40°，所以其頂角．故答案為：100．15.若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值為________．【答案】2【解析】【分析】本題考查根據一元二次方程根的情況求參數．一元二次方程有兩個不相等的實數根，則；有兩個相等的實數根，則；沒有實數根，則．據此即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：故答案為：216.在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關系，即（k為常數．），若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f為200赫茲，則k的值為________．【答案】180【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，把，代入求解即可．【詳解】解：把，代入，得，解得，故答案為：180．17.如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在，上分別截取線段，，使；分別以點E，F為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線，交于點M，過點M作于點N．若，，則________．【答案】6【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分，根據角平分線的性質可知，結合求出，．詳解】解：作圖可知平分，∵是邊上的高，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．18.如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為________分米（結果用含根號的式子表示）．【答案】##【解析】【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長交l于點H，連接，根據題意及解三角形確定，，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵．【詳解】解：延長交l于點H，連接，如圖所示：在中，，，即，解得：．故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19計算：．【答案】【解析】【分析】題目主要考查實數的混合運算，特殊角的三角函數、零次冪的運算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數、算術平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．【詳解】解：．20.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵．先計算乘法，再計算加法，然后把代入化簡后的結果，即可求解．【詳解】解：，當時，原式．21.某校為了解學生五月份參與家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生進行調查、家務勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學校德育處根據調查結果制作了如下兩幅不完整的統計圖：請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學生人數為人；（2）補全條形統計圖：（3）在扇形統計圖中，“4項及以上”部分所對應扇形的圓心角度數是；（4）若該校有學生1200人，請估計該校五月份參與家務勞動項目數量達到3項及以上的學生人數．【答案】（1）100（2）見解析（3）36（4）300人【解析】【分析】題目主要考查條形統計圖與扇形統計圖，樣本估計總體，求扇形統計圖圓心角等，理解題意，結合統計圖得出相關信息是解題關鍵．（1）根據參與1項家務勞動的人數及比例即可得出結果；（2）先求出參加3項家務勞動的學生人數，然后補全統計圖即可；（3）用360度乘以4項及以上所占的比例即可；（4）用總人數乘以參與家務勞動的項目數量達到3項及以上的比例即可．【小問1詳解】解：根據題意得：人，故答案為：100；【小問2詳解】，補全統計圖如下：【小問3詳解】，故答案為：36；【小問4詳解】人．22.如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求線段的長．【答案】（1）①或②，證明見解析；（2）6【解析】【分析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的判定和性質是解題關鍵．（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；（2）根據平行四邊形的性質得出，再由勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：選擇①，證明：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；選擇②，證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；【小問2詳解】解：由（1）得，∵，，∴．23.某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富，已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）設臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，根據“購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元”列方程組求解即可；（2）購買臍橙樹苗a棵，根據“總費用不超過38000元”列不等式求解即可．【小問1詳解】解：設臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為x元/棵，y元/棵，根據題意，得，解得，答：臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價分別為50元/棵，30元/棵；【小問2詳解】解：設購買臍橙樹苗a棵，則購買黃金貢柚樹苗棵，根據題意，得，解得，答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．24.某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形，其示意圖如下：測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作，并沿方向前進到點F，用皮尺測得的長為4米；③在點F處用測角儀測得，，；④用計算器計算得：，，．，，．請根據表格中提供的信息，解決下列問題（結果保留整數）：（1）求線段和的長度：（2）求底座的底面的面積．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】題目主要考查解三角形的應用，理解題意，結合圖形求解是解題關鍵．（1）根據題意得，即可確定長度，再由得出米，即可求解；（2）過點A作于點M，繼續(xù)利用正切函數確定米，即可求解面積．【小問1詳解】解：∵，的長為4米，，∴，∴米；∵，∴米，∴米；【小問2詳解】過點A作于點M，如圖所示：∵，∴，∵米，∴米，∴米，∴底座的底面的面積為：平方米．25.已知二次函數的圖像經過點，點，是此二次函數的圖像上的兩個動點．（1）求此二次函數的表達式；（2）如圖1，此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；（3）如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．【答案】（1）（2）為定值3，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）用待定系數法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．【小問1詳解】∵二次函數的圖像經過點，∴，∴，∴；【小問2詳解】當時，，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴，設，則，，∴，．∴，∴的值為定值；【小問3詳解】設，則，設直線的解析式為，∴，∴，∴，