5測量誤差的基本知識

建筑工程測量普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材郭玉珍制作周建鄭審核教育部高職高專規(guī)劃教材第五章測量誤差的基本知識第一節(jié)測量誤差及其分類第二節(jié)偶然誤差的特性第三節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第四節(jié)算術(shù)平均值及其觀測值的中誤差第五節(jié)誤差傳播定律測量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0 第一節(jié)測量誤差及其分類一、測量誤差產(chǎn)生的原因等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。1.儀器誤差2.人為誤差3.外界條件的影響觀測條件錯誤：因測錯、讀錯、算錯造成的錯誤。二、觀測類型1.直接觀測與間接觀測2.獨(dú)立觀測與相關(guān)觀測3.必要觀測與多余觀測4.等精度觀測與不等精度觀測二、測量誤差的分類

在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。

1.系統(tǒng)誤差—

誤差的大小、符號相同或按

一定的規(guī)律變化。

例：鋼尺—尺長、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—i角經(jīng)緯儀—c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量成果影響較大。

消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。

2、偶然誤差定義：在相同觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列的觀測，如果誤差的大小及符號都沒有表現(xiàn)出一致性的傾向，表面上看沒有任何規(guī)律。例瞄準(zhǔn)目標(biāo)的照準(zhǔn)誤差；讀數(shù)的估讀誤差等。偶然誤差是不可避免的。消減方法：采用多余觀測結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后觀測結(jié)果。誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測值，并重新進(jìn)行觀測。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)減少其影響。真誤差觀測值與理論值之差 第二節(jié)偶然誤差的特性③絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度;（有界性）②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）精度：又稱精密度，指在對某量進(jìn)行多次觀測中，各觀測值之間的離散程度。評定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差容許誤差相對誤差第三節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)一、中誤差

定義在相同條件下，對某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測，觀測值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯誤的界限。相對誤差K是中誤差的絕對值m

與相應(yīng)觀測值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:三、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。 第四節(jié)算術(shù)平均值及其觀測值的中誤差一、算術(shù)平均值觀測條件相同，對真值為X的某量觀測了n次，觀測值為l1,l2....ln,該量的算術(shù)平均值為：相應(yīng)的真誤差為Δ1,Δ2...Δn上式兩端相加，并除以n,得根據(jù)偶然誤差的抵消性，即可得出：x=X當(dāng)觀測次數(shù)趨于無限時，算術(shù)平均值趨近于該量的真值。通?？偸前延邢薮斡^測值的算術(shù)平均值稱為該量的最可靠值或最或然值

三、算術(shù)平均值中誤差的計算公式

根據(jù)算術(shù)平均值和線性函數(shù)，得出算術(shù)平均值中誤差的計算公式為:

由此可知，算術(shù)平均值的精度比觀測值的精度提高了倍。例如等精度觀測了某段距離五次，各次觀測值列于表中。試求該段距離的觀測值的中誤差及算術(shù)平均值的中誤差。觀測次數(shù)觀測值l(m)改正數(shù)v(mm)vv計算1148.641-141962148.628-113148.635-8644148.610+172895148.621+636Σ743.1350586算術(shù)平均值及其中誤差在的下對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，其觀測值分別為l１、l２、…、ln，觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，將等式兩邊取和并除以觀測次數(shù)n,得：

[Δ]/n＝[l]/n-X

式中［l］/n稱為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以x表示；當(dāng)觀測次數(shù)n無限增大時，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：x=X。

第五節(jié)誤差傳播定律

誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一、線性函數(shù)（一）倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)

Z=kx式中：x為獨(dú)立觀測值，

Z為觀測值x的函數(shù)。

x真誤差為△x，

Z產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差△z，

設(shè)x值觀測了n次，則

△Z=k△xn

上式兩端平方，求其總和，并除以n得：由中誤差的定義得：或結(jié)論：倍數(shù)函數(shù)的中誤差=倍數(shù)×觀測值中誤差倍數(shù)函數(shù)

例：在1：500的圖上，量得某兩點(diǎn)間的距離d=123.4mm，d的量測中誤差md=±0.2mm。試求實(shí)地兩點(diǎn)間的距離D及其中誤差mD。解：D=500×123.4mm=61.7m

mD=500×(0.2mm)=±0.1m

所以D=61.7m±0.1m （二）和差函數(shù)設(shè)有函數(shù)

Z=x±y式中：x和y均為獨(dú)立觀測值，Z為觀測值x和y的函數(shù)。x真誤差為△x，y真誤差為△yZ產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差△z，設(shè)x、y觀測了n次，則

△Z=△xn+△yn上式兩端平方，求其總和，并除以n得：根據(jù)偶然誤差的抵消性和中誤差定義，得結(jié)論：和差函數(shù)的中誤差=各個觀測值中誤差平方和的平方根和差函數(shù)例:分段丈量一直線上兩段距離AB、BC，丈量結(jié)果及其中誤差為：AB=180.15m±0.01m，

BC=200.18m±0.13m。試求全長AC及其中誤差。

解：AC=180.15m+200.18m=380.33m （三）一般線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)式中x1,x2,....xn為獨(dú)立觀測值；k1,k2...kn為常數(shù)，式中m1,m2,....,mn分別是x1,x2,....xn觀測值的中誤差設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測值；