5測(cè)量誤差的基本知識(shí)

建筑工程測(cè)量普通高等教育“十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材郭玉珍制作周建鄭審核教育部高職高專規(guī)劃教材第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第一節(jié)測(cè)量誤差及其分類(lèi)第二節(jié)偶然誤差的特性第三節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)第四節(jié)算術(shù)平均值及其觀測(cè)值的中誤差第五節(jié)誤差傳播定律測(cè)量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測(cè)量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如：1、對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。2、觀測(cè)值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準(zhǔn)∑h≠0 第一節(jié)測(cè)量誤差及其分類(lèi)一、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)。不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)。1.儀器誤差2.人為誤差3.外界條件的影響觀測(cè)條件錯(cuò)誤：因測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、算錯(cuò)造成的錯(cuò)誤。二、觀測(cè)類(lèi)型1.直接觀測(cè)與間接觀測(cè)2.獨(dú)立觀測(cè)與相關(guān)觀測(cè)3.必要觀測(cè)與多余觀測(cè)4.等精度觀測(cè)與不等精度觀測(cè)二、測(cè)量誤差的分類(lèi)

在相同的觀測(cè)條件下，無(wú)論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對(duì)值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負(fù)號(hào)保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。

1.系統(tǒng)誤差—

誤差的大小、符號(hào)相同或按

一定的規(guī)律變化。

例：鋼尺—尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正水準(zhǔn)儀—i角經(jīng)緯儀—c角、i角

注意：系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大。

消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測(cè)值加改正數(shù)；（3）采用一定的觀測(cè)方法加以抵消或削弱。

2、偶然誤差定義：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差的大小及符號(hào)都沒(méi)有表現(xiàn)出一致性的傾向，表面上看沒(méi)有任何規(guī)律。例瞄準(zhǔn)目標(biāo)的照準(zhǔn)誤差；讀數(shù)的估讀誤差等。偶然誤差是不可避免的。消減方法：采用多余觀測(cè)結(jié)果的算術(shù)平均值作為最后觀測(cè)結(jié)果。誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測(cè)值，并重新進(jìn)行觀測(cè)。2、系統(tǒng)誤差：按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測(cè)數(shù)據(jù)減少其影響。真誤差觀測(cè)值與理論值之差 第二節(jié)偶然誤差的特性③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度;（有界性）②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）精度：又稱精密度，指在對(duì)某量進(jìn)行多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)中誤差容許誤差相對(duì)誤差第三節(jié)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)一、中誤差

定義在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m

與相應(yīng)觀測(cè)值D

之比，通常以分母為1的分式來(lái)表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即:三、相對(duì)誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。 第四節(jié)算術(shù)平均值及其觀測(cè)值的中誤差一、算術(shù)平均值觀測(cè)條件相同，對(duì)真值為X的某量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為l1,l2....ln,該量的算術(shù)平均值為：相應(yīng)的真誤差為Δ1,Δ2...Δn上式兩端相加，并除以n,得根據(jù)偶然誤差的抵消性，即可得出：x=X當(dāng)觀測(cè)次數(shù)趨于無(wú)限時(shí)，算術(shù)平均值趨近于該量的真值。通?？偸前延邢薮斡^測(cè)值的算術(shù)平均值稱為該量的最可靠值或最或然值

三、算術(shù)平均值中誤差的計(jì)算公式

根據(jù)算術(shù)平均值和線性函數(shù)，得出算術(shù)平均值中誤差的計(jì)算公式為:

由此可知，算術(shù)平均值的精度比觀測(cè)值的精度提高了倍。例如等精度觀測(cè)了某段距離五次，各次觀測(cè)值列于表中。試求該段距離的觀測(cè)值的中誤差及算術(shù)平均值的中誤差。觀測(cè)次數(shù)觀測(cè)值l(m)改正數(shù)v(mm)vv計(jì)算1148.641-141962148.628-113148.635-8644148.610+172895148.621+636Σ743.1350586算術(shù)平均值及其中誤差在的下對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l１、l２、…、ln，觀測(cè)值的真值為X，則觀測(cè)值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，將等式兩邊取和并除以觀測(cè)次數(shù)n,得：

[Δ]/n＝[l]/n-X

式中［l］/n稱為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以x表示；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：x=X。

第五節(jié)誤差傳播定律

誤差傳播定律：闡述觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律。函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一、線性函數(shù)（一）倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)

Z=kx式中：x為獨(dú)立觀測(cè)值，

Z為觀測(cè)值x的函數(shù)。

x真誤差為△x，

Z產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差△z，

設(shè)x值觀測(cè)了n次，則

△Z=k△xn

上式兩端平方，求其總和，并除以n得：由中誤差的定義得：或結(jié)論：倍數(shù)函數(shù)的中誤差=倍數(shù)×觀測(cè)值中誤差倍數(shù)函數(shù)

例：在1：500的圖上，量得某兩點(diǎn)間的距離d=123.4mm，d的量測(cè)中誤差md=±0.2mm。試求實(shí)地兩點(diǎn)間的距離D及其中誤差mD。解：D=500×123.4mm=61.7m

mD=500×(0.2mm)=±0.1m

所以D=61.7m±0.1m （二）和差函數(shù)設(shè)有函數(shù)

Z=x±y式中：x和y均為獨(dú)立觀測(cè)值，Z為觀測(cè)值x和y的函數(shù)。x真誤差為△x，y真誤差為△yZ產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差△z，設(shè)x、y觀測(cè)了n次，則

△Z=△xn+△yn上式兩端平方，求其總和，并除以n得：根據(jù)偶然誤差的抵消性和中誤差定義，得結(jié)論：和差函數(shù)的中誤差=各個(gè)觀測(cè)值中誤差平方和的平方根和差函數(shù)例:分段丈量一直線上兩段距離AB、BC，丈量結(jié)果及其中誤差為：AB=180.15m±0.01m，

BC=200.18m±0.13m。試求全長(zhǎng)AC及其中誤差。

解：AC=180.15m+200.18m=380.33m （三）一般線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)式中x1,x2,....xn為獨(dú)立觀測(cè)值；k1,k2...kn為常數(shù)，式中m1,m2,....,mn分別是x1,x2,....xn觀測(cè)值的中誤差設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；