5測量誤差的基本知識

建筑工程測量普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材郭玉珍制作周建鄭審核教育部高職高專規(guī)劃教材第五章測量誤差的基本知識第一節(jié)測量誤差及其分類第二節(jié)偶然誤差的特性第三節(jié)衡量精度的標準第四節(jié)算術平均值及其觀測值的中誤差第五節(jié)誤差傳播定律測量實踐中可以發(fā)現，測量結果不可避免的存在誤差，比如：1、對同一量多次觀測，其觀測值不相同。2、觀測值之和不等于理論值： 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準∑h≠0 第一節(jié)測量誤差及其分類一、測量誤差產生的原因等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。1.儀器誤差2.人為誤差3.外界條件的影響觀測條件錯誤：因測錯、讀錯、算錯造成的錯誤。二、觀測類型1.直接觀測與間接觀測2.獨立觀測與相關觀測3.必要觀測與多余觀測4.等精度觀測與不等精度觀測二、測量誤差的分類

在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數而積累。

1.系統誤差—

誤差的大小、符號相同或按

一定的規(guī)律變化。

例：鋼尺—尺長、溫度、傾斜改正水準儀—i角經緯儀—c角、i角

注意：系統誤差具有累積性，對測量成果影響較大。

消除和削弱的方法:

（1）校正儀器；（2）觀測值加改正數；（3）采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。

2、偶然誤差定義：在相同觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如果誤差的大小及符號都沒有表現出一致性的傾向，表面上看沒有任何規(guī)律。例瞄準目標的照準誤差；讀數的估讀誤差等。偶然誤差是不可避免的。消減方法：采用多余觀測結果的算術平均值作為最后觀測結果。誤差處理的原則：1、粗差：舍棄含有粗差的觀測值，并重新進行觀測。2、系統誤差：按其產生的原因和規(guī)律加以改正、抵消和削弱。3、偶然誤差：根據誤差特性合理的處理觀測數據減少其影響。真誤差觀測值與理論值之差 第二節(jié)偶然誤差的特性③絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等，可相互抵消；④同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數的增加而趨近于零，即：

①在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度;（有界性）②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會要多；（密集性、區(qū)間性）（抵償性）精度：又稱精密度，指在對某量進行多次觀測中，各觀測值之間的離散程度。評定精度的標準中誤差容許誤差相對誤差第三節(jié)衡量精度的標準一、中誤差

定義在相同條件下，對某量（真值為X）進行n次獨立觀測，觀測值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差m的定義為：式中

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯誤的界限。相對誤差K是中誤差的絕對值m

與相應觀測值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:三、相對誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。 第四節(jié)算術平均值及其觀測值的中誤差一、算術平均值觀測條件相同，對真值為X的某量觀測了n次，觀測值為l1,l2....ln,該量的算術平均值為：相應的真誤差為Δ1,Δ2...Δn上式兩端相加，并除以n,得根據偶然誤差的抵消性，即可得出：x=X當觀測次數趨于無限時，算術平均值趨近于該量的真值。通常總是把有限次觀測值的算術平均值稱為該量的最可靠值或最或然值

三、算術平均值中誤差的計算公式

根據算術平均值和線性函數，得出算術平均值中誤差的計算公式為:

由此可知，算術平均值的精度比觀測值的精度提高了倍。例如等精度觀測了某段距離五次，各次觀測值列于表中。試求該段距離的觀測值的中誤差及算術平均值的中誤差。觀測次數觀測值l(m)改正數v(mm)vv計算1148.641-141962148.628-113148.635-8644148.610+172895148.621+636Σ743.1350586算術平均值及其中誤差在的下對某未知量進行了一組等精度觀測，其觀測值分別為l１、l２、…、ln，觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，將等式兩邊取和并除以觀測次數n,得：

[Δ]/n＝[l]/n-X

式中［l］/n稱為算術平均值，習慣上以x表示；當觀測次數n無限增大時，根據偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：x=X。

第五節(jié)誤差傳播定律

誤差傳播定律：闡述觀測值的中誤差與觀測值函數中誤差的關系的定律。函數形式倍數函數和差函數線性函數一般函數一、線性函數（一）倍數函數設有函數

Z=kx式中：x為獨立觀測值，

Z為觀測值x的函數。

x真誤差為△x，

Z產生相應的真誤差△z，

設x值觀測了n次，則

△Z=k△xn

上式兩端平方，求其總和，并除以n得：由中誤差的定義得：或結論：倍數函數的中誤差=倍數×觀測值中誤差倍數函數

例：在1：500的圖上，量得某兩點間的距離d=123.4mm，d的量測中誤差md=±0.2mm。試求實地兩點間的距離D及其中誤差mD。解：D=500×123.4mm=61.7m

mD=500×(0.2mm)=±0.1m

所以D=61.7m±0.1m （二）和差函數設有函數

Z=x±y式中：x和y均為獨立觀測值，Z為觀測值x和y的函數。x真誤差為△x，y真誤差為△yZ產生相應的真誤差△z，設x、y觀測了n次，則

△Z=△xn+△yn上式兩端平方，求其總和，并除以n得：根據偶然誤差的抵消性和中誤差定義，得結論：和差函數的中誤差=各個觀測值中誤差平方和的平方根和差函數例:分段丈量一直線上兩段距離AB、BC，丈量結果及其中誤差為：AB=180.15m±0.01m，

BC=200.18m±0.13m。試求全長AC及其中誤差。

解：AC=180.15m+200.18m=380.33m （三）一般線性函數設有線性函數式中x1,x2,....xn為獨立觀測值；k1,k2...kn為常數，式中m1,m2,....,mn分別是x1,x2,....xn觀測值的中誤差設非線性函數的一般式為：式中：為獨立觀測值；