8.2.1兩角和與差的余弦課件高一數(shù)學人教B版

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換兩角和與差的余弦人教B版

數(shù)學

必修第三冊課程標準1.了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程,掌握用向量證明問題的方法,進一步體會向量法的作用.2.能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式,并能用兩角和與差的余弦公式解決相關的求值、化簡和證明等問題.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點兩角和與差的余弦公式名稱公式簡記兩角和的余弦公式cos(α+β)=

Cα+β兩角差的余弦公式cos(α-β)=

Cα-βcosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβ名師點睛兩角和與差的余弦公式的常見變形應用公式記憶口訣:“余余正正,符號相反”.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(2)cos(α+β)=cosα+cosβ.(

)(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ對任意角α,β都成立.(

)××√√2.cos15°=

.

3.[人教A版教材例題]利用公式Cα-β證明:(1)cos(-α)=sinα;(2)cos(π-α)=-cosα.(2)cos(π-α)=cos

πcos

α+sin

πsin

α=(-1)×cos

α+0=-cos

α.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一兩角和與差的余弦公式的簡單應用【例1】

(1)cos615°的值為(

)分析

先把615°轉化為兩個特殊角的差,再進一步轉化利用兩角和的余弦公式求解.D解析

cos

615°=cos(720°-105°)=cos

105°=cos(45°+60°)=.(2)計算sin7°cos23°+sin83°cos67°的值為(

)分析

先利用誘導公式對角進行轉化,再逆用兩角差的余弦公式求解.B解析

sin

7°cos

23°+sin

83°cos

67°=cos

83°cos

23°+sin

83°sin

23°=cos(83°-23°)=cos

60°=.分析

注意sin2α+cos2α=1的應用.變式探究1求2cos15°sin15°的值.規(guī)律方法

利用兩角和與差的余弦公式解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路(1)先把非特殊角轉化為特殊角的和或差,再用公式直接求值.(2)充分利用誘導公式,構造兩角和與差的余弦公式的結構形式,然后逆用公式求值.變式訓練1(1)cos60°cos30°-sin60°·sin30°=(

)A解析

cos

60°cos

30°-sin

60°·sin

30°=cos(60°+30°)=cos

90°=0.故選A.(2)cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=(

)A.sin(2α-β) B.cos(2α-β)C.cosβ

D.-cosβC解析

cos(α-β)cos

α+sin(α-β)sin

α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos

β.故選C.探究點二給值求值問題規(guī)律方法

給值求值問題的兩個主要技巧一個是已知角的某一三角函數(shù)值,求該角的另一三角函數(shù)值時,應注意角的終邊所在的象限,從而確定三角函數(shù)值的正負.二是注意變角,“變角”的技巧在三角函數(shù)求值以及證明中經(jīng)常用到,因為合理“變角”后可充分利用已知條件中的三角函數(shù)值來計算或證明.常見的角的變換方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)=

[(α+β)+(α-β)]=

[(α+β)-(β-α)],2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),α+2β=(α+β)+β等.變換的方式很多,需要自己慢慢地體會和探索.cos

2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.探究點三給值求角問題分析利用兩角和的余弦公式求α+β的余弦值,并結合角α+β的范圍進行求解.規(guī)律方法

解決給值求角問題的策略求角時,先根據(jù)已知條件求出角的余弦值,然后根據(jù)已知條件求出角的范圍,從而確定角的大小.B成果驗收·課堂達標檢測A級必備知識基礎練1234567891011121314151617181.[探究點一]cos70°cos335°+sin110°sin25°的值為(

)B解析

原式=cos

70°cos

25°+sin

70°sin

25°=cos(70°-25°)=cos

45°123456789101112131415161718A123456789101112131415161718C1234567891011121314151617184.[探究點一]已知△ABC的三個內角分別為A,B,C,若a=(cosA,sinA),b=(cosB,sinB),且a·b=1,則△ABC一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形B解析

因為a·b=cos

Acos

B+sin

Asin

B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的內角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.故選B.123456789101112131415161718AC1234567891011121314151617181234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究點一]已知sin(α-45°)=,0°<α<90°,則cosα=

.

123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關鍵能力提升練A123456789101112131415161718A123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171