考研數(shù)學(xué)二分類模擬254

考研數(shù)學(xué)二分類模擬254解答題1.

計算行列式．正確答案：解：

提示1直接按第1行(列)展開降階計算．

提示2先第2，4列互換，再第2，4行互換，最后利用拉普拉斯展開式

D4=a1a2a3a4+b1b2b3b4-a1b2b3b4-b1a2a3b4[考點]行列式

2.

改變二次積分的順序．正確答案：解：如圖所示，積分區(qū)域D為D1與D2的并．

而

所以

[考點]二重積分

3.

求與

等價的正交單位向量組．正確答案：解：顯然α1，α2，α3線性無關(guān)，利用施密特正交化法，令β1=α1，有

令，i=1，2，3，得

則η1，η2，η3就是與α1，α2，α3等價的正交單位向量組．[考點]特征值、特征向量及二次型

4.

設(shè)fij(t)是可微函數(shù)，1≤i，j≤n，令

證明

正確答案：證明：

[考點]行列式

5.

計算n階行列式

正確答案：解：Dn中的每行元素之和均為a+(n-1)b，而且各行元素依次循環(huán)，將第2，3，…，n列加到第1列，則可提出公因子，再利用行列式的性質(zhì)可得Dn=[a+(n-1)b](a-b)n-1．[考點]行列式

6.

．正確答案：解1：換元法．

設(shè)，則．代入得

解2：有理化．

[考點]一元函數(shù)微積分

7.

已知f(x)≥0且在[a，b]上連續(xù)，，k為實數(shù)，證明

正確答案：證1：對應(yīng)用施瓦茲不等式，有

同理

兩式相加即得結(jié)論．

證2：

其中D為正方形區(qū)域{(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}．[考點]一元函數(shù)微積分

8.

設(shè)A，B是任意n階矩陣，證明

r(E-AB)=r(E-BA)正確答案：證明：因為

目．

而均可逆，所以

故

r(E-AB)=r(E-BA)[考點]矩陣、向量、方程組

9.

求曲線的漸近線．正確答案：解：由于

所以y=0是曲線的水平漸近線；又

所以x=0是曲線的垂直漸近線；而

所以y=x是曲線的斜漸近線．[考點]定積分的應(yīng)用

10.

證明：如果A是n階正定矩陣，B是n階半正定矩陣，那么A+B是正定矩陣．正確答案：證明：任取n維列向量α≠0，有

αT(A+B)α=αTAα+αTBα＞0

因此A+B是正定矩陣．[考點]特征值、特征向量及二次型

11.

若，求a，b．正確答案：解：由

可得，從而．又

由已知1-b=5，即b=-4．[考點]函數(shù)、極限

12.

設(shè)，求．正確答案：解：由于

y'(t)=-t4lnt2(2t)=-2t5lnt2，x'(t)=t2lnt2(2t)=2t3lnt2

因此

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

13.

設(shè)0＜x＜y＜1，證明：．正確答案：證明：等價于證明．

為此，令．由于y＞x，故只需證f(t)單調(diào)遞增．

再令g(t)=tlnt-(t-1)，則g'(t)=lnt，令g'(t)=0，解得t=1，再由g"(1)=1＞0知，點t=1為g(t)的唯一的極小值點，故t≠0時，g(t)=tlnt-(t-1)＞g(1)=0，所以f'(t)＞0，由此得f(t)單調(diào)遞增．證畢．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

14.

設(shè)三階矩陣A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三維列向量，且|A|=3，|B|=4．|5A-2B|=______．正確答案：63[考點]行列式

15.

求的反函數(shù)．正確答案：解：當(dāng)x＞0時，由于y=1+x2單調(diào)遞增，因此其反函數(shù)存在，解出，y＞1；

當(dāng)x=0時，y=0；

當(dāng)x＜0時，y=-1-x2單調(diào)遞減，其反函數(shù)亦存在，，y＜-1．

綜上可得

即

[考點]函數(shù)、極限

16.

求的間斷點，并分類．正確答案：解：x=-1，x=0，x=1，x=2為f(x)的間斷點．

由，得x=-1為第二類間斷點；

由，得x=0為可去間斷點；

由，得x=1為第二類間斷點；

由，得x=2為第二類間斷點．[考點]函數(shù)、極限

17.

求由x2+(y-b)2=a2(0＜a≤b)所圍成的封閉圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：解：．所求體積為

[考點]定積分的應(yīng)用

求下列函數(shù)的定義域：18.

；正確答案：解：由x≠0，，得x≠0，-1，．故f(x)的定義域為．[考點]函數(shù)、極限

19.

正確答案：解：注意到指數(shù)函數(shù)ex為單調(diào)遞增函數(shù)，故解得，即g(x)的定義域為．[考點]函數(shù)、極限

20.

．正確答案：解:當(dāng)|a|=|b|≠0時，有

當(dāng)|a|≠|(zhì)b|時，有

[考點]一元函數(shù)微積分

21.

設(shè)α1，α2，…，αn為n個線性無關(guān)的n維向量，且與向量β正交．證明：向量β為零向量．正確答案：證1：反證法．不妨設(shè)β≠0，令k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，等式兩邊左乘βT得

k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0

由于α1，α2，…，αn與β正交，所以βTαi=0，i=1，2，…，n，從而k0βTβ=0，又因β≠0，所以βTβ＞0，進(jìn)而推得k0=0．

于是k1α1+k2α2+…+knαn=0，再由α1，α2，…，αn線性無關(guān)，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，α0，β線性無關(guān)，矛盾(因為當(dāng)向量的個數(shù)