考研數(shù)學(xué)二分類模擬題38

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題38一、填空題1.

設(shè)A是三階矩陣，其三個(gè)特征值為，則|4A*+3E|=______．正確答案：10[解析]，A*的特征值為，4A*+3E的特征值為5，1，2，于是|4A*+3E|=10．

2.

設(shè)A為n階可逆矩陣，若A有特征值λ0，則(A*)2+3A*+2E有特征值______．正確答案：[解析]因?yàn)锳可逆，所以λ0≠0，A*對(duì)應(yīng)的特征值為，于是(A*)2+3A*+2E對(duì)應(yīng)的特征值為

3.

設(shè)A為三階矩陣，A的各行元素之和為4，則A有特征值______，對(duì)應(yīng)的特征向量為______．正確答案：4

[解析]因?yàn)锳的各行元素之和為4，所以，于是A有特征值4，對(duì)應(yīng)的特征向量為

4.

設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，且為A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則a=______．正確答案：3[解析]因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以有6+3a+3-6a=0，a=3．

5.

設(shè)A～B，其中，則x=______，y=______．正確答案：3

1[解析]因?yàn)锳～B，所以即解得x=3，y=1．

6.

設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值為λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，則λ2=λ3=5對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為______．正確答案：[解析]因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，令λ2=λ3=5對(duì)應(yīng)的特征向量為，由得λ2=λ3=5對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為

7.

設(shè)α，β為三維非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，則A的特征值為______。正確答案：0

3[解析]因?yàn)锳2=3A，令A(yù)X=λX，因?yàn)锳2X=λ2X，所以有(λ2-3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值為0或者3，因?yàn)棣?+λ2+λ3=trA=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．

8.

設(shè)是矩陣的特征向量，則a=______，b=______．正確答案：2

3[解析]由Aα=λα得，即解得λ=5，a=2，b=3．

二、選擇題1.

設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是______．A.A，B都不可逆的充分必要條件是AB不可逆B.r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要條件是r(AB)＜nC.AX=0與BX=0同解的充分必要條件是r(A)=r(B)D.A～B的充分必要條件是λE-A～λE-B正確答案：D[解析]若A～B，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE-A)P=λE-P-1AP=λE-B，即λE-A～λE-B；

反之，若λE-A～λE-B，即存在可逆矩陣P，使得P-1(λE-A)P=λE-B，整理得λE-P-1AP=λE-B，即P-1AP=B，即A～B，應(yīng)選D．

2.

設(shè)A為n階可逆矩陣，λ為A的特征值，則A*的一個(gè)特征值為______．

A．

B．

C．λ|A|

D．λ|A|n-1正確答案：B[解析]因?yàn)锳可逆，所以λ≠0，令A(yù)X=λX，則A*AX=λA*X，從而有，選B．

3.

設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=0，λ3=1，則下列結(jié)論不正確的是______．A.矩陣A不可逆B.矩陣A的跡為零C.特征值-1，1對(duì)應(yīng)的特征向量正交D.方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量正確答案：C[解析]由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得|A|=0，則r(A)＜3，即A不可逆，A正確；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以B正確；因?yàn)锳的三個(gè)特征值都為單值，所以A的非零特征值的個(gè)數(shù)與矩陣A的秩相等，即r(A)=2，從而AX=0的基礎(chǔ)解系僅含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量，D是正確的；C不對(duì)，因?yàn)橹挥袑?shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，一般矩陣不一定有此性質(zhì)，選C．

4.

設(shè)A為三階矩陣，方程組AX=0的基礎(chǔ)解系為α1，α2，又λ=-2為A的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α3，下列向量中是A的特征向量的是______．A.α1+α3B.3α3-α1C.α1+2α2+3α3D.2α1-3α2正確答案：D[解析]因?yàn)锳X=0有非零解，所以r(A)＜n，故0為矩陣A的特征值，α1，α2為特征值0所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，顯然特征值0為二重特征值，若α1+α3為屬于特征值λ0的特征向量，則有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=0α1-2α3=-2α3，故-2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，

因?yàn)棣?，α3線性無關(guān)，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可證3α3-α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，顯然2α1-3α2為特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量，選D．

5.

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是______．A.矩陣A與單位矩陣E合同B.矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)C.存在可逆矩陣P，使PAP-1為對(duì)角陣D.存在正交陣Q，使QTAQ為對(duì)角陣正確答案：A[解析]根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，顯然B、C、D都是正確的，但實(shí)對(duì)稱矩陣不一定是正定矩陣，所以A不一定與單位矩陣合同，選A．

6.

設(shè)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似，則______．A.A的n個(gè)特征值都是單值B.A是可逆矩陣C.A存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量D.A一定為n階實(shí)對(duì)稱矩陣正確答案：C[解析]矩陣A與對(duì)角陣相似的充分必要條件是其有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A有n個(gè)單特征值只是其可對(duì)角化的充分而非必要條件，同樣A是實(shí)對(duì)稱陣也是其可對(duì)角化的充分而非必要條件，A可逆既非其可對(duì)角化的充分條件，也非其可對(duì)角化的必要條件，選C．

7.

α，β為四維非零列向量，且α⊥β，令A(yù)=αβT，則A的線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)為______A.1B.2C.3D.4正確答案：C[解析]因?yàn)棣粒聻榉橇阆蛄?，所以A=αβT≠O，則r(A)≥1，

又因?yàn)閞(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．

令A(yù)X=λX，由A2X=αβT·αβTX=O=λ2X得λ=0，

因?yàn)閞(0E-A)=r(A)=1，所以A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為3，應(yīng)選C．

8.

設(shè)A，B為正定矩陣，C是可逆矩陣，下列矩陣不是正定矩陣的是______．A.CTACB.A-1+B-1C.A*+B*D.A-B正確答案：D[解析]顯然四個(gè)選項(xiàng)中的矩陣都是實(shí)對(duì)稱陣，因?yàn)锳，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，對(duì)任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因?yàn)镃可逆，所以當(dāng)X≠0時(shí)，CX≠0)，于是CTAC為正定矩陣，同樣用定義法可證A-1+B-1與A*+B*都是正定矩陣，選D．

三、解答題1.

求矩陣的特征值與特征向量．正確答案：[解]由|λE-A|=(λ-1)2(λ-4)=0得λ1=λ2=1，λ3=4．

當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)X=0得屬于特征值λ=1的線性無關(guān)的特征向量為，全部特征向量為k1α1+k2α2(k1，k2不同時(shí)為0)；

當(dāng)λ=4時(shí)，由(4E-A)X=0得屬于特征值λ=4的線性無關(guān)的特征向量為全部特征向量為kα3(k≠0)．

設(shè)為A的特征向量．2.

求a，b及A的所有特征值與特征向量．正確答案：[解]由Aα=λα得，即，解得a=1，b=1，λ=3．

由

得λ1=0，λ2=2，λ3=3．

3.

A可否對(duì)角化?若可對(duì)角化，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．正確答案：[解]因?yàn)锳的特征值都是單值，所以A可相似對(duì)角化．

將λ1=0代入(λE-A)X=0得λ1=0對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為

將λ2=2代入(λE-A)X=0得λ2=2對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為

將λ3=3代入(λE-A)X=0得λ3=3對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為

令，則

4.

設(shè)，求A的特征值，并證明A不可以對(duì)角化．正確答案：[解]由得λ=2(三重)，

因?yàn)閞(2E-A)=1，所以λ=2只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可以對(duì)角化．

5.

設(shè)，B～A*，求B+2E的特征值．正確答案：[解]

由

得λ1=7，λ2=λ3=1，A*對(duì)應(yīng)的特征值為

即μ1=1，μ2=μ3=7．

因?yàn)锽～A*，所以B的特征值也為μ1=1，μ2=μ3=7，從而B+2E的特征值為3，9，9．

6.

設(shè)ATA=E，證明：A的實(shí)特征值的絕對(duì)值為1．正確答案：[證明]設(shè)AX=λX，則XTAT=λXT，從而有XTATAX=λXTAX=λ2XTX，因?yàn)锳TA=E，所以(λ2-1)XTX=0，而XTX=|X|2≠0，所以λ2=1，于是|λ|=1．

設(shè)λ0為A的特征值．7.

證明：AT與A特征值相等正確答案：[證明]因?yàn)閨λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|，所以AT與A的特征值相等．

8.

求A2，A2+2A+3E的特征值；正確答案：[解]因?yàn)锳α=λ0α(α≠0)，

所以

于是A2，A2+2A+3E的特征值分別為

9.

若|A|≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．正確答案：[解]因?yàn)閨A|+λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得

由A*Aα=|A|α得，又

于是A-1，A*，E-A-1的特征值分別為及

10.

設(shè)X1，X2分別為A的屬于不同特征值λ1，λ2的特征向量．證明：X1+X2不是A的特征向量。正確答案：[證明]反證法

不妨設(shè)X1+X2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有A(X1+X2)=λ(X1+X2)，

因?yàn)锳X1=λ1X1，AX2=λ2X2，所以(λ1-λ)X1+(λ2-λ)X2=0，

而X1，X2線性無關(guān)，于是λ1=λ2=λ，矛盾，故X1+X2不是A的特征向量．

11.

求A的全部特征值，并證明A可以對(duì)角化．正確答案：[解]令αTβ=k，則A2=kA，

設(shè)AX=λX，則A2X=λ2X=kλX，即λ(λ-k)X=0，

因?yàn)閄≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k．

由λ1+…+λn=trA且trA=k得λ1=…=λn-1=0，λn=k．

因?yàn)閞(A)=1，所以方程組(0E-A)X=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無關(guān)的解向量，即λ=0有，n-1個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可以對(duì)角化．

設(shè)向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．12.

求方程組AX=0的通解．正確答案：[解]因?yàn)閞(A)=1，所以AX=0的基礎(chǔ)解系含有n-1個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其基礎(chǔ)解系為

則方程組AX=0的通解為k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))．

13.

求A的非零特征值及其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量．正確答案：因?yàn)锳2=kA，其中是，所以A的非零特征