考研數(shù)學(xué)二模擬400

考研數(shù)學(xué)二模擬400一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設(shè)f(x)=|x|，g(x)=x2-x，則等式f[g(x)]=g[f(x)]成立時，x的變化范圍______（江南博哥）A.(-∞，1]∪{0}．B.(-∞，0]．C.[0，+∞)．D.[1，+∞)∪{0}．正確答案：D[解析]f[g(x)]=|g(x)|=|x2-x|，g[f(x)]=f2(x)-f(x)=|x|2-|x|=x2-|x|．

由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x2-x|=x2-|x|．

①當(dāng)x2≥x，即x≤0或者x≥1時，有x2-x=x2-|x|，即x=|x|，解得x≥0．

綜合得x≥1．

②當(dāng)x2≤x，即1≥x≥0時，x-x2=x2-x，即2x=2x2，解得x=1或x=0．

綜上所述，當(dāng)x≥1或x=0時，f[g(x)]=g[f(x)]．

2.

設(shè)z=h(x，y)由方程exyz=x+y+z確定，則h(x，y)在點P0(0，1)的兩個偏導(dǎo)數(shù)______A.分別等于0和-1．B.分別等于-1和0．C.都等于0．D.都等于-1．正確答案：D[解析]將x=0，y=1代入方程exyz=x+y+z，得e0=1+z0z0=0．

方程兩邊對x取偏導(dǎo)數(shù)，得exyz(yz+xyzx)=1+zx．

將p(0，1，0)代入上式，得

同理可得

3.

設(shè)非負(fù)可微函數(shù)f(x)滿足條件f'(x)≤0，收斂，則______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由于f'(x)≤0，所以f(x)為單調(diào)下降函數(shù)．

由于收斂，則

又

故

由夾逼定理可知

又當(dāng)x≥1時，0≤f(x)≤xf(x)，從而有

4.

若F(x)是區(qū)間[-1，1]上f(x)的一個原函數(shù)，則在[-1，1]上f(x)______A.有界．B.無第一類間斷點．C.可積．D.連續(xù)．正確答案：B[解析]F(x)是區(qū)間[-1，1]上f(x)的一個原函數(shù)對x∈[-1，1]，f(x)=F'(x)．

B正確，在[-1，1]上f(x)一定無第一類間斷點，利用微分中值定理，通過反證法證明．

研究函數(shù)

F(x)有在(-∞，+∞)上連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)存在，且f(0)=0．但導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=0點不連續(xù)，而且當(dāng)x→0時，f(x)無界，不可積．因而A、C、D錯誤．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)單調(diào)，且f'(0)≠0．若則______A.f(0)+f'(0)=-1．B.f(0)+f'(0)=1．C.f(0)+f'(0)=0．D.f(0)+f'(0)=2．正確答案：B[解析]思路一：即

f[f(0)]=f(0)．

因為f(x)單調(diào)，則f(x)在x=0點某鄰域內(nèi)存在反函數(shù)f-1．

由此可得f(0)=f-1[f(0)]=0．

依題意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．

思路二：

假設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，則

依題意有f(0)=0，f'(0)=1，f(0)+f'(0)=1．

6.

設(shè)y=y(x)是初值問題的解，則______

A．x=1是y(x)的極大點，且極限

B．x=1是y(x)的極大點，且極限

C．x=1是y(x)的極小點，且極限

D．x=1是否為y(x)的極值點與參數(shù)a有關(guān)，且極限正確答案：C[解析]因為y(x)是方程的解．

由y'(1)=0，知x=1是y(x)的一個駐點．

又y"(1)=(πex-1-2y'-ay)|x=1=π＞0，所以x=1是y(x)的極小點．

7.

關(guān)于n階矩陣A，B有如下命題：

①A和AT有相同的特征值．

②若A～B，則A，B有相同的特征值．

③A，B是實對稱矩陣，則AB和BA有相同的特征值．

④A是可逆矩陣，則AB和BA有相同的特征值．

上述正確的個數(shù)是______A.1．B.2．C.3．D.4．正確答案：D[解析]對①：|λE-A|=|(λE-A)T|=|λE-AT|A，AT有相同的特征值．

對②：A～B，即可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則

|λE-B|=|λE-P-1AP|=|λP-1P-P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|λE-A|，則A，B有相同的特征值．

對③：AT=A，BT=B，(AB)T=BTAT=BA，由①知AB和(AB)T=BA有相同的特征值．

對④：A可逆，取P=A，則P-1ABP=A-1ABA=BA，由③知AB和BA有相同的特征值．

故①、②、③、④均成立．

8.

設(shè)A是4階方陣，則下列線性方程組是同解方程組的是______A.AX=0和A2X=0．B.A2X=0和A3X=0．C.A3X=0和A4X=0．D.A4X=0和A5X=0．正確答案：D[解析]顯然，由AiX=0，兩邊左乘以A，得Ai+1X=0，i=1，2，3，4，四個選項均成立．反之，若Ai+1X=0，是否有AiX=0．

對A，取A2=0，取X=[0，0，0，1]T，則A2X=0X=0，但故A不是同解方程組．

對B，取A3=0，取X=[0，0，0，1]T，則A3X=0，但故B不是同解方程組．

對C，取A4=0，取X=[0，0，0，1]T，則A4X=0，但故C不是同解方程組．

由排除法知，應(yīng)選擇D．

對于D：易知A4X=0A5X=0，要證A5X=0A4X=0，用反證法，設(shè)A5X=0，而A4X≠0，因5個四維向量X，AX，A2X，A3X，A4X必線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)k0，k1，k2，k3，k4使得

k0X+k1AX+k2A2X+k3A3X+k4A4X=0．

(*)

對(*)式兩邊左乘A4，得

k0A4X+k1A5X+k2A6X+k3A7X+k4A8X=0k0A4X=0，

又A4X≠0得k0=0，將k0=0代入(*)式，類似的再兩邊左乘A3，可得k1=0，同理可得k2=k3=k4=0，這和X，AX，A2X，A3X，A4X線性相關(guān)矛盾，故A5X=0A4X=0．(一般的，當(dāng)A為n階方陣時，有An+1X=0AnX=0)

故A是四階方陣時，A4X=0和A5X=0是同解方程組．

二、填空題1.

設(shè)δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定義，f(0)=1，且有則f'(0)=______．正確答案：1[解析]由已知，得

則

2.

設(shè)則與直線2x+y=1垂直的曲線y(x)的切線方程為______．正確答案：[解析]由已知得由于曲線y(x)切線的斜率應(yīng)為

當(dāng)x＜0時，無解．

當(dāng)x≥0時，由此得切點為P(1，ln2)．

所求切線方程為

3.

正確答案：0[解析]

4.

正確答案：[解析]思路一：在極坐標(biāo)系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，則

其中

思路二：

其中

所以

5.

若y(x)滿足且y(0)=y'(0)=0，則y(x)=______．正確答案：[解析]因為

得新方程為則

由y'(0)=0，得則

6.

設(shè)則(A-2E)-1(A*+E)=______．正確答案：[解析]由已知得

A可逆，A*=|A|A-1=-2A-1．

故

(A-2E)-1(A*+E)=(A-2E)-1(-2A-1+E)=(A-2E)-1(A-2E)A-1=A-1，

利用初等變換法求逆

則

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)z=z(x，y)在全平面R2上有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程如果f(-x，x)=-x2，f'1(-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．正確答案：f(-x，x)=-x2-f'1(-x，x)+f'2(-x，x)=-2x

-[-f"11(-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2．

由已知得f"11(-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x)．

所以f"12(-x，x)=1．

又f'1(-x，x)=-x，故

-f"11(-x，x)+f"12(-x，x)=-1f"11(-x，x)=2，

f"22(-x，x)=-f"11(-x，x)=-2．

2.

求定積分的值．正確答案：思路一：

思路二：

3.

計算累次積分正確答案：所給累次積分所對應(yīng)的二重積分的積分域由y=x，y=2，圍成．

4.

設(shè)g(x)滿足g'(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．正確答案：得到代入方程得

由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e-x)．

5.

若u0=0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正實數(shù)，求的值．正確答案：由得

則

設(shè)函數(shù)集合Ψ，其中每一函數(shù)f(x)，滿足下列條件：①f(x)是定義在[0，1]上的非負(fù)函數(shù)，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．6.

證明Ψ中每一函數(shù)f(x)都是單調(diào)增加的．正確答案：證明f(x)是單調(diào)增函數(shù)，因為

x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx)

是單調(diào)增函數(shù)．

7.

對所有這一類函數(shù)Ψ，求積分的最大取值．正確答案：對有

1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)，

從而

而今函數(shù)f0(x)≡x，x∈[0，1]，顯然f0(x)∈Ψ．又

所以有

對所有這一類函數(shù)中，積分的最大取值為

8.

已知曲線求曲線C距離xOy面最遠(yuǎn)的點和最近的點．正確答案：點(x，y，z)到xOy面的距離為d=|z|，故求C上距離xOy面的最遠(yuǎn)點和最近點的坐標(biāo)，等價于條件極值問題：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

L(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+y2-2z2)+μ(x+y+3z-5)，

則

由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有

解得或代入得d=|z|=5或1．

即曲線C距離xOy面最遠(yuǎn)點為(-5，-5，5)，最遠(yuǎn)距離為5；

曲線C距離xOy面最近點為(1，1，1)．最近距離為1．

設(shè)向量組(ⅰ)α1=[1，2，-1]T，α2=[1，3，-1]T，α3=[-1，0，a-2]T；

(ⅱ)β1=[-1，-2，3]T，β2=[-2，-4，5]T，β3=[1，b，-1]T；

記A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．9.

問a，b為何值時，A，B等價；a，b為何值時，A，B不等價；正確答案：A，B等價r(A)=r(B)，將A，B合并成一起作初等行變換，得

當(dāng)a≠3，b≠2時，r(A)=r(B)=3，A，B等價；

當(dāng)a=3，b=2時，r(A)=r(B)=2，A，B等價；

當(dāng)a=3，b≠2或a≠3，b=2時，r(A)≠r(B)，A，B不等價．

10.

問a，b為何值時，向量組(ⅰ)，(ⅱ)等價；a，b為何值時，向量組(ⅰ)，(ⅱ)不等價．正確答案：向量組(ⅰ)，(ⅱ)等價(ⅰ)，(ⅱ)向量組之間可以相互表出．

當(dāng)a≠3，b≠2時，r(A)=r(B)=3，(α1，α2，α3)X=βi，i=1，2，3，(β1，β2，β3)y=αi，i=1，2，3，都有唯一解，故向量組(ⅰ)，(ⅱ)等價；

當(dāng)a=3，b任意時，(α1，α2，α3)X=β1，(或=β2)無解，故向量組(ⅰ)，(ⅱ)不等價；

當(dāng)b=2，a任意時，(β1，β2，β3)y=α2，(或=α3)無解，故向量組(ⅰ)，(ⅱ)不等價．

設(shè)A，B是n階矩陣，證明：11.

當(dāng)A可逆時，AB和BA有相同的特征值；正確答案：[證明]當(dāng)A可逆時，因A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA，故AB～BA．相似矩陣有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．

12.

證明AB和BA有相同的特征值．正確答案：[證明]思路一：若AB有特征值λ=0，則|AB|=|A||B|=|BA|=0