北京市重點(diǎn)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)匯編：圓的性質(zhì)（北京版）

第1頁/共1頁2024北京重點(diǎn)校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓的性質(zhì)（京改版）一、單選題1．（2024北京朝陽初三上期末）如圖，是的弦，若的半徑，圓心到弦的距離，則弦的長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．102．（2024北京西城初三上期末）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．3．（2024北京東城初三上期末）如圖，正方形的邊長為，且頂點(diǎn)，，，都在上，則的半徑為（

）A． B． C． D．4．（2024北京海淀初三上期末）如圖，在中，為直徑，，為圓上的點(diǎn)，若，則的大小為（

）A． B． C． D．5．（2024北京海淀初三上期末）如果一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有一邊的長度等于半徑，那么稱其為該圓的“半徑三角形”．給出下面四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)圓的“半徑三角形”有無數(shù)個(gè)；②一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；③當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，或；④若一個(gè)圓的半徑為，則它的“半徑三角形”面積最大值為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④6．（2024北京東城初三上期末）如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，于，當(dāng)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024北京西城初三上期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，則°，依據(jù)是．

8．（2024北京東城初三上期末）如閣，A，B，C是上的三個(gè)點(diǎn)，若，則的大小是．9．（2024北京匯文中學(xué)初三上期末）如圖，一塊直角三角板的30°角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于，兩點(diǎn)，若的直徑為，則弦AB的長為．10．（2024北京海淀初三上期末）“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為，開口寬為，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是．11．（2024北京匯文中學(xué)初三上期末）已知圓心角的度數(shù)為，點(diǎn)C在的圓周上，則圓周角的度數(shù)是．12．（2024北京朝陽初三上期末）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．三、解答題13．（2024北京東城初三上期末）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)，若，，求的半徑的長．14．（2024北京朝陽初三上期末）小明在學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”后，想探究它的逆命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”是否成立．他先根據(jù)命題畫出圖形，并用符號(hào)表示已知，求證．已知：如圖，在四邊形中，．

求證：點(diǎn)在同一個(gè)圓上．他的基本思路是依據(jù)“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”，先作出一個(gè)過三個(gè)頂點(diǎn)的，再證明第四個(gè)頂點(diǎn)也在上．具體過程如下：步驟一

作出過三點(diǎn)的．如圖1，分別作出線段的垂直平分線，

設(shè)它們的交點(diǎn)為，以為圓心，的長為半徑作．連接，（①______）．（填推理依據(jù)）．點(diǎn)在上．步驟二

用反證法證明點(diǎn)也在上．假設(shè)點(diǎn)不在上，則點(diǎn)在內(nèi)或外．?。鐖D2，假設(shè)點(diǎn)在內(nèi)．

延長交于點(diǎn)，連接．（②______）．（填推理依據(jù)）是的外角，（③______）．（填推理依據(jù)）．．這與已知條件矛盾．假設(shè)不成立．即點(diǎn)不在內(nèi)．ⅱ．如圖3，假設(shè)點(diǎn)在外．

設(shè)與交于點(diǎn)，連接．．是的外角，．．．這與已知條件矛盾．假設(shè)不成立．即點(diǎn)不在外．綜上所述，點(diǎn)在上．點(diǎn)在同一個(gè)圓上．閱讀上述材料，并解答問題：（1）根據(jù)步驟一，補(bǔ)全圖1（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）填推理依據(jù)：①______，②______，③______．15．（2024北京西城初三上期末）如圖，是的弦，半徑，垂足為．，，求的半徑．

參考答案題號(hào)123456答案CDCDCA1．C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理．熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，則，由勾股定理得，，進(jìn)而可求．【詳解】解：由題意知，，∴，由勾股定理得，，∴，故選：C．2．D【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角，結(jié)合直角三角形兩銳角互余得到，再由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到，再由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：為的直徑，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度，涉及圓周角定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角、直角三角形兩銳角互余、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問題的關(guān)鍵．3．C【分析】此題考查了正多邊形和圓，連接，是正方形，則，，利用圓周角定理可得是的直徑，再用勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理和勾股定理的應(yīng)用．【詳解】如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∴是的直徑，在中，由勾股定理得：，∴的半徑為，故選：．4．D【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對(duì)的圓周角是90°得出，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余結(jié)合圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】∵在中，為直徑，∴，∵，∴，故選D．5．C【分析】根據(jù)圓的“半徑三角形”的概念判斷①②；根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的概念判斷③；根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，求出的最大面積，判斷④．【詳解】如圖，，即的長度等于半徑，，即的長度等于半徑，以為邊的圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個(gè)，故①結(jié)論正確；為等邊三角形，，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，可能是，一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形，直角三角形或鈍角三角形，故②正確；由以上可知，可以是或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，或，故③正確；過作于，，，當(dāng)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，，故④錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解本題的關(guān)鍵．6．A【分析】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)連接，作，連接，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的長最小，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【詳解】連接，作，連接，，∴，∵為圓心，半徑為，∴，，在中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，的長最小，最小值為，故選：．7．圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解作答即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，依據(jù)是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，故答案為：，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．8．【分析】本題考查了圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍可得到的角度，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和為和等腰三角形的性質(zhì)可得到結(jié)果，熟悉掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，故答案為：．9．【分析】連接并延長交于點(diǎn)，連接BD，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出，，再由含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接并延長交于點(diǎn)，連接BD，，．是的直徑，AD，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是同弧所對(duì)的圓周角相等，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．10．【分析】連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，先由垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可得出的長．本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，如圖所示：∵，∴，由題意得：，在中，，∴，即水的最大深度為，故答案為：．11．或【分析】應(yīng)根據(jù)點(diǎn)C在劣弧上和優(yōu)弧上兩種情況進(jìn)行討論，然后分別利用圓周角定理進(jìn)行解答．【詳解】解：∵點(diǎn)C在的圓周上，∴點(diǎn)C可能在優(yōu)弧上或者劣弧上．當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上時(shí)，如圖所示，∵的度數(shù)為，∴．

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧上時(shí)，如圖所示，∵，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．12．140【分析】本題主要考查圓周角定理的應(yīng)用，根據(jù)對(duì)頂角相等得，由三角形內(nèi)角和定理得，再根據(jù)圓周角定理得．【詳解】解：∵∴又∴，∴，故答案為：14013．的半徑的長為．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由垂徑定理可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，半徑于點(diǎn)，，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，即，解得的半徑的長為．14．（1）見解析；（2）①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．②圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【分析】本題考查的是畫三角形的外接圓，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，反證法的運(yùn)用，熟練的利用反證法證明命題的真假是解本題的關(guān)鍵；（1）先作線段，的垂直平分線，得到交點(diǎn)O，再以O(shè)為圓心，為半徑畫圓即可；（2）由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得對(duì)角互補(bǔ)，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得推理的依據(jù)．【詳解】解；（1）補(bǔ)全圖1，如圖．

（2）①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．②圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．15．【分析】連接，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，如圖