2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)拋物線北師大版

拋物線

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、選擇題

1.（2021?衡水模擬）若拋物線〃=2,*（夕＞0）上一點尸到焦點和到拋物線對稱軸的距離

分別為10和6,則拋物線的方程為（）

A.y=4xB.y=36x

C.4=4A■或了=36＞D.〃=8A■或4=32＞

C[設(shè)。（xo,%）,則刖+勞=10,jb=±6,即點。的坐標(biāo)為（10一5±6）,又點尸在拋

物線y=2px±.,

??.2《10一芻=36,即p-20p+36=0,

解得〃=2或Q=18,因此所求拋物線方程為"=4'或/=36X,故選C.]

2.（2021?泰安模擬）已知拋物線公"=2p*（夕＞0）的焦點為E0為坐標(biāo)原點，OF為

菱形循尸C的一條對角線，另一條對角線比的長為2,且點8c在拋物線E上,則p=（）

A.1B.y[2C.2D.2^2

B[由題意，備1）在拋物線上，代入拋物線方程可得1=奈???夕＞0,?“=蜴故

選B.]

3.（2020?北京高考）設(shè)拋物線的頂點為0,焦點為E準(zhǔn)線為尸是拋物線上異于0

的一點，過戶作圖_L/于0,則線段用的垂直平分線（）

A.經(jīng)過點0B.經(jīng)過點P

C.平行于直線80.垂直于直線8

B[如圖所示；

因為線段國的垂直平分線上的點到尸，0的距離相等，又點尸在拋物線上，根據(jù)定義可

知，\PQ\=\PF\,所以線段用的垂直平分線經(jīng)過點尸.故選B.]

4.點玳5,3）到拋物線尸aV的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

、21

AX=B.YJ—LvoyyY—v

-W\236y

c./=-9D.V=i2y或9=一36了

D［將尸W化為當(dāng)孫）時，準(zhǔn)線尸一5則3+5=6—?.々=今.

當(dāng)水0時，準(zhǔn)線y=—今，貝！3+務(wù)=6,

?a=」

360

，拋物線方程為f=12y或六=一36八］

5.過拋物線了=4*的焦點少且斜率為2m的直線交拋物線于力"，兩點（乂>檢），則帽

=（）

33

A.-B.TC.3D.2

24

D［設(shè)直線方程為尸2艱0—1）,與r=4x聯(lián)立得2旅一5萬十2=。，所以（2x-D（x

—2）=0,ATI=1,X2=2.因為所以必=2,%=：，

I朋卜通I2+1,

所以]

6.（2021?江西萍鄉(xiāng)一模）已知拋物線。：7=2加（0>0）的焦點為E準(zhǔn)線1：>=—1,

點時在拋物線。上，點材在直線八尸一1上的射影為4,且直線HP的斜率為一小，則^

M尸的面積為（）

A.小B.2^3C.4^3D.隊居

C［如圖所示，設(shè)準(zhǔn)線/與x軸交于點M

則I剛=2.

;直線力產(chǎn)的斜率為一，5,

???/力用-60°.

AZ.MAF=W,

|朋=4.

由拋物線的定義可得以1=1好1,

???△4妒是邊長為4的等邊三角形.

**?5i4wi'—X42=4,^3.故選C.]

二、填空題

7.已知拋物線G/=2.(「>0)的焦點為尸(2,0),則拋物線，的方程是；

若“是。上一點，￡"的延長線交y軸于點M且材為的中點，則I硼=________.

y=8x6[拋物線C：，=2日(0>0)的焦點為/(2,0),可得夕=4,則拋物線C的方

程是了=8x.由川為的中點，得"的橫坐標(biāo)為1,代入拋物線方程得y=±2啦，則,V(l,

±2^/2),則點N的坐標(biāo)為(0,±4^2),所以|剛=42?+4/2=6.]

8.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1

米后，水面寬米.

2乖[建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,

設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0).

由題意可知拋物線過點(2,-2),

故4=4,，=1,

,,x=~2y.

故當(dāng)尸一3時，，=6,即

所以當(dāng)水位降1米后，水面寬2乖米.]

9.已知拋物線/=4x的焦點為用過點尸作一條直線交拋物線于48兩點.若|"1

=3,則|郎|=.

3

3[法一：由題意可知尸(1,0),設(shè)力(右，％),B(xu,%)，點4在第一象限，則|"1

=照+1=3,所以必=2,所以直線48的斜率為2—=2，^.

41

(D求拋物線〃的方程;

(2)已知點G(—l,0),延長//交拋物線￡于點用證明："為乙4"的平分線.

［解］(1)由拋物線定義可得1力尸|=2+曰=3,解得。=2.，拋物線后的方程為"=41

(2)證明：???點4(2,而在拋物線￡上,

???力=4X2,解得加=±2m，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)力(2,2*)，由力(2,24),

/(1,0),

?,?直線版的方程為y=2/(L1),

y=2y[2x—\

得2/一5x+2=0,解得x=2或)，.?.噌，一派1.

由12

J=4x，

2m

又G(—1?0),:?k&\=k(.B=

O3

???松+后=0,：.^AGF=Z.BGF.

???0為乙4。的平分線.

［8組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

1.已知P是拋物線，=4才上的一個動點，。是圓(萬-3)2+。一］)2=1上的一個動點,

”(1，0)是一個定點，則lNl+1/Wl的最小值為()

A.3B.4C.5D.A/2+I

A［由拋物線方程"=4無可得拋物線的焦點?(1,0),又Ml,［/

0),所以N與尸重合.過圓(x—3)2+(廠1)2=1的圓心材作拋物線I,|/^\

準(zhǔn)線的垂線MH,交圓于Q,交拋物線于P,貝I」|/初+IPN\的最小值等I

于|刈-1=3.］|f

2.(2021?濟(jì)寧三模)已知拋物線C/=4x的焦點為￡過點F

的直線與拋物線。的兩個交點分別為4B,且滿足前=2花￡為力8的中點，則點￡到拋物

線準(zhǔn)線的距離為()

B［由題意得拋物線/=4彳的焦點坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)/(x,珀,

B（X2,yz）,

'：AF=2FB,/.\AF\=2\BF\,「.M+1=2（照+1）,

AXi=2X2+1,V||=21I，

Aft=4^2>Aft=2?熱=5.

乙

I9

???線段力8的中點到該拋物線準(zhǔn)線的距離為3［（汨+1）+（加+1）］=*故選B.］

乙St

3.已知點加加，4）（加＞0）在揄物線f=4y上，過點力作傾斜角互補的兩條直線人和

且4,4與拋物線的另一個交點分別為8,C.

（1）求證：直線比的斜率為定值;

（2）若拋物線上存在兩點關(guān)于勿對稱，求理|的取值范圍.

［解］（1）證明：???點力（孫4）在拋物線上，

16=z?,/.m=±4,又m＞0,：,/n=4.設(shè)6（乂，乂），C（x2f㈤，

,,,Xi+4,照+4加+照+8八

則nil原+左產(chǎn)丁+丁=^—=。,

/.%1+^2=-8.

.y2—y\&-x\為+生

====

??KffCA4-29

x2-X\4x2-X\4

??.直線比的斜率為定值-2.

⑵設(shè)直線式'的方程為y=-2x+b,P（照，㈤，0（和必）關(guān)于直線比對稱，設(shè)國的

中點為做旅，㈤，則

,%石+%Xo1

后=====萬=》.,加=L

AMb-2+6）.

I9

又點加在拋物線內(nèi)部，???-2+b＞中即，＞彳.

[y=-2x+b,

由12.

[x=4y,

得V+8x—46=0,，用+8=-8,X3Xi=-4b.

A\BC\=Vl+4|^-xJ

=4,yj~照+M~2-4照*[=/x，64+16b.

又：.\BC\>10y[5.

???|比I的取值范圍為（1酢，+8）.

[Cffi在創(chuàng)新中考查理性思維]

1.(2021?濰坊模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光

線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物

線的焦點.已知拋物線7=4x的焦點為用一條平行于x軸的光線從點.機(jī)3,1)射出，經(jīng)過

拋物線上的點力反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點4射出，則△月陰/的周長為()

7］

A.—+^/26B.9+亞

C.Y|+A/26D.9+-726

D「??物〃x軸，

由題意可知/必經(jīng)過拋物線y=4x的焦點/(1,0),

4

,直線的方程為尸一三(尸一1).

>2=4X,

聯(lián)立方程d4解得6(4,-4),

尸一§I，

|/?/|=3—\AB\=1+4+2=y,

\MB\=V-12+52=-\/26.

???△力應(yīng)/的周長為9+，云.故選D.］

2.已知拋物線八4=4x的焦點為兄若△力比?的三個頂點都在拋物線〃上，且E+法

+FC=Q,則稱該三角形為“核心三角形”.

(1)是否存在“核心三角形”，其中兩個頂點的坐標(biāo)分別為(0,0)和(1,2)?請說明理由：

(2)設(shè)“核心三角形”4%的一邊48所在直線的斜率為4,求直線力8的方程；

(3)已知△力比'是“核心三角形”，證明：點力的橫坐標(biāo)小于2.

［解］(1)拋物線「：/=4x的焦點為尸(1,0),

由萬+法+元:=0,

必+川+北典+%+"

得］=----n---，0=-------,

故第三個頂點