數(shù)學(xué)八年級湘教版上冊第四章一元一次不等式電子教案

不等式本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.1

現(xiàn)實生活中，數(shù)量之間存在著相等與不相等的關(guān)系.

對于不相等的關(guān)系問題，我們?nèi)绾斡檬阶觼肀硎舅鼈兡兀?/p>

例如，小明的身高為155cm，小聰?shù)纳砀邽?56cm；

則我們可以用不等號“>”或“<”來表示它們的高度之間的關(guān)系；如156>155或155<156.155cm156cm動腦筋（1）如圖所示，處于平衡狀態(tài)的托盤天平的右盤放上一質(zhì)量為50g的砝碼，左盤放上一個圓球后向左傾斜，問圓球的質(zhì)量xg與質(zhì)量為50g的砝碼之間具有怎樣的關(guān)系？

我們很容易知道圓球的質(zhì)量大于砝碼的質(zhì)量，即x>50.（2）一輛轎車在一條規(guī)定車速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行駛，如何用式子來表示轎車在該高速公路上行駛的路程

s(km)與行駛時間x(h)之間的關(guān)系呢？

根據(jù)路程與速度、時間之間的關(guān)系可得：s≥60x，且s≤100x.

像156>155，155<156，x>50，s≥60x，s≤100x

這樣，我們把用不等號（>，<，≥，≤，≠）連接而成的式子叫作不等式.例1用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：舉例（1）x的5倍大于-7；（2）a與b的和的一半小于-1；（3）長、寬分別為xcm，ycm的長方形的面積小于邊長為acm的正方形的面積.解5x>-7（1）x的5倍大于-7；（2）a與b的和的一半小于-1；（3）長、寬分別為xcm，ycm的長方形的面積小于邊長為acm的正方形的面積.解xy

＜a2

．

已知一支圓珠筆1.5元，簽字筆與圓珠筆相比每支貴2元.

做一做

小華想要買x支圓珠筆和10支簽字筆，若付50元仍找回若干元，則如何用含x的不等式來表示小華所需支付的金額與50元之間的關(guān)系？練習(xí)1.用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系：（1）a是非負數(shù)；（2）x比-3??；（3）兩數(shù)m與n的差大于5.解a≥0.解x<-3.解m-n>5.2.奧運射箭比賽，每一箭滿分為10分.某選手在參加比賽時，前十箭中最低得分為7分，求該選手前十箭總得分x的范圍.解100＞x＞

70.

不等式的基本性質(zhì)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.2

我們在七年級上冊已經(jīng)學(xué)過等式的基本性質(zhì)，那么不等式具有哪些性質(zhì)呢？探究1.用不等號填空：（1）5

3；5+2

3+2；5-2

3-2.（2）2

4；2+1

4+1；2-3

4-3.>

>

>

<

<

<

2.水果店的小王從水果批發(fā)市場購進100kg梨和

84kg蘋果.在賣出akg梨和akg蘋果后，又分別各購進了bkg的梨和蘋果.

100-a

84-a>請用“>”或“<”填空：

100–a+b

84–a+b>3.自己任意寫一個不等式，在它的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，看看不等關(guān)系有沒有變化.

15+1

30+1，15-1

30-1<<

不等式兩邊同加或減，不等式關(guān)系不變.與同桌互相交流，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

不等式基本性質(zhì)1

不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或（式），不等號的方向不變.結(jié)論

即，如果a>b，那么a+c>b+c,且a-c>b-c.一般地，不等式具有如下性質(zhì)：例1

用“>”或“<”填空：舉例（1）已知a>b，則a+3

b+3；（2）已知a<b，則a-5

b-5.

因為a>b，兩邊都加上3，

因為a<b，兩邊都減去5，解

由不等式基本性質(zhì)1，得a+3>b+3；根據(jù)不等式基本性質(zhì)1

由不等式基本性質(zhì)1，得a-5<b-5.根據(jù)不等式基本性質(zhì)1（1）已知a>b，則a+3

b+3（2）已知a<b，則a-5

b-5><例2

把下列不等式化為x>a或x<a的形式：舉例（1）x+6>5；（2）3x<2x-2.（1）x+6>5，解不等式的兩邊都減去6，由不等式基本性質(zhì)1，得x+6-6>5-6；根據(jù)不等式基本性質(zhì)1即：

x>-1（2）3x<2x-2，不等式的兩邊都減去2x，由不等式基本性質(zhì)1，得

3x-2x<2x-2-2x；根據(jù)不等式基本性質(zhì)1即：

x<-2

由（2）可以看出，運用不等式基本性質(zhì)1

對3x<2x-2進行化簡的過程，就是對不等式3x<2x-2

作了如下變形：（2）3x<2x-2.3x<2x-23x<2x-2-

從變形前后的兩個不等式可以看出，這種變形就是把不等式一邊的某一項變號后移到另一邊，我們把這種變形稱為移項.動腦筋

我們知道三角形任意兩邊之和大于第三邊，即如圖所示，在△ABC中，有

AB+BC>AC，

BC+AC>AB，

AC+AB>BC.

那么，三角形中兩邊之差與第三邊又有怎樣的關(guān)系呢？

根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，我們可以把不等式AB+BC>AC中的BC移到右邊，于是得到AB>AC-BC，即AC-BC<AB.同理，AB-AC<BC，BC-AB<AC.由此可得，三角形任意兩邊之差小于第三邊.練習(xí)

1.已知a<b，用“>”或“<”填空：

（1）a+12

b+12；

（2）b-10

a-10.<>答：x>2答：x<62.把下列不等式化為x>a或x<a的形式：（1）1+x＞3；（2）2x＜x+6.探究1.用不等號填空：

（1）6

4；

6×2

4×2；

6÷(-2)

4÷(-2).（2）-2

-4；

-2×2

-4×2；

-2÷(-2)

(-4)÷(-2).>><>><2.（1）已知蘋果的價格是a元/kg，梨的價格是

b元/kg，且a>b.

小李各買了3kg蘋果和梨，則買哪種水果花錢較多？用不等號填空：3a

3b.>（2）在某次知識搶答賽中，甲、乙兩隊的總得分分別為a，b，其中a>b.已知每隊人員均為3

名，則哪隊的平均得分高？>用不等號填空：a÷3

b÷3.3.自己寫一個不等式，分別在它的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)或負數(shù)，看看有怎樣的結(jié)果.

5×(-3)

8×(-3)>與同桌互相交流，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

不等式基本性質(zhì)2

不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.結(jié)論

即，如果a>b,c>0，那么ac>

bc,

>

.一般地，不等式還有如下性質(zhì)：

不等式基本性質(zhì)3

不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.結(jié)論

即，如果a>b，c<0，那么ac<

bc,

<

.例3

用“>”或“<”填空：舉例（1）已知a>b，則3a

3b

；（2）已知a>b，則-a

-b.（3）已知a<b，則

.

因為a>b，兩邊都乘3，

因為a>b，兩邊都乘-1，解

由不等式基本性質(zhì)2，得

3a>3b判斷用不等式基本性質(zhì)2

由不等式基本性質(zhì)3，得

-a<-b

判斷用不等式基本性質(zhì)3（1）已知a>b，則3a

3b

；（2）已知a>b，則-a

-b.><

因為a<b，兩邊都除以-3，

由不等式基本性質(zhì)3，得

由不等式基本性質(zhì)1，得（3）已知a<b，則

.>

因為

，兩邊都加上2，說一說

下面是某同學(xué)根據(jù)不等式的性質(zhì)做的一道題：在不等式-4x+5>9的兩邊都減去5，得

-4x>4在不等式-4x>4的兩邊都除以-4，得

x>-1

請問他做對了嗎？如果不對，請改正.不對x<-1議一議

不等式的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)有什么相同點和不同點？練習(xí)

1.已知a>b，用“>”或“<”填空：

（1）2a

2b；

（2）-3a

-3b；><<

（3）

.2.用“>”或“<”

填空：（1）如果1-x>3，那么-x

3-1，即x

-2；><（2）如果x+2<3x+8，那么x-3x

8-2，即-2x

6，即x

-3.<<>中考試題例1

由數(shù)軸知c<b<0<a，所以ab<bc，ac<bc，ac<ab，ab>ac，因此A、B、C均錯誤.故，應(yīng)選擇D.解D

實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，則下列不等關(guān)系正確的是（）.A.ab>bc

B.ac>bcC.ac>ab

D.

ab>ac.a0bc中考試題例2

因為t>0，所以a+t>a.故，應(yīng)選擇A.解

如果t>0，那么a+t與a的大小關(guān)系是（）.A.a+t>a

B.a+t<aC.a+t≥a

D.

不能確定.A中考試題例3

若已知關(guān)于x的不等式(1-a)x

>2變形后得到成立，則a應(yīng)滿足的條件是（）.A.a>0

B.a>1C.a<0

D.

a<1.B解

由(1-a)x>2得知，在不等式兩邊同除以1-a時，不等式的方向改變了.

根據(jù)不等式性質(zhì)，得1-a<0.解得a>1.故，應(yīng)選擇B.一元一次不等式的解法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.3動腦筋

已知一臺升降機的最大載重量是1200kg，在一名重75kg的工人乘坐的情況下，它最多能裝載多少件25kg重的貨物？本問題中涉及的數(shù)量關(guān)系是：

設(shè)能載x件25kg重的貨物，因為升降機最大載重量是1200kg，所以有

75＋25x≤1200.①工人重+貨物重≤最大載重量.結(jié)論

含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的不等式，稱為一元一次不等式.像75+25x≤1200這樣，

為了求出升降機能裝載貨物的件數(shù)，需要求出滿足不等式75＋25x≤1200的x的值.如何求呢？

與解一元一次方程類似，我們將根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進行如下步驟：將①式移項，得25x≤1200-75，將②式兩邊都除以25（即將x的系數(shù)化為1），75+25x≤1200.①即25x≤1125.②得x≤45.因此，升降機最多裝載45件25kg重的貨物.

我們把滿足一個不等式的未知數(shù)的每一個值，稱為這個不等式的一個解.結(jié)論例如，5.4，6，都是3x>15的解.這樣的解有無數(shù)個.結(jié)論

我們把一個不等式的解的全體稱為這個不等式的解集.例如我們用x>5表示3x>15的解集.結(jié)論

求一個不等式的解集的過程稱為解不等式.

今后我們在解一元一次不等式時，將利用前面講述的不等式的基本性質(zhì)，將原不等式化成形如x≤a(或x<a，x>a，x≥a）的不等式，就可得到原不等式的解集.小提示例1

解下列一元一次不等式：舉例（1）2-5x<8-6x；（2）.解（1）原不等式為2-5x<8-6x

將同類項放在一起即，得x<6

移項，得-5x+6x<8-2計算結(jié)果解首先將分母去掉去括號，得2x-10+6≤

9x

去分母，得2(x-5)+1×6

≤9x移項，得2x-9x≤

10-6去括號將同類項放在一起（2）原不等式為合并同類項，得：

-7x≤

4兩邊都除以-7，得

x≥

計算結(jié)果根據(jù)不等式性質(zhì)3議一議

解一元一次不等式與解一元一次方程的依據(jù)和步驟有什么異同點？

它們的依據(jù)不相同.解一元一次方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，解一元一次不等式的依據(jù)是不等式的性質(zhì).

它們的步驟基本相同，都是去分母、去括號、移項、合并同類項、兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù).

這些步驟中，要特別注意的是：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，必須改變不等號的方向.這是與解一元一次方程不同的地方.練習(xí)

1.解下列不等式：

（1）

-5x≤10；

（2）4x-3<

10x+7.解（1）原不等式為-5x≤10

方程兩邊同除以-5，

x

≥

-2（2）原不等式為4x-3<

10x+7

移項，得4x-10x<3+7

化簡，得-6x<10

方程兩邊同除以-6，

x>

2.解下列不等式：（1）

3x-1

>

2(2-5x)

；（2）.解（1）原不等式為3x-1

>2(2-5x)

去括號，得3x-1>4-10x移項，得3x+10x>1+4化簡，得13x>5兩邊同除以13，x

>

（2）原不等式為

去分母，得2(x+2)≥

3(2x-3)去括號，得2x+4≥

6x-9移項，得2x-6x≥

-4-9化簡，得-4x≥

-13兩邊同除以-4，

x

≤

一個不等式的解集常常可以借助數(shù)軸直觀地表示出來.先在數(shù)軸上標(biāo)出表示2的點A則點A右邊所有的點表示的數(shù)都大于2，而點A左邊所有的點表示的數(shù)都小于2因此可以像圖那樣表示3x>6的解集x>2.動腦筋如何在數(shù)軸上表示出不等式3x＞6的解集呢？容易解得不等式3x＞6的解集是x＞2.0123456-1A

把表示2的點Ａ畫成空心圓圈，表示解集不包括2.例2

解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來：舉例解首先將括號去掉去括號，得12

-6x

≥

2-4x移項，得-6x+4x≥2-12將同類項放在一起合并同類項，得：

-2x

≥

-10兩邊都除以-2，得x≤5根據(jù)不等式基本性質(zhì)2原不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.-10123456解集x≤5中包含5，所以在數(shù)軸上將表示5的點畫成實心圓點.舉例解解這個不等式，得x

≤6x≤6在數(shù)軸上表示如圖所示：-10123456根據(jù)題意，得x+2≥

0所以，當(dāng)x≤6時，代數(shù)式x+2的值大于或等于0.由圖可知，滿足條件的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6.例3

當(dāng)x取什么值時，代數(shù)式x+2的值大于或等于0？并求出所有滿足條件的正整數(shù).練習(xí)1.解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來：

（1）

4x-3

<2x+7；

（2）.解（1）原不等式為4x-3

<2x+7

移項，得4x-2x<3+7化簡，得2x<10兩邊同除以2，x

<

5原不等式的解集在數(shù)軸上表示為：-10123456（2）原不等式為

去分母，得2(x-3)≥

(3x+5)去括號，得2x-6≥

3x+5移項，得2x-3x≥6+5化簡，得-x≥11兩邊同除以-1，

x

≤-11原不等式的解集在數(shù)軸上表示為：0-112.先用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系，然后求出它們的解集，并在數(shù)軸上表示出來：

（1）

x的大于或等于2；-1012345x≥

2

解得x≥

4解

（2）x與2的和不小于1；解x+2

≥

1

解得x≥

-1-1012345

（3）y與1的差不大于0；y-1

≤

0

解得y≤1解-1012345

（4）y與5的差大于-2；y-5

>

-2

解得y>

3解-1012345中考試題例1

去分母，得6+3x≥4x+2.

移項，合并同類項，得x≤4.

正整數(shù)解為1，2，3，4.解

求不等式的正整數(shù)解.首先求出不等式的解集.然后求出正整數(shù)解.分析中考試題例2

已知且x>y，則k的取值范圍是

.解

①×3-②×2，得x=7k+5.③

將③代入①

，得

3(7k+5)-2y=3k+1.

化簡，整理，得y=9k+7.∵

x>y，∴

7k+5>9k+7.解之，得k<-1.

∵①②k<-1中考試題例3

解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來.-2-101234

去分母，得6(2x-1)≥10x+1.

去括號，移項，合并同類項得2x≥7.

解得

這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下圖：解一元一次不等式的應(yīng)用本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.4動腦筋

小華打算在星期天與同學(xué)去登山，計劃上午7點出發(fā)，到達山頂后休息2h，下午4點以前必須回到出發(fā)點.如果他們?nèi)r的平均速度是3km/h，回來時的平均速度是4km/h，他們最遠能登上哪座山頂？（圖中數(shù)字表示出發(fā)點到山頂?shù)穆烦?）問題中涉及的數(shù)量關(guān)系是：去時所花時間+休息時間+回來所花時間≤總時間.設(shè)從出發(fā)點到山頂?shù)木嚯x為xkm,則他們?nèi)r所花時間為h回來所花時間為h.他們在山頂休息了2h，又上午7點到下午4點之間總共相隔9h，即所用時間應(yīng)少于或等于9h.所以有+2+≤9.解這個不等式，得x≤12.因此要滿足下午4點以前必須返回出發(fā)點，小華他們最遠能登上D山頂.例1

某童裝店按每套90元的價格購進40套童裝，應(yīng)繳納的稅費為銷售額的10%.如果要獲得不低于900元的純利潤，每套童裝的售價至少是多少元？舉例

設(shè)每套童裝的售價是x元.解則40·x-90×40-40·x·10％≥900.

解這個不等式，得x≥125.

答：每套童裝的售價至少是125元.分析

本題涉及的數(shù)量關(guān)系是： 銷售額-成本-稅費≥純利潤(900元).例2

當(dāng)一個人坐下時，不宜提舉超過4.5kg的重物，以免受傷.小明坐在書桌前，桌上有兩本各重1.2kg的畫冊和一批每本重0.4kg的記事本.如果小明想坐著搬動這兩本畫冊和一些記事本.問他最多只應(yīng)搬動多少本記事本？

設(shè)小明最多只應(yīng)搬動x本記事本，則解解這個不等式，得x≤5.25.1.2×2+0.4x≤4.5.答：小明最多只應(yīng)搬動5本記事本.由于記事本的數(shù)目必須是整數(shù)，所以x的最大值為5.分析本題涉及的數(shù)量關(guān)系是：畫冊的總重+記事本的總重≤4.5kg.應(yīng)用一元一次不等式解決實際問題的步驟有哪些？議一議實際問題解不等式列不等式結(jié)合實際確定答案找出不等關(guān)系

設(shè)未知數(shù)練習(xí)1.小明家的客廳長5m，寬4m．現(xiàn)在想購買邊長為60cm的正方形地板磚把地面鋪滿，至少需要購買多少塊這樣的地板磚？解

設(shè)需要購買x塊地板磚，則有

5×4≤x·0.6×0.6

解這個不等式，得x

≥55.6

由于地板磚的數(shù)目必須是整數(shù)，所以x的最小值為56.

答：小明至少要購買56塊地板磚.練習(xí)

2.某市打市內(nèi)電話的收費標(biāo)準(zhǔn)是：每次3min以內(nèi)（含3min）0.22元，以后每分鐘0.11元（不足1min部分按1min計）．小琴一天在家里給同學(xué)打了一次市內(nèi)電話，所用電話費沒超過0.5元．她最多打了幾分鐘的電話？解

設(shè)小琴最多打了x分鐘的電話，則有

0.22+(x-3)×0.11＜0.5

解這個不等式，得x

＜5.5

由于電話計時按照分鐘計時，x應(yīng)是整數(shù)，所以x的最大值為5.

答：小琴最多打了5分鐘的電話.中考試題

某學(xué)校要印刷一批宣傳材料，甲印務(wù)公司提出收制版費900元，另外每份材料收印刷費0.5元；乙印務(wù)公司提出不收制版費，每份材料收印刷費0.8元.（1）分別寫出兩家印務(wù)公司的收費y(元)與印刷材料的份數(shù)x(份)之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）若學(xué)校預(yù)計要印刷5000份以內(nèi)的宣傳材料，請問學(xué)校應(yīng)選擇哪一家印務(wù)公司更合算？解（1）y甲=900+0.5x，y乙=0.8x.（2）令y甲>y乙，則900+0.5x>0.8x.解之，得x<3000.

所以，當(dāng)印刷3000份以內(nèi)的宣傳材料時選乙公司合算；當(dāng)印刷3000份以上5000份以內(nèi)時，應(yīng)選甲公司更合算.例一元一次不等式組本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.5動腦筋

一個長方形足球場的寬為70m，如果它的周長大于350m，面積小于7630m2，求這個足球場的長的取值范圍，并判斷這個足球場是否可以進行國際足球比賽.(注：用于國際比賽的足球場的長在100至110m之間，寬在64至75m之間.)

如果設(shè)足球場的長為x

m，那么它的周長就是2(x+70)m，面積為70x

m2.

根據(jù)已知條件，我們知道x的取值范圍要使2(x+70)>350和70x<7630這兩個不等式同時成立.

為此，我們用大括號把上述兩個不等式聯(lián)立起來，得2(x+70)>350和70x<7630結(jié)論

像這樣這樣，把含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式聯(lián)立起來，就組成了一個一元一次不等式組.怎樣確定上面的不等式組中x的取值范圍呢？

類比方程組的求解，不等式組中的各個不等式解集的公共部分，就是不等式組中的未知數(shù)的取值范圍.

我們把幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它們所組成的一元一次不等式組的解集.

求不等式組的解集的過程，叫作解不等式組.

下面我們來解不等式組解不等式①，得解不等式②，得①②x＞105.x＜109.不等式組

的解集就是x＞105與x＜109的公共部分.

我們在同一數(shù)軸上把x＞105與x<109表示出來，如圖所示0105109由圖容易發(fā)現(xiàn)它們的公共部分是105＜x＜109,這就是由不等式①、②組成的不等式組的解集.

由此可知，這個足球場的長度在105至109m之間，從場地的大小方面來說，可以進行國際足球比賽.例1

解不等式組：舉例

解不等式①，得解

x≤

3.

解不等式②，得x＜-3.①②

把不等式①、②的解集在數(shù)軸上表示出來，如圖：0-33

由圖可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x＜-3,所以這個不等式組的解集是x＜-3.例2