高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

《§根本不等式》的教學(xué)設(shè)計(jì)

XX八二一張智云

教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修5第三章

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

《根本不等式》選自人教版必修五的第三章第四節(jié)的第一課時(shí)，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)完“不

等式的性質(zhì)”、”一元二次不等式及其解法〃及“二元一次不等式〔組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

問(wèn)題〃的根底上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究。在探究根本不等式內(nèi)涵和證明的過(guò)程中，能夠培養(yǎng)

學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)；在應(yīng)用的

過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件的轉(zhuǎn)換和變式，有助于培養(yǎng)學(xué)生形成類比歸納的思想和習(xí)慣，進(jìn)而形成

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。在知識(shí)題系中起著承上啟下的作用，為研究最值問(wèn)題以及不等式的證明作

鋪墊，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中也有著非常廣泛的應(yīng)用。

（-）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解根本不等式；

2.從不同角度探索根本不等式J石W空的證明過(guò)程；

2

3.掌握根本不等式的結(jié)構(gòu)特征及其使用條件。

難點(diǎn)：1.建立不等式模型劃歸為根本不等式；

2.用根本不等式求最大值和最小值。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1.掌握根本不等式的結(jié)構(gòu)特征及其使用條件；

2.會(huì)用根本不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題〔注重建模過(guò)程）

（二）過(guò)程與方法

1.通過(guò)探究“數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)〃及感受會(huì)標(biāo)的變形，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩

個(gè)根本不等式，

2.了解根本不等式的幾何背景培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；培養(yǎng)學(xué)

生形成數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)；

3.進(jìn)一步讓學(xué)生探究不等式的代數(shù)證明，加深對(duì)根本不等式的理解和認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生

邏輯推理的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式。

4.通過(guò)例題讓學(xué)生學(xué)會(huì)用根本不等式求最大值和最小值。

〔三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用過(guò)程,深切感受到我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深

厚的文化底蘊(yùn)，以及我國(guó)的數(shù)學(xué)成就對(duì)世界數(shù)學(xué)文明的影響和開展做出的卓越奉獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)

生喜歡數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情。同時(shí)起到對(duì)學(xué)生的愛國(guó)主義教育，增強(qiáng)學(xué)生的名族自豪感。

三、教學(xué)方法

啟發(fā)式與探究式相結(jié)合

四、教學(xué)工具

多媒體課件

五、教學(xué)過(guò)程：

（一）情景引入，激發(fā)興趣

下列圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)議現(xiàn)場(chǎng)。

通過(guò)情境引發(fā)聯(lián)想，學(xué)生深切感受到我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)的悠久歷史和深厚的文化底蘊(yùn)，以及

我國(guó)的數(shù)學(xué)成就對(duì)世界數(shù)學(xué)文明的影響和開展做出的卓越奉獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)

學(xué)的熱情。

■CM2CC2

Beijing

August20?28,2002

探究一：觀察上面的會(huì)標(biāo)。會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，該圖給出了

迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，表達(dá)了以形證數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想。將代數(shù)

與幾何緊密的結(jié)合在了一起。

【設(shè)計(jì)意圖】

1.培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖和分析數(shù)據(jù)的能力，并通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析得出根本不等式的雛形，

進(jìn)而逐步發(fā)現(xiàn)根本不等式的本質(zhì)和成立條件。

2.鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新和想象能力，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并理解根本不等式

的實(shí)質(zhì)。

師：從圖形上你能觀察到了什么？

生：邊、角、三角形、正方形

師:我們根據(jù)弦圖可知勾股定理，那么我們對(duì)三角形、正方形可以研究哪些數(shù)量關(guān)系呢？

生：正方形和三角形的面積、周長(zhǎng)，根據(jù)給的邊可以求。

師：那么面積之間又有怎樣的關(guān)系呢？

生：大正方形面積/+〃，四個(gè)直角三角形面積2ab,并且/+。2〉24〃。

師：僅此而已嗎？你還能發(fā)現(xiàn)怎樣的關(guān)系？

生：還會(huì)相等。a=6時(shí)會(huì)相等。

［教師投影展示取等號(hào)的條件，證明學(xué)生的想法是正確的。）

結(jié)論：a2+b2?2ab〔當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào)）

師：你能給出證明嗎？〔此問(wèn)題學(xué)生口述即可）

生：由?+/?2",則一2曲？0D（?-b）2?0恒成立。則a=b時(shí)取等號(hào)。

師：一般的我們都用。，〃表示，那么假設(shè)將上式中的a,b換成0,4b,你又會(huì)

得出什么結(jié)論？如何證明？

【設(shè)計(jì)意圖】

用代數(shù)的方法證明根本不等式，進(jìn)而使學(xué)生加深對(duì)根本不等式的理解，理解根本不等式

中不等號(hào)和等號(hào)成立的條件；引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手寫出證明過(guò)程，并自我總結(jié)歸納根本不等式

運(yùn)用的條件，有利于學(xué)生準(zhǔn)確、靈活應(yīng)用。

生：a+b?2s/ab（aQ,b＞0）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

師：很好，還可以寫成

0,。＞0）,如何證明這個(gè)結(jié)論成立呢？

2

生投影展示：要證土J法，只要證a+6?2j茄，只要證a+6-2J茄？0,只要

2

證（--布）2?0,顯然式子成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=6取等號(hào)。

師：這樣我們又一次得到了根本不等式。根據(jù)以上證明學(xué)生已經(jīng)根本了解了根本不等式

的形式

和推導(dǎo)方法，同學(xué)們是否真正理解了根本不等式的含義。

探究二：如右圖，是圓的直徑，點(diǎn)。是上的一點(diǎn)，AC=a,3C=b。過(guò)點(diǎn)C作

垂直于的弦￡）￡,連接A。、BD。你能利用這個(gè)圖形，得出J拓？學(xué)（a0力＞0）

的幾何解釋嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】

對(duì)圖形進(jìn)一步分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)不僅能以數(shù)證

形，尋找數(shù)量關(guān)系的幾何解釋，還可以通過(guò)對(duì)圖形的觀察分析以形識(shí)數(shù)，進(jìn)而完善前面的代

數(shù)結(jié)論。

（學(xué)生口述證明過(guò)程，教師給以引導(dǎo)）

證明：因?yàn)镈1CD?DBCD,所以CD=J拓。

由于CD小于或等于圓的半徑，

用不等式表示為J茄？（a0力＞0）

顯然不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心結(jié)合,

即當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立

結(jié)論：〔教師投影展示學(xué)生口述結(jié)果）

益是a、匕的幾何平均數(shù)，上是。、〃的算術(shù)平均數(shù)。

2

代數(shù)解釋是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。

幾何解釋為半弦不大于半徑。

師：以上利用代數(shù)法和幾何法推導(dǎo)根本不等式，過(guò)程詳細(xì)，內(nèi)容明確，學(xué)生們對(duì)根本不等

式理解了嗎？我們來(lái)看看以下幾個(gè)問(wèn)題是否正確？

例：判斷對(duì)錯(cuò)

(1)由。,biR,則a+b?。()

[2)假設(shè)x<0,則x+工？2。〔)

X

(3)當(dāng)。吸0時(shí)，色S3而。〔)

2

(4)函數(shù)y=%+工的最小值為2.()

x

【設(shè)計(jì)意圖】

考查學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)掌握的情況，是否真正理解了根本不等式并能注意運(yùn)用公式時(shí)需

要注意的條件，從而真正意義上理解不等式的含義。

〔學(xué)生先獨(dú)立思考，組內(nèi)再探討，最后小組派代表解答。)

師：根本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最值問(wèn)題的有力工具，看下面的例

題。

合作探究：下面兩道例題都由學(xué)生先獨(dú)立完成，然后組內(nèi)探討，最后組內(nèi)出代表完成。

例：[1)用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多

少時(shí)，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】

1.總結(jié)歸納利用根本不等式求最值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化。

2.培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際生活中對(duì)不等式的感性認(rèn)識(shí)提煉為理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，感受不等式和

生活的緊密聯(lián)系和指導(dǎo)意義。

解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則孫=100,籬笆的長(zhǎng)為2(x+y)m.

由三?3而，可得x+y?2j麗，2（x+y）?40。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此

時(shí)x=y=10.

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40nl.

師：完成此例題你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：乘積是定值的時(shí)候，和取最值，并且為最小值。

師：很好，那總結(jié)個(gè)規(guī)律該怎么說(shuō)呢？〔學(xué)生嘗試說(shuō)，最后教師完善〕

結(jié)論1：積定和最小。

師：看看下面這道例題，你又會(huì)得到什么結(jié)論呢？

12）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園

的面積最大.最大的面積是多少？

解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm,寬為ym,則2（尤+y）=36,x+y=18,矩形菜園的

面積為呼rtf.由?工；.=9,可得xy￡81,

當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=丁，即尤=y=9,等號(hào)成立。

因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9nl時(shí)，菜園的面積最大，最大的面積是

師：此題做完你又有什么想法呢？

生：和定積最大?！灿缮厦娴念}引導(dǎo)學(xué)生會(huì)很快得出結(jié)論）

師：由上面例題，同學(xué)們，能總結(jié)一下運(yùn)用根本不等式解題需要滿足的條件嗎？（根據(jù)

前面學(xué)習(xí)學(xué)生會(huì)說(shuō)出至少兩點(diǎn)）

生：a力都為正數(shù)，取最值的條件是a=6

師：例題中運(yùn)用公式取到最值的前提必須有什么？（通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生會(huì)想到定值〕

生：有一個(gè)是定值。

師：好，那我們給運(yùn)用根本不等式滿足的條件一個(gè)口訣吧？

（生嘗試去說(shuō)，但不一定簡(jiǎn)便，但用自己的思維方式說(shuō)印象會(huì)更深）

師：~■正、二定、三相等。

師：那我們?nèi)绾芜\(yùn)用根本不等式都能求哪些最值得題型呢？下節(jié)課我們?cè)傺芯俊?/p>

五、課堂總結(jié)

1、本節(jié)課你學(xué)到了什么？

2、你還有哪些疑問(wèn)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提問(wèn)讓學(xué)生在頭腦中形成自己的知識(shí)體系，自己總結(jié)檢驗(yàn)本節(jié)課的聽

課效果，是否還有自己沒聽懂的問(wèn)題一下就清楚了。

六、課后作業(yè)

教材P113練習(xí)1、2、3.習(xí)題A組2、3

【設(shè)計(jì)意圖】穩(wěn)固訓(xùn)練本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容并且給學(xué)生一個(gè)完整的獨(dú)立思考，自主學(xué)習(xí)的時(shí)

機(jī)。

七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

不等式對(duì)高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)不陌生，但根本不等式則是一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)

教材中，讓學(xué)生又學(xué)會(huì)一種求函數(shù)最值得方法，所以學(xué)生只有真正理解了才會(huì)用起來(lái)得心應(yīng)

手。