河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段性學(xué)業(yè)檢測(cè)題理含解析

PAGE1-河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月階段性學(xué)業(yè)檢測(cè)題理（含解析）說(shuō)明：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.2.將試題卷中題目的答案填（涂）在答題卷（答題卡）的相應(yīng)位置.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.-1 D.【答案】A【解析】依據(jù)定義可得的虛部，故選A.2.假如10N力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長(zhǎng)6cm，則力所做的功為A.0.12J B.0.18J C.0.26J D.0.28J【答案】B【解析】【分析】由求得彈性系數(shù)，再由求得所做功．【詳解】，∵，∴，∴在彈性限度內(nèi)將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置處，克服彈力所做的功為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系，解題關(guān)鍵是求出彈性系數(shù)，然后依據(jù)彈性勢(shì)能公式求出彈簧拉升時(shí)所做功．3.用反證法證明命題“若,則,全為0（）”其反設(shè)正確的是（）A.,至少有一個(gè)為0 B.,至少有一個(gè)不為0C.,全不為0 D.,中只有一個(gè)為0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)反設(shè)的定義干脆推斷即可.【詳解】“,全為0（）”的反設(shè)為“,不全為0（）”即“,至少有一個(gè)不為0”.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法中的反設(shè)問(wèn)題,其中“全為”的反面為“不全為”或“至少有一個(gè)不”.屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，由此解方程求得值.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，且，則在復(fù)平面中所表示的點(diǎn)在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】A【解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義可得在復(fù)平面中所表示的點(diǎn)第一象限，故選A.6.在平面直角坐標(biāo)系中，由直線，，與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由上圖可得所求的面積為，故選D.7.記為虛數(shù)集,設(shè),則下列類比所得的結(jié)論正確的是（）A.由,類比得B.由,類比得C.由,類比得D.由,類比得【答案】B【解析】分析：依次推斷每個(gè)結(jié)論是否正確，留意類比后變量的取值范圍.詳解：設(shè)，則；A錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，則，但不能比較大小，即是錯(cuò)誤的，D錯(cuò)誤，只有B正確.故選B.點(diǎn)睛：對(duì)于選擇題中要只有一個(gè)命題正確的選項(xiàng)問(wèn)題，可以用特別值法進(jìn)行解除，即舉反例說(shuō)明某些命題是錯(cuò)誤，最終只剩下一個(gè)命題肯定是正確.本題說(shuō)明實(shí)數(shù)集的結(jié)論有很多在虛數(shù)集中不能成立，因此在解題時(shí)不能隨意引用.8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿意，則＝()A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后把代入到導(dǎo)函數(shù)中，得到一個(gè)方程，進(jìn)行求解．【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得把代入得，干脆可求得．【點(diǎn)睛】本題主要是考查求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題．本題值得留意的是是一個(gè)實(shí)數(shù)．9.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時(shí)，從””變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的因式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：依題意，可寫出時(shí)成立的等式與時(shí)成立的等式，二者相除即可得到結(jié)論.詳解：由題意“”時(shí)，左邊為，“”時(shí)，左邊為，從而可得增加兩項(xiàng)為，且削減項(xiàng)為，故選D.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，理清從“”變到“”時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的改變是關(guān)鍵，屬于中檔題.項(xiàng)數(shù)的改變規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順當(dāng)?shù)玫浇鉀Q，關(guān)鍵是留意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的改變規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的改變規(guī)律.10.在區(qū)間上，函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q與g(x)＝2x＋在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()A. B.C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】先利用基本不等式求得函數(shù)的最小值，以及此時(shí)x的值，進(jìn)而依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列方程組求得p和q，最終依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在所給區(qū)間上的最大值．【詳解】依據(jù)基本不等式可得，==3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．所以對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也取得最小值3，即，另一方面，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值3所以所以，，所以其對(duì)稱軸，所以的最大值為=4，答案選D．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)位置，應(yīng)能嫻熟應(yīng)用，屬于中檔題．11.若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”．下列方程：①；②；③；④對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（）A.①② B.①④ C.②③ D.③④【答案】C【解析】【詳解】①是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②在處的切線都是故②有自公切線．③，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④，即，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線．故答案為C．12.已知，其中，假如存在實(shí)數(shù)，使，則的值（）A.必為正數(shù) B.必為負(fù)數(shù) C.必為非負(fù)數(shù) D.必為非正數(shù)【答案】B【解析】【分析】求出的解，從而可推斷，，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】，因?yàn)榇嬖冢沟?，故，即令，故，，又，故即，故，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的的最值、函數(shù)與不等式，涉及函數(shù)與不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維實(shí)力、等價(jià)轉(zhuǎn)化實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，綜合性強(qiáng)，屬于較難題型.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)____________.【答案】，【解析】【分析】求出，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可得解．【詳解】因?yàn)?，所以?所以，令，解得：或.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．14.函數(shù)，則________.【答案】；【解析】【分析】依據(jù)定積分運(yùn)算法則以及定積分的幾何意義計(jì)算可得答案.【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的運(yùn)算法則以及定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15.在等差數(shù)列中，若，則有：（，且）成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則有______.【答案】（，且）【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合類比的規(guī)則，得出答案幾何【詳解】在等差數(shù)列中，若，則有：（，且）成立故相應(yīng)的在等比數(shù)列中，若則有：（，且）證明如下：時(shí)，左邊右邊故有當(dāng)取其它數(shù)時(shí)同理可證故答案為：（，且）【點(diǎn)睛】本題考查的是等差等比數(shù)列的性質(zhì)及類比推理，較簡(jiǎn)潔.16.已知函數(shù)，，若對(duì)隨意，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】試題分析：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),，若,,為增函數(shù);若,或,為減函數(shù)；在上有極值,在處取微小值也是最小值；,對(duì)稱軸,,當(dāng)時(shí),在處取最小值；當(dāng)時(shí),在處取最小值；當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),；對(duì)隨意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,當(dāng)時(shí),,計(jì)算得出,故無(wú)解;當(dāng)時(shí),,計(jì)算得出,綜上:,因此，本題正確答案是:.考點(diǎn)：函數(shù)最值問(wèn)題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問(wèn)題.解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)題意對(duì)隨意,存在,使轉(zhuǎn)化為求的最小值大于等于的最小值即可.類似地這種問(wèn)題還有存在,存在,使，則轉(zhuǎn)化為求的最大值大于等于的最小值.解決這種問(wèn)題肯定要正確轉(zhuǎn)化.三、解答題：本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.復(fù)數(shù)，其中（1）若，求的模；（2）若是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或.【解析】（1），則，則，∴的模為.（2）因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得或故或.18.設(shè)函數(shù).（1）對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化條件得恒成立，令即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的微小值、極大值，轉(zhuǎn)化條件得或，即可得解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，，即恒成立，所以，可得，所以的最大值為；?）因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取微小值；所以當(dāng)或時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)根.所以或即或，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式恒成立問(wèn)題的求解，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用，解得，再檢驗(yàn)可得答案；（2）求導(dǎo)后，對(duì)分和探討，依據(jù)可得增區(qū)間，可得遞減區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得（舍）或經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以.（2）若，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；若，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.綜上所述：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，考查了分類探討思想，考查了由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.20.已知兩地的距離是，按交通法規(guī)規(guī)定，兩地之間的馬路車速應(yīng)限制在，假設(shè)汽油的價(jià)格是6元/升，以速度行駛時(shí)，汽車的耗油率為，司機(jī)每小時(shí)的工資是36元，那么最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？假如不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用是多少？【答案】最經(jīng)濟(jì)的車速約為；假如不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用約為240元.【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)可得，，利用導(dǎo)數(shù)可求該函數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)汽車以行駛時(shí)，行車的總費(fèi)用，，所以，令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的微小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)車速為時(shí)，行車總費(fèi)用最少，此時(shí)最少總費(fèi)用（元）.答：最經(jīng)濟(jì)的車速約為；假如不考慮其他費(fèi)用，這次行車的總費(fèi)用約為240元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值、函數(shù)與方程，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維實(shí)力、等價(jià)轉(zhuǎn)化實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，具有肯定的綜合性，屬于中檔題型.解決本題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上建立函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)工具求得最優(yōu)解.21.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意.（1）計(jì)算的值，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得；，得，得猜想（2）證明：（?。┊?dāng)時(shí)，明顯成立，（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，整理得：，即結(jié)合，解得于是對(duì)于一切的自然數(shù)，都有.22.設(shè)函數(shù).（1）推斷能否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）若存在，使得定義在上的函數(shù)在處取得最大值，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）能（2）【解析】（1）能，理由如下：，，令，得；當(dāng)時(shí)，，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，是的微小值點(diǎn).（2）由題意，當(dāng)時(shí)