2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市四校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市四校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．按序給出兩類元素，類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在兩類中各取1個元素組成1個排列，則類中選取的元素排在首位，類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)為（

）A．240 B．200 C．120 D．60【答案】C【分析】根據(jù)乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：從類中取1個元素有10種取法，從類中取1個元素有12種取法，則共有種取法.故選：C.2．若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】由數(shù)量積的定義計算．【詳解】．故選：C．3．已知A與B是兩個事件，P(B)＝，P(AB)＝，則P(A|B)等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率公式可直接求得.【詳解】由條件概率的計算公式，可得P(A|B)＝.故選：D.4．從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人參加“我愛我的祖國”主題活動.要求入選的3人中至少有一名教師，則不同的選取方案的種數(shù)是（

）A．20 B．55 C．30 D．25【答案】D【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計算從2名教師和5名學(xué)生中選出3人的選法，再計算其中“入選的3人沒有教師”的選法數(shù)目，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人，有種選法，若入選的3人沒有教師，即全部為學(xué)生的選法有種，則有種不同的選取方案，故選：D．5．已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（

）．A． B．97 C． D．61【答案】C【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而求出的值.【詳解】∵，∴，故選：C.6．二項式的展開式中第3項的二項式系數(shù)為（

）A． B．56 C． D．28【答案】D【分析】二項式展開式的第k+1項的二項式系數(shù)為，進(jìn)而得到答案.【詳解】二項式展開式第三項的二項式系數(shù)為.故選：D.7．在三棱錐中，、、兩兩垂直，，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量中是平面的法向量的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)平面的一個法向量為，利用，求出、的值，可得出向量的坐標(biāo)，然后選出與共線的向量坐標(biāo)即可.【詳解】，，設(shè)平面的一個法向量為，由則，解得，．又，因此，平面的一個法向量為.故選：A.【點睛】本題考查平面法向量的計算，熟悉法向量的計算方法是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為（，且A，B，C不同時為零），點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離d等于（

）A． B． C．2 D．5【答案】B【分析】欲求底面中心到側(cè)面的距離，先利用建立空間直角坐標(biāo)系求出點A，B，P的坐標(biāo)，及側(cè)面的方程，最后利用所給公式計算即可．【詳解】以底面中心為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)平面的方程為，將點A，B，P的坐標(biāo)代入計算得，，，所以方程可化為，即，所以．故選：B.【點睛】本小題主要考查點、線、面間的距離計算、空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、空間直角坐標(biāo)系中點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．二、多選題9．若，則正整數(shù)x的值是（

）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】AC【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)，直接計算結(jié)果.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)可知或，解得：或.故選：AC10．對于，，下列排列組合數(shù)結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】對于A、D：分別計算左右兩側(cè)，即可判斷是否成立；對于B：由組合數(shù)的性質(zhì)直接判斷；對于C：由直接判斷；【詳解】對于A：,，所以.故A正確；對于B：由組合數(shù)的性質(zhì)直接得到.故B正確；對于C：因為，所以.故C錯誤；對于D：，而，所以.故D錯誤.故選：AB11．給出下列命題，其中正確的有（

）A．空間任意三個向量都可以作為一個基底B．已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．，，，是空間中的四個點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么，，，共面D．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底【答案】BCD【分析】作為空間中基底的性質(zhì)，結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】A：空間中共面的三個向量不能作為基底，故錯誤；B：向量，即，可平移到一條直線上，它們與其它任何向量都會共面，故不能作為基底，正確；C：，，不能構(gòu)成空間的一個基底，即它們共面，則，，，共面，正確；D：是空間的一個基底，即它們不共面，由即共面，故與不共面，則是空間的一個基底，正確.故選：BCD12．甲箱中有個白球和個黑球，乙箱中有2個白球和個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩兩互斥 B．C．事件與事件相互獨立 D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】因為每次取一球，所以是兩兩互斥的事件，故A項正確；因為，，故B項錯誤；又，所以，故D項正確.從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨立，故C項錯誤.故選：AD三、填空題13．若的展開式中第4項的系數(shù)是160，則______.【答案】1【分析】根據(jù)給定的二項式直接求出第4項，結(jié)合已知系數(shù)計算作答.【詳解】的展開式中的第4項為，依題意，，解得，所以.故答案為：114．已知，，且，則向量與的夾角為__________．【答案】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求出的值，可求得，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知條件可得，解得，所以，，，，因此，.故答案為：.15．已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于___________.【答案】4【分析】由，，三向量共面知，，從而根據(jù)坐標(biāo)表示形式求得參數(shù)值即可.【詳解】由，，三向量共面知，設(shè)，（為實數(shù)），即，解得，，故答案為：416．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】根據(jù)間隔排列知兩端均為“冰墩墩”,可以先排【詳解】先排“冰墩墩”中間有三個空，再排“雪容融”，則.故答案為：144.四、解答題17．用0，1，2，3，…，9十個數(shù)字可組成多少個不同的(1)三位數(shù)？(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(3)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？【答案】(1)900(2)648(3)379【分析】（1）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算出正確答案.（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算出正確答案.（3）根據(jù)分類加法、分步乘法計數(shù)原理計算出正確答案.【詳解】(1)由于0不能在百位，故百位上數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法．所以不同的三位數(shù)共有個．(2)百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．(3)滿足條件的一位自然數(shù)有10個，兩位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，由分類加法計數(shù)原理知共有個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．18．已知空間三點，，，設(shè)，，(1)求和夾角的余弦值；(2)設(shè)，，求的坐標(biāo)．【答案】(1).(2)或.【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)表示求、的坐標(biāo)，再由向量夾角的坐標(biāo)表示求和夾角的余弦值；（2）由向量平行有且，寫出關(guān)于的坐標(biāo)，再由空間向量模的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，即可知的坐標(biāo)．【詳解】(1)由題設(shè)，，，∴.(2)由題設(shè)，，由，即且，∴，則，即，∴或.19．已知，求：（1）的值；（2）及的值；（3）各項二項式系數(shù)和.【答案】（1）；（2），；（3）.【分析】令，利用賦值法可得：（1）；（2），；（3）各項二項式的系數(shù)和為.進(jìn)而可得解.【詳解】令.（1）；（2）由賦值法可得，所以，，；（3）該二項式展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題考查利用賦值法求解各項系數(shù)和以及奇數(shù)項、偶數(shù)項的系數(shù)和、二項式系數(shù)和，考查計算能力，屬于中等題.20．某機(jī)構(gòu)對某品牌機(jī)電產(chǎn)品進(jìn)行了質(zhì)量調(diào)查，下面是消費者關(guān)于質(zhì)量投訴的數(shù)據(jù)：擦傷凹痕外觀合計保質(zhì)期內(nèi)保質(zhì)期后合計(1)如果該品牌機(jī)電產(chǎn)品收到一個消費者投訴，那么投訴的原因不是凹痕的概率是多少？(2)如果該品牌機(jī)電產(chǎn)品收到一個消費者投訴，且投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)，那么投訴的原因是產(chǎn)品外觀的概率是多少？(3)已知投訴發(fā)生在保質(zhì)期后，投訴的原因是產(chǎn)品外觀的概率是多少？(4)若事件：投訴的原因是產(chǎn)品外觀，事件：投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)，則和是獨立事件嗎？【答案】(1)(2)(3)(4)不是相互獨立事件.【分析】（1）根據(jù)條件概率公式直接計算；（2）根據(jù)條件概率公式直接計算；（3）根據(jù)條件概率公式直接計算；（4）由獨立事件概率乘法公式直接判斷.【詳解】(1)解：由已知得投訴的原因不是凹痕的概率為；(2)解：由已知得投訴發(fā)生在保質(zhì)期內(nèi)，投訴的原因是產(chǎn)品外觀的概率為；(3)解：投訴發(fā)生在保質(zhì)期后，投訴的原因是產(chǎn)品外觀的概率為；(4)解：由已知得，，，所以不相互獨立.21．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．【答案】（1）＝＋＋；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【詳解】解：（1）＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋（－）＝＋＋，又＝，＝，＝，∴＝＋＋．（2）∵AB＝AC＝AA1＝1，∴||＝||＝||＝1．∵∠BAC＝90°，∴＝0．∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴＝＝，∴||2＝（＋＋）2＝（＋＋＋2＋2＋2）＝，∴||＝．22．如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積證明，,由線線垂直證明線面垂直，即得證（2）由