線性代數-課件-1

主編管典安倪臣敏主審謝志春線性代數普通高校應用型人才培養(yǎng)試用教材大連理工大學出版社行列式起源于解線性方程組，是線性代數中的一個重要研究對象，它是學習矩陣、線性方程組等時要用到的一個有力工具。行列式在數學、物理、力學以及其他學科中有著廣泛的應用?？死▌t是一類線性方程組的一個重要解法。本文主要介紹行列式的定義、性質和計算，以及它在解線性方程組中的應用———克拉默法則。1.1.1二階和三階行列式在中學階段曾學過解兩個方程兩個未知數的線性方程組用消元法求解時,第一個等式兩邊同乘以a22,第二個等式兩邊同乘以a12,然后兩式相減消去x2

得(a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12;類似地,消去x1

得

(a11a22-a12a21)x2=b2a11-b1a21.當a11a22-a12a21≠0時,求得方程組(1)的解為注意到式(2)中的分子和分母都是由四個數分兩對相乘再相減而得.為了便于記憶這些解的公式,我們把表達式a11a22-a12a21記為并把式(3)稱為二階行列式,稱a11a22-a12a21為式(3)的行列式展開式,即二階行列式含有兩行兩列(橫排叫行，豎排叫列)，稱aij(i=1,2;j=1,2)為行列式的元素或元，aij

的兩個下標表示其在行列式中的位置，第一個下標i稱為行標，表示元素aij

所在的行；第二個下標j稱為列標，表示元素aij

所在的列.容易看出，二階行列式表示一個數，它等于(如圖1-1)實連線(主對角線)兩數之積減去虛連線(次對角線)兩數之積.圖1-1根據二階行列式的定義,式(2)的分子也可以寫成行列式從而式(2)可寫成若記則二元線性方程組(1)的解是兩個二階行列式的除法注意到,解式(4)、式(5)的分母行列式D由未知數x1

和x2

前系數按照原來的位置排列而成,稱D

為二元線性方程組(1)的系數行列式,bi

稱為第i

個方程的常數項(i=1,2).解x1對應的分子D1,由b1,b2

按照方程中位置排為一列替換掉D

的第一列而得,解x2

對應的分子D2,由其替換掉D

的第二列而得.進一步考察三元線性方程組類似前面的討論,先分別通過前兩式和后兩式消去一個未知數x3,得到含x1和x2的兩個二元線性方程組,再從此二元線性方程組中消去x2,最終可得到下面一元線性方程若對xi

前面系數引入下面記號稱式(7)表示的數為三階行列式，并稱D為三元線性方程組(6)的系數行列式.同理式(3)為二元線性方程組(1)的系數行列式.三階行列式由三行三列共9個元素組成,它的展開式(式(7)右端)可按下面對角線法則給出(如圖1-2):圖1-2由三階行列式的對角線法則得于是,當D≠0時,x1

可表示為同理可得其中容易看出,當系數行列式D≠0時,三元線性方程組(6)有唯一解.注意到式(8)中xj(j=1,2,3)的分母是三元線性方程組(6)的系數行列式,Dj(j=1,2,3)分別是在系數行列式D

中把第j

列元素換成右端常數項b1,b2,b3

而得到.這和二元線性方程組的解式(4)、式(5)有同樣的規(guī)律性,像式(5)、式(8)這樣求解線性方程組的方法稱為克拉默法則.計算下列行列式例１計算下列行列式1.1.2克拉默法則

定理1(克拉默法則)對含有n

個未知數x1,x2,…,xn

和n

個線性方程的如下方程組(注意方程的個數要等于未知數的個數)若其系數行列式不等于0,即則n

元線性方程組(9)有唯一解:其中Dj

是將系數行列式D

中第j

列的元素用方程組右端的常數項b1,b2,…,bn

代替后所得到的行列式,即形如定理1中D

和Dj

由n

行n

列元素排成的行列式,稱為n

階行列式.

注意：關于n

個線性方程的方程組的系數行列式的定義在本章1.3節(jié)給出.解下列方程組例２

解法1

可以用消元法求解(略).由于系數行列式

解法2

利用克拉默法則求解由克拉默法則得原方程組有唯一解

注意：只有當D≠0時,才能用克拉默法則求出唯一解,且克拉默法則只適用于方程個數與未知量個數相等的情形.若D=0或者方程個數與未知量個數不相等,則方程組可能無解或者有多于一個解.當λ取何值時,線性方程組例３

解由克拉默法則可知,當系數行列式不等于零時,原線性方程組有唯一解.由有唯一解?令D=0解得λ=5或λ=2或λ=8故當λ≠5,λ≠2且λ≠8時,原線性方程組有唯一解.A組

答案1.求下列二、三階行列式的值.(1)-2;(2)0;(3)-4;(4)2;(5)-24.A組2.用克拉默法則求解下列方程組.

答案B組1.當λ,μ

取何值時,線性方程組

答案只有唯一解?λ≠1且μ≠0.B組2.求三階行列式的值.

答案(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2).為了引入n

階行列式的定義,在本節(jié)中介紹排列和逆序數的概念及其簡單性質.在中學階段,我們學習了排列的概念,把n(n≥2)個不同的元素按一定順序排成一行,稱為這n個元素的一個排列.下面只討論由前n

個自然數1,2,…,n

構成的排列.

定義1

由1,2,…,n

這n

個數排成的有序數組稱為一個n

階排列.稱123…n

為自然排列.如132是一個3階排列,由1,2,3三個自然數組成的3階排列還有

123,213,231,312,321,其中123為自然排列.

3級排列共有6個,易得n階排列的總數是An=n·(n-1)…2·1=n!個.n

定義2

對于n

個不同的元素,先規(guī)定各元素之間有一個標準次序(例如n

個不同的自然數,可規(guī)定由小到大為標準次序),在這n

個不同元素的任一排列中,當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時,就說該排列有一個逆序.一個排列中所有逆序的總數叫作這個排列的逆序數.逆序數為奇數的排列叫奇排列,逆序數為偶數的排列叫偶排列.下面說明逆序數的計算方法.對于排列p1p2…pn,其逆序數為每個元素的逆序數之和.即對于排列p1p2…pn

中的元素pi(i=1,2,…n),如果排在pi

前面比pi大的元素有ti

個,就說pi

的逆序數為ti

個,p1p2…pn全體元素的逆序數之和t1+t2+…+tn=即是這個排列的逆序數,通常記為τ(p1p2…pn).即求τ(32541),τ(42531),并指出這兩個排列的奇偶性.例１解在排列32541中,3排首位,逆序數為0;2的前面比2大的數有一個(3),故其逆序數為1;5是最大數,逆序數為0;4的前面比4大的數有一個(5),故逆序數為1;1的前面比1大的數有4個(3、2、5、4),故逆序數為4.于是這個排列的逆序數為

τ(32541)=0+1+0+1+4=6.6是偶數,故排列32541是偶排列.同理,τ(42531)=0+1+0+2+4=7,從而排列42531是奇排列.容易發(fā)現(xiàn)以上兩個排列僅僅是對換了3和4的位置,排列的奇偶性改變了.

定義3

在一個排列中,任意對調兩個元素,其余元素保持原位置不變,這一過程稱為對換.相鄰兩個元素的對換叫作相鄰對換.定理1

一個排列每經過一次對換都會改變排列的奇偶性.證明

(1)先證相鄰對換的情形設排列為a1…akabb1…bm,對換a

和b

變?yōu)閍1…akbab1…bm.顯然a1,…,ak;b1,…,bm這些元素的逆序數經過對換并不改變,同時,a,b與a1,…,ak

或b1,…,bm

所構成的逆序數也沒有改變.所以,當a<b時,新排列比原排列逆序數加1;當a>b

時,新排列比原排列逆序數減1;不管哪種情形,對換都改變了排列的奇偶性.定理2

在全部n(n≥2)階排列中,奇排列與偶排列個數相等,都等于個.

證明設全部n

階排列中有s

個不同的奇排列和t個不同的偶排列,需證s=t.將每個奇排列的前兩個數作對換,即可得s個不同的偶排列,故s≤t;同理可得,t≤s,即奇、偶排列各一半.

(2)再證一般對換的情形設排列為a1…akac1…csbb1…bm,把它作s次相鄰對換,變?yōu)閍1…akabc1…csb1…bm

;再作s+1次相鄰對換,變?yōu)閍1…akbc1…csab1…bm

.總之,進行了2s+1(奇數)次相鄰對換,a1…akac1…csbb1…bm

變成a1…akbc1…csab1…bm

,所以這兩個排列奇偶性相反.A組

答案1.求下列排列的逆序數.(1)5;(2)8;(3)(1)42153;(2)3712465;(3)n(n-1)…321.2.確定i,j的值,使得213i76j9為偶排列.

答案i=4,j=5.B組

答案1.寫出排列25431變成排列12345的相應對換.2?1;5?2;4?3.2.已知τ(i1i2,…,in)=m,求τ(inin-1,…,i1)

答案1.3.1二階及三階行列式的構造容易看出,式(1)的每一項都是位于不同行、不同列的三個元素的乘積,除去符號,每項的三個元素按它們在行列式中的行的順序排成a1j1a2j2a3j3,其中j1j2j3

是1,2,3的某一個排列.這樣的排列共有6種,對應式(1)右端共6項.觀察各項前的符號,可以看出,當j1j2j3

是偶排列時,對應的項在式(1)中帶有正號,當j1j2j3

是奇排列時帶有負號.因此各項所帶符號可以用排列j1j2j3

的逆序數來表示,即(-1)τ(j1j2j3).上述規(guī)律顯然也適用于二階行列式,由此可將二階和三階行列式表示為表示對1,2兩個數的所有排列求和.表示對1,2,3三個數的所有排列求和.1.3.2n

階行列式的定義定義1將n2

個數排成n

行n

列:稱式(2)為n

階行列式,記為Dn

或者|(aij)|n,也寫作

D=det(aij),i=1,2,…,n;j=1,2,…,n.它的值是一個代數和,即其中(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn

稱為n階行列式的一般項,這里j1j2…jn

是1,2,…,n的一個排列,當j1j2…jn

是偶排列時,該項前帶有正號,當j1j2…jn

是奇排列時,該項前帶有負號.這里表示對1,2,…,n的所有n

階排列求和.當n=1時,一階行列式|a|就等于數a.

注意不要把行列式的符號和絕對值的符號混淆(要根據上下文內容判斷是哪一種).定義1表明,用定義計算n

階行列式,首先做出位于不同行不同列元素乘積的所有項,共有n!項.再把構成這些乘積的元素按行指標排成自然順序,然后由列指標排成的排列的奇偶性來決定這一項的符號.計算行列式例１解(1)由行列式的定義,而除了(-1)τ(4321)1×2×3×4這一項外,其他項均為0,故計算n

階上三角形行列式例２

解根據n

階行列式的定義,只需考慮非零一般項的和即可,D

的一般項為在第n行中,除了ann

外,其余元素為0,故只需考慮jn=n的項ann;在第n-1行中,當jn-1<n-1時,an-1,jn-1=0,即除了an-1,n,an-1,n-1外,其余元素為0,因已經選定jn=n,故只有jn-1=n-1;依此類推,D

的可能不為零的一般項只有一項(-1)τ(12…n)a11a22…ann=a11a22…ann.故

即上三角形行列式的值等于其主對角線上的元素的乘積.形如的行列式稱為n

階下三角形行列式.容易驗證下三角形行列式的值也等于其主對角線上的元素的乘積.即特別地,稱為對角形行列式,顯然其值為a11a22…ann.計算行列式例3解類似例2的分析,Dn

的非零一般項只有一項故同理可得求n

階行列式例4

定理1

n

階行列式的項

前的符號為

,其中i1i2…in

和j1j2…jn

是兩個n

階排列.

證明略,請讀者自行證明.定理1′

n

階行列式也可定義為

證明由定理1,n階行列式的一般項可以寫為通過若干次對換,將列標排列變?yōu)樽匀慌帕?即有一般項為問題得證.A組

答案1.寫出四階行列式中含有a11a23

的項.2.計算行列式

答案2bc-2adA組

答案3.若a13a2ia32a4k,a11a22a3ia4k,ai2a31a43ak4

為四階行列式的項,試確定i和k,使得前兩項帶負號,后一項帶正號.(1)i=4,k=1;

(2)i=4,k=3;(3)i=2,k=1;B組

答案1.計算行列式2.設f(x)=求x3

的系數.

答案８用定義來計算行列式一般是比較麻煩的,本節(jié)介紹行列式的基本性質,運用這些性質,可以簡化行列式的計算.將n階行列式D

的第1,2,…,n行依次變?yōu)榈?,2,…,n列,得到的新行列式稱為D

的轉置行列式,記為DT.即

性質1

D

與它的轉置行列式相等,即D=DT.

D=det(aij),記DT

中第i行j列的元素為bij,則bij=aji.由1.3節(jié)中定理1′根據定義,故D=DT.此性質說明行列式的行和列地位相當,凡是適合行的性質,同樣也適合列.反之亦然.下面的性質證明僅以行為例說明,列的情況類似可證明.證明設交換行列式D

的第s

行和第t行(s<t),設

性質2

互換行列式的兩行(列),行列式變號.注意到式(2)的右端而τ(j1j2…,jt,…js…jn),τ(j1j2…,js,…jt…jn)分別為一奇數、一偶數,故即D=-D1.性質3行列式中某行(列)的公因子提到行列式外面來.即

推論1若一個行列式中有兩行(列)的對應元素相等,則此行列式為零.此性質也可敘述為:用數k乘行列式某一行(列)中所有元素,等于用k乘此行列式.

推論2

若一個行列式中有一行(列)的元素全部為0,則此行列式為零.

推論3

若一個行列式中有兩行(列)的元素對應成比例,則此行列式為零.

性質4

若一個行列式的某行(列)元素都可寫成兩個元素的和,則此行列式可寫成兩個行列式的和.即證明因為

性質5

用行列式的某行(列)的元素乘以k加到其他行(列)的對應元素上去,行列式的值不變.即此性質容易由推論3和性質4推出,它是在行列式計算中經常用到的化簡方法.行列式的計算通常是先通過相關性質將其化為上(下)三角形行列式,再得出計算結果.為了表示的方便,交換第i行(列)與第j行(列),記為ri?rj(ci?cj);將用數k乘以第i行(列)記為k×ri(或k×ci);從第i行(列)提出公因子k記為ri÷k(或ci÷k);以數k乘以第j行(列)加到第i行(列)上,記為ri+krj(ci+kcj).如-2r1+r2

表示第一行乘以-2加到第二行;c2+c1+c3+c4

表示將第1,3,4列都加到第二列上去.計算例１解此行列式特點是各行(列)元素相加和都等于7,將第2,3,4行元素加到第一行對應元素上,再提取第一行的公因式7,然后第一行乘以-2分別加到第2,3,4行可得上三角形行列式,即:計算D=例２計算例３計算Dn=例４

解本行列式從倒數第二行開始,前行乘以-1加到后一行得:計算D=例５

證明因為=a11M11,其中M11=每一項都含有第一行的元素,而D

的第一行中僅有a11≠0,故D

僅含下面形式的項注意到等式右端中括號內正是M11的一般項,所以D=a11M11.A組

答案1.計算下列行列式(1)0;(2)0;A組

答案2.計算行列式D=-2(x3+y3).A組

答案3.計算行列式Dn=[x+(n-1)b](x-b)n-1.B組

答案1.證明:提示:根據行列式的加法拆分.B組

答案2.證明行列式D=略在上一節(jié)中,我們利用行列式的性質可以使得某些行列式的計算大為簡化.本節(jié)我們首先介紹行列式計算的另一個重要方法———按某一行(列)展開的降階處理法,然后再介紹幾種特殊行列式的計算.1.5.1行列式按某一行(列)展開定義1在n階行列式|(aij)|n中,將元素aij

所在的第i行和第j

列劃去,剩下的元素按原排列構成的n-1階行列式,稱為aij

的余子式,記為Mij;記Aij=(-1)i+jMij,稱Aij

為元素aij

的代數余子式.例如四階行列式中由得元素a23的余子式為M23=

a23的代數余子式為A23=(-1)2+3M23=-M23.求D=的第一行元素的代數余子式.為了給出行列式按行(列)展開定理,先給出以下引理.例１

引理1

若n

階行列式D=|(aij)|n的第i

行元素中,除了aij

以外,其余元素均為零,則D=aijAij.

證明

(1)首先討論D

的第一行元素中除了a11≠0外,其余元素均為零的特殊情況.即由1.4節(jié)例5知,D=a11M11.又A11=(-1)1+1M11,從而D=a11A11.

(2)再討論D

的第i

行元素中除了aij≠0外,其余元素均為零的情況.即將D

的第i

行依次與第i-1,…,2,1各行交換后,再將第j列依次與第j-1,…,2,1各列交換,共經過i+j-2次交換D

的行和列,得此時,上式右端行列式即為(1)中討論的類型,故

定理1

n

階行列式的值等于它的任意一行(列)各元素與其代數余子式乘積之和.即或根據引理1得同理可證將D按列展開的情形.定理1叫作行列式的按行(列)展開法則,利用這一法則可將行列式降階,再結合行列式的性質,可以更好地簡化行列式的計算.在計算行列式時,可先用行列式的性質將某一行(列)化為僅含1個非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)殛P于低一階的行列式的計算,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式,計算出結果.計算行列式例２

(2)觀察第二列有一個零元素,利用性質可將此列變換為只含一個非零元素.

推論1

行列式D的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.即或

證明用D

的第i

行元素替換其第j

行元素得新的行列式注意到D1

有兩行元素對應相等,根據性質2的推論1,D1=0.另一方面,將D1

按照第j行元素展開得:所以同理可證:上述定理1及其推論1可總結為或證明范德蒙(Vandermonde)行列式

證明利用數學歸納法1.5.2*行列式的計算例３(2)假設對于n-1階范德蒙行列式結論成立,從第n-1行開始,自上往下,每行都乘以-x1

加到下一行得按第一列展開,并提取公因式(xi-x1)(i=2,…,n)得注意到式(1)右端行列式為一個n-1階范德蒙行列式,由歸納假設,它等于所有(xi-xj)(2≤j<i≤n)因子的乘積.即有注意:本例可作為范德蒙行列式計算的公式,容易看出范德蒙行列式不為零當且僅當x1,…,xn

兩兩不相等.上例中,這種把計算行列式Dn

轉換為計算同類型的行列式Dn-1的方法,稱為遞推法.遞推法在大部分情況下需要借助于數學歸納法來完成.算行列式D2n=例４

解按第一行展開,依此遞推得計算箭形行列式Dn=例５計算行列式例６