高中數(shù)學(xué) 2.1 從平面向量到空間向量基礎(chǔ)達標 北師大版選修2-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.1從平面向量到空間向量基礎(chǔ)達標北師大版選修2-1一、選擇題1．若空間向量a與向量b不相等，則a與b一定()A．有不同的方向 B．有不相等的模C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量[答案]D[解析]a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A，B，C都不正確，只有D正確．2．若命題M：eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))；命題N：四邊形ABB′A′是平行四邊形，則M是N的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]B[解析]由四邊形ABB′A′是平行四邊形，可得eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→)).但是由eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))，只能說明eq\o(AA′,\s\up6(→))與eq\o(BB′,\s\up6(→))是相等向量，eq\o(AA′,\s\up6(→))與eq\o(BB′,\s\up6(→))所在的直線可能平行或共線，并不一定構(gòu)成平行四邊形ABB′A′，所以M是N的必要不充分條件．3．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起點的向量 B．等長向量C．共面向量 D．不共面向量[答案]C[解析]先畫出平行六面體的圖像，可看出向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))在平面ACD1上，由于向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))平行于eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))經(jīng)過平移可以移到平面ACD1上，因此向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))為共面向量．二、填空題4．下列有關(guān)平面法向量的說法中，正確的是________(填寫相應(yīng)序號)．①平面α的法向量垂直于與平面α平行的所有向量；②一個平面的所有法向量互相平行；③如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直；④如果a，b與平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量．[答案]①②③[解析]當a與b共線時，n就不一定是平面α的法向量，故④錯誤．5．在長方體中，從同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為1,2,3，在以長方體的兩個頂點為起點和終點的向量中，模為1的向量有________個．[答案]8[解析]研究長方體模型可知，棱長為1的棱有4條，故模為1的向量有8個．三、解答題6.如圖，正方體ABCD—EHGF，求出平面ABCD所有的法向量，并求出〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))〉．[分析]根據(jù)法向量的概念求解，若直線l垂直于平面ABCD，那么任何與直線l平行的非零向量都為法向量．[解析]平面ABCD所有的法向量有eq\o(DF,\s\up6(→))、eq\o(CG,\s\up6(→))、eq\o(BH,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))、eq\o(FD,\s\up6(→))、eq\o(GC,\s\up6(→))、eq\o(HB,\s\up6(→))、eq\o(EA,\s\up6(→)).由于正方體的三條棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))〉＝90°.一、選擇題1．下列說法中正確的是()A．任意兩個空間向量都可以比較大小B．方向不同的空間向量不能比較大小，但同向的空間向量可以比較大小C．空間向量的大小與方向有關(guān)D．空間向量的?？梢员容^大小[答案]D[解析]任意兩個空間向量，不論同向還是不同向均不存在大小關(guān)系，故A、B不正確；向量的大小只與其長度有關(guān)，與方向沒有關(guān)系，故C不正確；由于向量的模是一個實數(shù)，故可以比較大?。?．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么與直線AMA．eq\o(CN,\s\up6(→)) B．BCC．eq\o(CC1,\s\up6(→)) D．eq\o(B1C1,\s\up6(→))[答案]D[解析]由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三個選項中，通過正方體的圖形可知D項正確．3．已知正方形ABCD的邊長為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則向量eq\o(AG,\s\up6(→))的模為()A．6 B．9C．4eq\r(2) D．5[答案]A[解析]GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC.在Rt△GAC中，AC＝4eq\r(2)，GC＝2，所以AG＝eq\r(AC2＋GC2)＝6，即|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝6.4．如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點為向量端點的所有向量中，直線ABA．8個 B．7個C．6個 D．5個[答案]A[解析]與向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行的向量就是直線AB的方向向量，有eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，共8個，所以選A.[點評]直線的方向向量就是與直線平行的非零向量，對模沒有限制，注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的．5.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的一個必要不充分條件是()A．A與C重合 B．A與C重合，B與D重合C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))| D．A，B，C，D四點共線[答案]C[解析]向量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向線段的起點、終點的位置無關(guān)．表示兩個共線向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合，不能得到四點共線．二、填空題6．在下列命題中：①若a、b為共面向量，則a、b所在的直線平行；②若向量a、b所在直線是異面直線，則a、b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它們都是平行的；④平行于一個平面的向量垂直于這個平面的法向量．其中正確命題的個數(shù)為________．[答案]2[解析]①②是錯誤的，共面向量所在的直線不一定平行，只要能平移到一個平面內(nèi)就可以．7．如圖，在正四棱臺ABCD—A1B1C1D1中，O、O1分別是對角線AC，A1C1的中點，則〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝________，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝________，〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝________.[答案]0°0°90°[解析]由題意得eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一條直線AC上，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq\o(O1C1,\s\up6(→))可平移到直線AC上，與eq\o(OC,\s\up6(→))重合，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°；由題意知OO1是正四棱臺ABCD—A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1⊥A1B1，故〈OO1，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.三、解答題8．一飛機從地面以45°傾角斜著升空，再水平向東飛行一段距離后，然后又水平向正北方向飛行，這樣三次移動eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))是三個空間向量．問：(1)三個向量哪個與水平面平行？(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉和〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的值是多少？[分析]應(yīng)把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，飛機水平飛行時與水平面平行，由圖可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面內(nèi)，并且向量eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于這個平面α.[解析](1)飛機水平飛行時所經(jīng)過的路線與水平面平行，因而三個向量中eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))平行于水平面α.(2)由于向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面內(nèi)，設(shè)為平面β，又由于eq\o(CD,\s\up6(→))為正北方向，所以eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于平面β，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→)).因為eq\o(AB,\s\up6(→))與水平面的夾角為45°，所以得：〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°.9．如圖所示，正四棱錐P—ABCD的底面邊長為1.(1)試判斷向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))中哪個是單位向量；(2)舉出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．[解析](1)單位向量即模為1的向量，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))都是單位向量．(2)由于向量eq\o(DC,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，且模都為1，故eq\o(DC,\s\up6(→))是與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．10．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，F(xiàn)是D1B1(1)問：向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))是否為共面向量？(2)求〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉；(3)寫出平面BB1C[解析](1)向量eq\o(DF,\s\up6(→))在平面D1B1BD上，由于向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))平行于平面D1B1BD，所以向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))都能夠平移到平面D1B1BD上，即向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))是共面向量．(2)在正方體ABC