高中數(shù)學 2.1 第1課時 合情推理練習 新人教B版選修1-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學2.1第1課時合情推理練習新人教B版選修1-2一、選擇題1．關于合情推理，下列說法正確的是()A．歸納推理是一般到一般的推理B．類比推理是一般到特殊的推理C．類比推理的結論一定是正確的D．歸納推理的結論不一定成立[答案]D[解析]歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論不一定正確．2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[答案]C[解析]利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結果為前兩組結果的和．3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，an＝2an－1＋1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的一個表達式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1a3＝2a2a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用歸納推理，猜想an＝2n4．下列哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較為合適()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形[答案]C[解析]只有平行四邊形與平行六面體較為接近，故選C.5．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項是()A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2[答案]D[解析]利用歸納推理可知，第k項中第一個數(shù)為ak－1，且第k項中有k項，且次數(shù)連續(xù)，故第k項為ak－1＋ak＋…＋a2k－2，故選D.6．圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大[答案]A[解析]由圖知：三白二黑周而復始相繼排列，∵36÷5＝7余1，∴第36顆珠子的顏色是白色．二、填空題7．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，由上可得出一般的結論為________．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)[解析]因為3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1).8．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第五個等式應為______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]本題考查學生的推理能力．依據(jù)前4個等式的規(guī)律，第n個等式左側是從n開始的2n－1個自然數(shù)的和，右側是(2n－1)2，所以第五個等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答題9．在平面內觀察，凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，….由此猜想凸n邊形有幾條對角線？[解析]由題意知，f(5)－f(4)＝3，f(6)－f(5)＝4，……f(n)－f(n－1)＝n－2，將上面各式相加得：f(n)－f(4)＝3＋4＋…＋(n－2)，f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3).一、選擇題1．類比三角形中的性質：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于第三邊的一半；(3)三內角平分線交于一點．可得四面體的對應性質：(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積；(2)中位面(以任意三條棱的中點為頂點的三角形)的面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點．其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確，結論也不一定正確．2．觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4,|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8,|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92[答案]B[解析]本題考查了不完全歸納．由已知條件知|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解(x，y)個數(shù)為4n，所以|x|＋|y|＝20不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4×20＝80.歸納體現(xiàn)了由特殊到一般的思維過程．3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c為三邊的邊長，r為三角形內切圓半徑，利用類比推理可以得到四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為4個面的面積，r為四面體內切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h[答案]C[解析]∵三角形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a，b，c為三邊的邊長，r為三角形內切圓半徑，∴四面體的體積V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.S1、S2、S3、S4分別為4個面的面積，r為四面體內切球的半徑．4．定義A*B、B*C、C*D、D*B分別對應下列圖形那么下列圖形中，可以表示A*D、A*C的分別是()A．(1)、(2) B．(2)、(3)C．(2)、(4) D．(1)、(4)[答案]C[解析]由A*B、B*C、C*D、D*B的定義圖形知A為，B為，C為——，D為eq\x().二、填空題5．(～學年度北京高二檢測)觀察下列不等式：①eq\f(1,\r(2))<1；②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)；③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)；…請寫出第n個不等式________．[答案]eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n)[解析]由①eq\f(1,\r(2))<1，即eq\f(1,\r(1×2))<1，由②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))<eq\r(2)，由③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))＋eq\f(1,\r(3×4))<eq\r(3)，故第n個式子為eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n).6．現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為eq\f(a2,4)，類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．[答案]eq\f(a3,8)[解析]兩個正方形重疊部分的面積為(eq\f(a,2))2＝eq\f(a2,4)，類比到空間后，兩個正方體重疊部分的體積為(eq\f(a,2))3＝eq\f(a3,8).三、解答題7．(～學年度聊城高二檢測)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論．[解析](1)選擇②式計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(3,4).(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).8．已知{an}滿足a1＝1,4an＋1－an·an＋1＋2an＝9，寫出a1、a2、a3、a4，試猜想出這個數(shù)列的通項公式．[解析]由4an＋1－anan＋1＋2an＝9得an＋1＝2－eq\f(1,an－4)，∴a2＝2－eq\f(1,a1－4)＝2＋eq\f(1,3)，a3＝2－eq\f(1,a2－4)＝2＋eq\f(3,5)，a4＝2－eq\f(1,a3－4)＝2＋eq\f(5,7)，猜想：an＝2＋eq\f(2n－3,2n－1).9．若a1、a2∈R＋，則有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推廣嗎？請你至少寫出兩個不同類型的推廣．[解析]本例可以從a1，a2的個數(shù)以及指數(shù)上進行推廣．第一類型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二類型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al(4,1)＋