2019-2023歷年高考真題分類專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（解析版）

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題04導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（解答題）函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考知識(shí)點(diǎn)，解答題主要是壓軸題的形式出現(xiàn)，?？碱}型如圖所示：考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)一、解答題1．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.2．（2022·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為3．（2021·全國(guó)甲卷）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)椋詢蛇吶?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.5．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.6．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解法，即可求得的表達(dá)式；（2）方法一：先由，求得的一個(gè)取值范圍，再由，求得的另一個(gè)取值范圍，從而求得的取值范圍.（3）方法一：根據(jù)題意可得兩個(gè)含參數(shù)的一元二次不等式在區(qū)間上恒成立，再結(jié)合放縮，即可利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法由題設(shè)有對(duì)任意的恒成立.令，則，所以.因此即對(duì)任意的恒成立，所以，因此.故.（2）[方法一]令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當(dāng)，即時(shí)，在為增函數(shù)，因?yàn)椋蚀嬖?，使，不符合題意.當(dāng)，即時(shí)，，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立；由已知得，令，得，∴(*)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)在內(nèi)恒成立；由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.∴的取值范圍是.（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法因?yàn)閷?duì)任意恒成立，①對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立.故對(duì)任意恒成立.令，當(dāng)，，此時(shí)，當(dāng)，，但對(duì)任意的恒成立.等價(jià)于對(duì)任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，構(gòu)造函數(shù)，，所以時(shí)，，遞減，.所以，即.[方法二]：判別式法

由，從而對(duì)任意的有恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的①，恒成立．（事實(shí)上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）同理對(duì)任意的恒成立，即等價(jià)于對(duì)任意的恒成立．

②當(dāng)時(shí)，將①式看作一元二次方程，進(jìn)而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；當(dāng)時(shí)，，從而或，又，從而成立；當(dāng)時(shí)，由①式得或，又，所以．當(dāng)時(shí)，將②式看作一元二次方程，進(jìn)而有．由，得，此時(shí)②式的解為不妨設(shè)，從而．綜上所述，．[方法三]【最優(yōu)解】：反證法假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)閷?duì)恒成立，所以有．則有，

③，

④解得．由③+④并化簡(jiǎn)得，．因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，且，所以，．由對(duì)恒成立，即有

⑤對(duì)恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進(jìn)而有．設(shè)，則，所以在區(qū)間上遞減，所以，即．設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．由均為偶函數(shù)．同樣可證時(shí)，也成立．綜上所述，．7．（2019年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.【答案】（1）函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線切線的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋院瘮?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；（2）[方法一]【最優(yōu)解：分別求得兩條方程，比較常數(shù)項(xiàng)說(shuō)明切線重合】設(shè)在點(diǎn)處的斜率為．切線的方程為，即．由，得．所以曲線上斜率為的切線的切點(diǎn)為．切線的方程為，即．由于，故曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線的切線.[方法二]【利用切線的斜率相等進(jìn)行證明】由題設(shè)知，即，曲線在點(diǎn)處的切線l的方程為．設(shè)在曲線上取一點(diǎn)，若其在點(diǎn)B處的斜率與直線l的斜率相等，則有，即，故．將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線l的方程中，，整理得，上式顯然成立．則直線l過(guò)點(diǎn)B，即曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．[方法三]【利用不同的方法計(jì)算斜率證明切線重合】因?yàn)?，所以由，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，解得．因此，曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是．因?yàn)?，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．[方法四]【構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性證明切線重合】因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程是．構(gòu)造函數(shù)，由得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．因此，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．所以曲線與曲線在點(diǎn)處的切線只有一個(gè)交點(diǎn)．又，因此，曲線與直線相切于，即曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：分別求得兩條切線方程比較切線方程的形式是最直接思路；方法二：考查切線斜率相等時(shí)證明切線重合的必要思路；方法三：利用不同的方法計(jì)算切線方程是證明切線重合的有效方法；方法四：構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.8．（2019年全國(guó)高考Ⅲ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)見詳解；(2)或.【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，又因?yàn)?，所以無(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，解得，又因?yàn)椋詿o(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.綜上得或.【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充．考點(diǎn)02恒成立問(wèn)題一、解答題1．（2023全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；（3）令，，即證，由第二問(wèn)結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以命題得證.3．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)椋瑒t，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點(diǎn)切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a=1時(shí)，由得,符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，可證，從而存在零點(diǎn)，使得，得到，利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，利用基本不等式可以證得恒成立；當(dāng)時(shí)，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過(guò)先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．7．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)椋深}意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋O(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．（?。┤?，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法五］：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．．則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：先通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出零點(diǎn)可能所在區(qū)間，再根據(jù)反證法思想即可推出矛盾，是通性通法；方法二：利用零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)存在性定理即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：利用零點(diǎn)的定義結(jié)合題意求出的范圍，然后再由零點(diǎn)定義以及的范圍即可求出所有零點(diǎn)的范圍，從而證出；方法四：由函數(shù)的單調(diào)性討論極大值極小值的符號(hào)，得出的范圍，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證出；方法五：設(shè)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，滿足，再設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為，通過(guò)零點(diǎn)定義找到的關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程存在解的條件以及反證法即可推出矛盾，從而證出．8．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.【詳解】（Ⅰ），令得或者.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；綜上可得所求切線方程為和.（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；而，所以，即；同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的較大者，若，即時(shí)，；若，即時(shí)，；所以當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9．（2019·浙江·高考真題）已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意均有求的取值范圍.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.(2)由題意首先由函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到a的取值范圍，然后證明所得的范圍滿足題意即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，且：，因此函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由，得，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，令，則，設(shè)，，則，（i）當(dāng)時(shí)，，則，記，則列表討論：x（）1（1，+∞）p′（x）﹣0+P（x）p（）單調(diào)遞減極小值p（1）單調(diào)遞增（ii）當(dāng)時(shí)，，令，則，故在上單調(diào)遞增，，由（i）得，，由（i）（ii）知對(duì)任意，即對(duì)任意，均有，綜上所述，所求的a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點(diǎn)03三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一、解答題1．（2023年全國(guó)高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.2．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對(duì)應(yīng)當(dāng).3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目標(biāo)不等式.4．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)[方法一]由題意將所給的式子進(jìn)行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立．所以．[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法因?yàn)椋?，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值．求導(dǎo)得，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，故．[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)利用(2)的結(jié)論由于，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：基本不等式是證明不等式的重要工具，利用基本不等式解題時(shí)一定要注意等號(hào)成立的條件；方法二：齊次化之后切化弦是一種常用的方法，它將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問(wèn)題，然后構(gòu)造函數(shù)即可證得題中的不等式；方法三：周期性是三角函數(shù)的重要特征，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值證明不等式充分體現(xiàn)了三角函數(shù)有界限的應(yīng)用.(3)方法一：利用(2)的結(jié)論體現(xiàn)了解答題的出題思路，逐問(wèn)遞進(jìn)是解答題常見的設(shè)問(wèn)方式；5．（2019·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明【分析】(Ⅰ)由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果和導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論；(Ⅲ)令，結(jié)合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結(jié)論、函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的性質(zhì)放縮不等式即可證得題中的結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由已知，有.當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞增.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(Ⅱ)記.依題意及(Ⅰ)有：，從而.當(dāng)時(shí)，，故.因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而.所以，當(dāng)時(shí)，.(Ⅲ)依題意，，即.記，則.且.由及(Ⅰ)得.由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因此.又由(Ⅱ)知，故：.所以.考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)類綜合問(wèn)題一、解答題1．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程可得實(shí)數(shù)的值，最后檢驗(yàn)所得的是否正確即可；(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱，由題意可得，由對(duì)稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.2．（2022·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握3．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)椋?，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.4．（20122年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.5．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目標(biāo)不等式.6．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時(shí)，，即．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時(shí)，成立和當(dāng)時(shí)，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得，通性通法，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.7．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)