考點(diǎn)5 數(shù)列-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)創(chuàng)新題訓(xùn)練（含解析）

考點(diǎn)5數(shù)列—高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)創(chuàng)新題訓(xùn)練1.古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請(qǐng)馬上告訴我，半個(gè)月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個(gè)問(wèn)題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為()A.413 B.427 C.308 D.1332.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②，；③，，.定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，則為“s數(shù)列”B.若，則為“t數(shù)列”C.若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”D.若為“t數(shù)列”，則為“s數(shù)列”3.公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問(wèn)題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問(wèn)每人各得玉米多少斗？”在上述問(wèn)題中，前五人得到的玉米總量為()A.斗 B.斗 C.斗 D.斗4.如圖，，，，，…均為直角三角形，A，C，D，E，…為直角頂點(diǎn)，，且，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，則()A. B. C. D.5.某電動(dòng)汽車剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5月1日向銀行貸款a元用來(lái)購(gòu)買該電動(dòng)汽車，銀行貸款的月利率是t，并按復(fù)利計(jì)息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清(即用12個(gè)月等額還款)，則小胡每個(gè)月月底需要還款()A.元 B.元 C.元 D.元6.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的4倍，則n的值為()A.5 B.4 C.3 D.27.《張邱建算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布()A.尺 B.尺 C.尺 D.尺8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為()A.228里 B.192里 C.126里 D.63里9.（多選）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.則下列說(shuō)法正確的是()A.此人第六天只走了5里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C.此人第二天走的路程比全程的還多1.5里D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍10.（多選）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中編織了一個(gè)“九兒?jiǎn)柤仔眴?wèn)題：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知；自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七；借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲？各兒歲數(shù)要詳推.如果按兒子的歲數(shù)從大到小排列，假設(shè)公公20歲時(shí)生第一個(gè)兒子，則（）A.第五個(gè)兒子歲數(shù)是23歲 B.最大兒子歲數(shù)為38歲C.最小兒子歲數(shù)是11歲 D.生最小兒子時(shí)，公公是44歲11.某牧場(chǎng)2015年初牛的存欄數(shù)為1200頭，以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出90頭牛，那么在2024年初牛的存欄數(shù)是多少_____________.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）12.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問(wèn)：五人各得幾何？”其意思為：“有依次為第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5個(gè)諸侯分60個(gè)橘子，他們分得的橘子個(gè)數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少橘子.”根據(jù)這個(gè)問(wèn)題，可以得到第二等諸侯分得的橘子個(gè)數(shù)是______.13.2022年北京冬奧會(huì)開幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明，傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌，現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來(lái).我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為________尺.14.“綠水青山就是金山銀山”，治理垃圾是改善環(huán)境的重要舉措之一.去年某地區(qū)產(chǎn)生的垃圾排放量為300萬(wàn)噸，通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列治理措施，預(yù)計(jì)從今年開始，連續(xù)6年，每年的垃圾排放量比上一年減少10萬(wàn)噸，從第7年開始，每年的垃圾排放量為上一年的90%.（1）求該地區(qū)從今年開始的年垃圾排放量關(guān)于治理年數(shù)的函數(shù)解析式；（2）該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“年垃圾排放量不高于150萬(wàn)噸”這一目標(biāo)，那么至少要經(jīng)過(guò)多少年?（3）設(shè)為從今年開始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有顯著效果的；否則，認(rèn)為無(wú)顯著效果，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有顯著效果，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：，，，）15.去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬(wàn)噸，其中14萬(wàn)噸垃圾以填埋方式處理，6萬(wàn)噸垃圾以環(huán)保方式處理.預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量增長(zhǎng)，同時(shí)，通過(guò)環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬(wàn)噸.記從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬(wàn)噸）構(gòu)成數(shù)列.（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請(qǐng)求出從今年起n年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量的計(jì)算公式，并計(jì)算從今年起5年內(nèi)通過(guò)填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬(wàn)噸）.（參考數(shù)據(jù)：，，.）

答案以及解析1.答案：A解析：由題知，本題滿足等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公差為d，則，.則通項(xiàng)公式，，，則這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為：.故選：A.2.答案：A解析：若，則，滿足①，，，，因?yàn)?，所以，，滿足②，故A正確；若，則，滿足①，，令，若n為奇數(shù)，此時(shí)，存在，且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿足，若n為偶數(shù)，此時(shí)，則此時(shí)不存在，使得，綜上：B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，此時(shí)滿足，也滿足，，，即，，但不滿足③，，，因?yàn)?，綜上C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不妨設(shè)，滿足，且，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取，使得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取，使得，故為“t數(shù)列”，但此時(shí)不滿足，，不妨取，，則，，，而，則不是“s數(shù)列”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.3.答案：A解析：由題意記10人每人所得玉米時(shí)依次為，，…，則時(shí)，，，3，…，10即是等比數(shù)列，由已知，，（斗）.故選：A.4.答案：C解析：根據(jù)題意，這些直角三角形是相似的，并且相鄰兩個(gè)三角形的相似比為，從而這些三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為的周長(zhǎng)，因此.5.答案：C解析：設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為x元，根據(jù)等額本息還款法可得，第1次還款后欠銀行貸款為.第2次還款后欠銀行貸款為，...，第12次還款后欠銀行貸款為，因?yàn)橘J款12個(gè)月還清，所以，即，所以.故選C.6.答案：C解析：設(shè)大老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，，所以.設(shè)小老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，，所以.所以，即，化簡(jiǎn)得，解得：或(舍).7.答案：B解析：設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，由題設(shè)可知為等差數(shù)列，且，，故公差，故，故選：B.8.答案：B解析：由題意得，該人所走路程構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，令該數(shù)列為，其前n項(xiàng)和為，則有，解得，故選：B.9.答案：BCD解析：根據(jù)題意此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設(shè)此人第n天走里路，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，解得.選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B：由，則，又，故B正確.選項(xiàng)C：，而，，故C正確.選項(xiàng)D：，則后3天走的路程為，而且，D正確.故選：BCD.10.答案：ACD解析：由已知得：九個(gè)兒子年齡從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)大兒子年齡為，則：，解得；故，則；生最小兒子時(shí)，公公的年齡為.故ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.答案：1434解析：記2015年為第一年，2015年初牛的存欄數(shù)為，則2024年為第10年，2024年初牛的存欄數(shù)為，而第年初牛的存欄數(shù)，設(shè)，則，解得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.09為公比的等比數(shù)列，所以，即，.故答案為：1434.12.答案：9解析：設(shè)第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5個(gè)諸侯分得的橘子個(gè)數(shù)組成數(shù)列，其公差為3，所以，解得，所以，即第二等諸侯分得的橘子個(gè)數(shù)是9.故答案為：913.答案：84解析：依題意，冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，記為，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，記為，因相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，則從冬至日晷長(zhǎng)到芒種日晷長(zhǎng)的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，，，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長(zhǎng)最短，則夏至的日晷長(zhǎng)為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，則大雪的日晷長(zhǎng)為，顯然夏至到大雪的日晷長(zhǎng)依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.5尺，末項(xiàng)為12.5尺，共12項(xiàng)，所以一年中夏至到大雪的日晷長(zhǎng)的和為(尺).故答案為：8414.答案：（1），（2）至少要經(jīng)過(guò)11年（3）現(xiàn)有的治理措施是有顯著效果的，理由見解析解析：（1）設(shè)治理n年后，該地區(qū)的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，因此，治理n年后，該地區(qū)的年垃圾排放量的表達(dá)式為，.（2）由（1）及題意得，所以時(shí)才有，因此，即，又，，所以，即，，因而該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，那么至少要經(jīng)過(guò)11年.（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，由于，由（1）知，時(shí)，，則為遞減數(shù)列，時(shí)，，則為遞減數(shù)列，且，因此為遞減數(shù)列，