二次函數(shù)動點(diǎn)問題典型例題

二次函數(shù)動點(diǎn)問題典型例題

等腰三角形問題

2也

1?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線P=aG，bG的對稱軸為GJ,且經(jīng)過

點(diǎn)、A(2,1),

4

點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為m(OvmV2),過點(diǎn)P作PB_LG軸，垂

足為B,PB交力于點(diǎn)C,點(diǎn)0關(guān)于直線PB的對稱點(diǎn)為D,連接CD,AD,過點(diǎn)A作

AEJ_G軸，垂足為

E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)填空：

①用含m的式子表示點(diǎn)C,D的坐標(biāo)：

C(一,一),D(一,_)；

②當(dāng)ni=___時，△ACD的周長最小；

(3)

三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)

面積最大

I2

1?如圖，拋物線P=-二G+mG+n與G軸交于A、B兩點(diǎn)，與P軸交于

點(diǎn)C,拋物線的對稱軸交G軸于點(diǎn)D,已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)

L使公PCD是以CD為腰的等腰三

角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)E時線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作G軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動

到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo).

2.已知：如圖，直線P=3G+3與G軸交于C點(diǎn)，與P軸交于A點(diǎn)，B點(diǎn)在G軸上，■OAB是等腰直角

三角形.

(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)若直線CD〃AB交拋物線于D點(diǎn)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)若P點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，且在第一象限,

那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時

P點(diǎn)的坐標(biāo)和APAB的最大面積；若沒有，請說明理由.

3.(2015?黔西南州)(第26題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四

邊形繞點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)90°得到

平行四邊形AB'OC拋物線P=-G2+2G+3經(jīng)過點(diǎn)A、CA,三點(diǎn).

(1)求人、A'、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形AB0C和平行四邊形A'B'0C疊部分△C0的面積；

(3)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問點(diǎn)M在何處時，△AMA的面積最大？最大

最短路徑

1.(20PP綿陽)如圖，拋物線P=aG2+bG+c(aA。的圖象過

占M(-2,訂)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(-1,I)且與°軸交于

AB兩點(diǎn)，與P軸交于C點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，求當(dāng)心、PBC為等腰三角形時,

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使Z.QBM的周長最?。咳?/p>

存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

P』G+b的圖象I與二

2.(20PP?瀘州)如圖，已知一次函數(shù)

次函數(shù)P2=-G2+mG+b的圖象C都經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)和點(diǎn)C,且圖象

C過點(diǎn)A(2-,0).

(1)求二次函數(shù)的最大值；

(2)設(shè)使P2>P1成立的G取值的

所有整數(shù)和為s,若s是關(guān)于G的方程(1一)龍~=0的根，求a的

面積是多少？并寫出此時M的坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)F、G在圖象C'上，長度為的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于P軸，當(dāng)四

邊形DEFG的面積最大時，在G軸上求點(diǎn)P,使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo).

平行四邊形

1.(2015?貴州省貴陽，第24題9分)如圖，經(jīng)過點(diǎn)C(0,-4)的拋物

線P=aG2+bG+c(a工0與G軸相交于A(-2,0),B兩點(diǎn).

(1)a>0,b2-4ac>0(填〉"或Z"；

(2)若該拋物線關(guān)于直線G=2對稱，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，連接AC,E是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的

平行線交G軸于點(diǎn)F.是否存在這樣的點(diǎn)E,使得以A,C,E,F為頂點(diǎn)

所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿

足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.(14分)(2015?葫蘆島)(第26題)如圖，直線P=-pG+3與G軸交于點(diǎn)C,與P軸交于點(diǎn)B,拋物線

P=a&+工G+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn).

4

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的

一動點(diǎn)，當(dāng)^BEC面積最大時，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)

和^BEC面積的最大值？

(3)在(2)的結(jié)論下，過點(diǎn)E作P軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M,連接AM,點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的

駟邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)(2015?遼寧撫順)(第26題,14分))已知，

△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)D為BC的

中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動點(diǎn)，連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為P=aG?+bG+8.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，將4BDE以DE為軸翻折，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的

對稱軸上時，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在

線段AB上運(yùn)動時，拋物線P=aG/bG+8的對稱軸上是否存在點(diǎn)F,使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為

平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不

圖①圖②

4.(2015?梧州，第26題12分)如圖，拋物線P=aG+bG+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其

中B(4,0)、C(-2,0),連接ABAC,在第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點(diǎn)D,過D作

DE_LG軸，垂足為E,交AB于點(diǎn)F.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在DE上作點(diǎn)G,使G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)0G與其中一條坐

標(biāo)軸相切時，求G點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)過口點(diǎn)作直線DH〃AC交AB于出當(dāng)/、DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分

別取M、N兩點(diǎn)，并使D、H、M、N四點(diǎn)組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo).

5.(2015?甘南州第28題12分)如圖,在平面直角坐

22

中，拋物線P=-二G+bG+c,經(jīng)過A(0,-4),B(G,

(G2,0)三點(diǎn)，且G-G|=5.

（1）求b,c的值；

（2）在拋物線上求一點(diǎn)D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得四邊形BPOH是以0B為對角線的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由.

角度問題

2

1.（2015?寧德第24題14分）己知拋物線P=G+bG+c與G軸交于

A,B兩點(diǎn)，與P軸交于點(diǎn)C,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,0）,點(diǎn)C

的坐標(biāo)是（0,-3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式和/ABC的度數(shù)：

（3）P為線段BC上一點(diǎn)，連接AC,AP,若/ACB=ZPAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

函數(shù)應(yīng)用

1.（2015?廣東茂名23,8分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40

元，經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息；

①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷售量（m件）與時間（第G天）滿足一次函數(shù)關(guān)系,

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

時間（第G天）13610-

日銷售量（m件）198194188180??

②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價(jià)格與時間（第G天）的關(guān)系如下表：

時間（第G天）lWX5050WG<90銷售價(jià)格（元/件）G+60100

（1）求正關(guān)于G的一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為P元，請寫出P關(guān)于G的函數(shù)表達(dá)式，并求出在90天內(nèi)該

產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【提每天銷售利潤=日銷售量X（每件銷售

價(jià)格-每件成本）】

（3）在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于5400元，請直接寫出結(jié)果.

相似二角形

1.（2015?遼寧鐵嶺）（第26題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線P=aG2+bG+［；與G軸

交于A（-3,0）,B（1,0）兩點(diǎn).與P軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖1,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿A~B勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動.

以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)Q在G軸上方），設(shè)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，△APQ與四邊形A0CD重疊部分

的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2,連接AC,在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)M,使得以M、0、A為頂點(diǎn)的三角形與△A0C相似.請直

接寫出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo).

解析式的應(yīng)用

1.(2015?天津，第25題10分)(2015?天津)已知二次函數(shù)P=g+bG+c(b,c為常數(shù)).

(I)當(dāng)b=2,c=-3時，求二次函數(shù)的最小值；

(口)當(dāng)c=5時，右在函數(shù)值PT的怙況下，只有一個自變量G的值與其對應(yīng)，求此時二次

函數(shù)的解析式；

(川)當(dāng)?！?時，若在自變量G的值滿足b<G<b+的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值P的最小

值為21,求此時二次函數(shù)的解析式.

綜合練習(xí)

02

1.(2015?遼寧阜新)(第18題，12分)如圖，拋物屬P=-G^+bG+c交G軸于點(diǎn)A(-3,0)

和點(diǎn)B,交P軸于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動點(diǎn)，作DQ，G軸，交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ

長度的最大值.

2.(2015?黑龍江省大慶，第28題9分)已

知二次函數(shù)P=&+bG-4的圖象與P軸的交

點(diǎn)為C,與G軸正半軸的交點(diǎn)為A.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，Q為其對稱軸上的一點(diǎn),QC平分ZPQO,求Q點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且處*W=4SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3