2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測三十八第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應用含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測三十八函數(shù)模型的應用(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a,假如保持5%的年增長率,那么經(jīng)過x年QUOTE,該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿意 ()A.y=a(1+5%x) B.y=a+5%C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x【解析】選D.今年產(chǎn)量為a,經(jīng)過1年后產(chǎn)量為y=a(1+5%),經(jīng)過2年后產(chǎn)量為y=a(1+5%)2,以此類推,經(jīng)過x年后產(chǎn)量為y=a(1+5%)x.2.某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲存溫度x(單位:℃)滿意函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)),若該食品在0℃的保鮮時間是192小時,在22℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33℃的保鮮時間是()A.22小時 B.23小時 C.33小時 D.24小時【解析】選D.由題意可得x=0時,y=192,x=22時,y=48,代入y=ekx+b,可得eb=192,e22k+b=48,即有e11k=QUOTE,eb=192,則當x=33時,y=e33k+b=QUOTE×192=24.3.“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝?”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖.那么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好()A.指數(shù)函數(shù):y=2t B.對數(shù)函數(shù):y=log2tC.冪函數(shù):y=t3 D.二次函數(shù):y=2t2【解析】選A.由題意知函數(shù)的圖象在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù),并且增長速度很快,符合指數(shù)型函數(shù)模型,且圖象過點(1,2),所以圖象由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好.4.一個容器裝有細沙acm3,細沙從容器底部一個微小的小孔漸漸地勻速漏出,tmin后剩余的細沙量為y=ae-btQUOTE,經(jīng)過8min后發(fā)覺容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過________min,容器中的沙子只有起先時的八分之一. ()

A.8 B.16 C.24 D.32【解析】選B.依題意有ae-8b=QUOTEa,即e-8b=QUOTE,兩邊取對數(shù)得-8b=lnQUOTE=-ln2,所以b=QUOTE,所以y=aQUOTE.當容器中只有起先時的八分之一時,則有aQUOTE=QUOTEa,所以QUOTE=QUOTE,兩邊取對數(shù)得-QUOTEt=lnQUOTE=-3ln2,所以t=24,所以再經(jīng)過的時間為24-8=16(min).5.為了給地球減負,提高資源利用率,2024年全國掀起了垃圾分類的熱潮,垃圾分類已經(jīng)成為新時尚,假設(shè)某市2024年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的資金比上一年增長20%,則該市全年用于垃圾分類的資金起先超過1.28億元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.2≈0.079,lg2≈0.301)()A.2024年 B.2024年 C.2025年 D.2026年【解析】選C.由題意,可設(shè)經(jīng)過n年后,投入資金為y萬元,則y=5000(1+20%)n.由題意有5000(1+20%)n>12800,即1.2n>2.56,則n·lg1.2>lg2.56=lg28-2,所以n>QUOTE≈5.16,所以n=6,即2025年該市全年用于垃圾分類的資金起先超過1.28億元.6.(多選題)在一次社會實踐活動中,某數(shù)學調(diào)研小組依據(jù)車間持續(xù)5個小時的生產(chǎn)狀況畫出了某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量y(單位:千克)與時間x(單位:小時)的函數(shù)圖象,則以下關(guān)于該產(chǎn)品生產(chǎn)狀況推斷正確的是 ()A.在前三小時內(nèi),每小時的產(chǎn)量逐步增加B.在前三小時內(nèi),每小時的產(chǎn)量逐步削減C.最終一小時內(nèi)的產(chǎn)量與第三小時內(nèi)的產(chǎn)量相同D.最終兩小時內(nèi),該車間沒有生產(chǎn)該產(chǎn)品【解析】選BD.由該車間持續(xù)5個小時的生產(chǎn)總產(chǎn)量y(單位:千克)與時間x(單位:小時)的函數(shù)圖象,得:前3小時的產(chǎn)量逐步削減,故A錯,B正確;后2小時均沒有生產(chǎn),故C錯,D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=________,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖為________個.

【解析】因為當t=0.5時,y=2,所以2=QUOTE,所以k=2ln2,所以y=e2tln2.當t=5時,y=e10ln2=210=1024.答案:2ln210248.某商品價格y(單位:元)因上架時間x(單位:天)的不同而不同,假定商品的價格與上架時間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù),即y=k·ax(a>0且a≠1),x∈N*.當商品上架第1天的價格為96元,而上架第3天的價格為54元,則該商品上架第4天的價格為________元.

【解析】由題意可得方程組:QUOTE結(jié)合a>0且a≠1可得QUOTE即y=128×QUOTE,則該商品上架第4天的價格為128×QUOTE=QUOTE=40.5,即該商品上架第4天的價格為40.5QUOTE元.答案:40.5QUOTE三、解答題9.(10分)某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量削減QUOTE,問至少應過濾幾次才能使產(chǎn)品達到市場要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】方法1:因為每次過濾雜質(zhì)含量降為原來的QUOTE,過濾n次后雜質(zhì)含量為QUOTE·QUOTE.依題意,得QUOTE·QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤QUOTE,因為QUOTE=QUOTE>QUOTE,QUOTE=QUOTE<QUOTE,所以由題意知至少應過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.方法2:接方法1:(QUOTE)n≤QUOTE,則n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),即n≥QUOTE≈7.4,又n∈N*,所以n≥8,即至少應過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2024·九江高一檢測)國家規(guī)定個人稿費納稅方法為:不超過800元的不納稅,超過800元的但不超過4000元的按超800元14%納稅,超過4000元的按全稿費的11.2%納稅,張先生出了一本書共納稅420元,則張先生的稿費(扣稅前)為()A.3600元 B.3800元 C.4000元 D.4200元【解析】選B.設(shè)稿費為x元,納稅額為y元,則納稅額y與稿費x的函數(shù)關(guān)系為y=QUOTE由于張先生納稅420元,令(x-800)×0.14=420,解得x=3800元,令0.112x=420,得x=3750(舍去),故可得張先生的稿費(扣稅前)為3800元.2.某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內(nèi),他的這只股票先經(jīng)驗了3次漲停(每次上漲10%)又經(jīng)驗了3次跌停(每次下降10%),則該股民這只股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為()A.略有虧損B.略有盈利C.沒有盈利也沒有虧損D.無法推斷盈虧狀況【解析】選A.由題意可得:(1+10%)3(1-10%)3≈0.97<1.因此該股民這只股票的盈虧狀況為:略有虧損.3.一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.則這種放射性元素的半衰期為(注:剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時間叫作半衰期.精確到0.1.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) ()A.5.2 B.6.6 C.7.1 【解析】選B.設(shè)半衰期為x,則有500(1-10%)x=250,即QUOTE=QUOTE,取對數(shù)得x(lg9-1)=-lg2,所以x=QUOTE≈QUOTE≈6.6.4.在標準溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作QUOTE)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/L,記作QUOTE)的乘積等于常數(shù)10-14.已知pH的定義為pH=-lgQUOTE,健康人體血液的pH保持在7.35～7.45之間,那么健康人體血液中的QUOTE可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為QUOTE·QUOTE=10-14,所以QUOTE=QUOTE×1014,因為7.35<-lgQUOTE<7.45,所以10-7.45<QUOTE<10-7.35,所以10-0.9<QUOTE=1014·QUOTE<10-0.7,10-0.9=QUOTE>QUOTE,lgQUOTE=0.7>lg3>lg2,所以100.7>3>2,10-0.7<QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.意大利聞名科學家伽利略說:“給我空間、時間以及對數(shù),我就可以創(chuàng)建一個宇宙.”他把對數(shù)與最珍貴的時間和空間同日而語,可見對數(shù)在人類科學史上是多么重要.在不考慮空氣阻力的條件下,火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg、火箭(除燃料)的質(zhì)量mkg滿意函數(shù)關(guān)系v=2000lnQUOTE.當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時,火箭最大速度可達12km/s.(e6≈403.429,結(jié)果保留整數(shù))

【解析】已知v=2000lnQUOTE,火箭的最大速度可達12km/s,故12000=2000lnQUOTE.可得lnQUOTE=6,1+QUOTE=e6,解得QUOTE=e6-1≈402.答案:4026.設(shè)在海拔x(單位:m)處的大氣壓強為y(單位:kPa),y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=100eax,已知在海拔1000m處的大氣壓強為90kPa,則依據(jù)函數(shù)關(guān)系式,在海拔2000m處的大氣壓強為________kPa.

【解析】將(1000,90)代入y=100eax,可得a=QUOTE,y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=100QUOTE,當x=2000時,y=100(eln0.9)2=81.答案:81三、解答題(每小題10分,共20分)7.(2024·柳州高一檢測)電子芯片是“中國智造”的靈魂,是全部整機設(shè)備的“心臟”.某國產(chǎn)電子芯片公司,通過大數(shù)據(jù)分析,得到如下規(guī)律:生產(chǎn)一種高端芯片x(0≤x≤10)萬片,其總成本為G(x)(單位:萬元),其中固定成本為800萬元,并且每生產(chǎn)1萬片的生產(chǎn)成本為200萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入F(x)(單位:萬元)滿意F(x)=QUOTE假定生產(chǎn)的芯片都能賣掉.(1)將利潤f(x)(單位:萬元)表示為產(chǎn)量x(單位:萬片)的函數(shù).(2)當產(chǎn)量x(單位:萬片)為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少萬元?【解析】(1)當產(chǎn)量為x萬片時,由題意得G(x)=800+200x.所以f(x)=F(x)-G(x)=(2)由(1)可得,當0≤x≤6時,f(x)=-400(x-5)2+9200.所以當x=5時,f(x)max=9200(萬元).當6<x≤10時,f(x)=600x-1800,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)≤f(10)=4200(萬元).綜上,當x=5時,f(x)max=9200(萬元),即當產(chǎn)量為5萬片時,公司所獲利潤最大,最大利潤為9200萬元.8.(2024·石家莊高一檢測)“綠水青山就是金山銀山”,隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展,國家加大了對環(huán)境污染的治理力度,某環(huán)保部門對其轄區(qū)內(nèi)的一工廠的廢氣排放進行了監(jiān)察,發(fā)覺該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾排放,過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P千克/升與時間t小時間的關(guān)系為P=P0e-kt,假如在前5個小時消退了10%的污染物.(1)10小時后還剩百分之幾的