專題04 幾何圖形的折疊與動點問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學母題題源解密（全國）解析版

專題04幾何圖形的折疊與動點問題考向1點位置的不確定【母題來源】2021年中考內(nèi)蒙古通遼卷【母題題文】如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點E為射線BC上一個動點，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點B′處，過點B′作AD的垂線，分別交AD，BC于M，N兩點，當B′為線段MN的三等分點時，BE的長為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【試題解析】①當MB'MN時，如圖：Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'AB＝1，∴AM2，∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四邊形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，設BE＝x，則B'E＝x，EN＝2x，Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2，∴（2x）2+22＝x2，解得x，∴BE的長為；②當NB'MN時，如圖：∵NB'MN＝1，∴MB'＝2，設BE＝y(tǒng)，同①可得y，∴BE的長為，綜上所述，BE的長為或．故選：D．【命題意圖】考查直角三角形的性質(zhì)和應用，以及分類討論思想.【命題方向】以三角形和特殊的多邊形為背景，借助于勾股定理和銳角三角函數(shù)知識，利用分類討論思想進行解答，答案一般為二或三個?！镜梅忠c】解決幾何圖形折疊與動點問題的思路:(1)折疊前后的兩部分圖形全等,對應邊、角均相等,對應點的連線被折痕垂直平分;(2)一般運用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知識及方程思想,設一條邊的長為x,再用含x的代數(shù)式來表示其他的邊,最后設法用勾股定理或相似三角形性質(zhì)來求線段的長.考向2邊或角的不確定【母題來源】2021年中考四川阿壩州卷【母題題文】如圖，腰長為22的等腰△ABC中，頂角∠A＝45°，D為腰AB上的一個動點，將△ACD沿CD折疊，點A落在點E處，當CE與△ABC的某一條腰垂直時，BD的長為．【答案】或2【試題解析】當CE⊥AB時，如圖，設垂足為M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折疊得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，頂角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折疊得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，設DM＝x，則BM＝x，DEx，∴ADx．∵AB＝22，∴2xx＝22，解得：x，∴BD＝2x＝2；當CE⊥AC時，如圖，∴∠ACE＝90°，由折疊得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，頂角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即點D、E都在直線AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝＝22，∴ADAC＝2，BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），綜上，BD的長為或2．故答案為：或2．【命題意圖】考查折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，注重分類討論思想的運用．【命題方向】以題干中的“模糊”詞匯為出發(fā)點，對題目進行分類討論作答，一般為選填的壓軸位置.【得分要點】特殊圖形邊或角不確定時的分類討論:(1)邊不確定:①等腰三角形,按照邊是底邊和腰分類討論;②直角三角形,按照邊是直角邊和斜邊分類討論;③全等或相似,按照對應邊分類討論.(2)角不確定:①等腰三角形,按照頂角和底角分類討論;②直角三角形,按照哪個角是直角分類討論.1．（2021?準格爾旗一模）如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點D'處，當△APD'是直角三角形時，PD的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3，在Rt△ABE中，AE5，∵E是BC的中點，∴AD＝6，由折疊可知，PD＝PD'，設PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，當△APD'是直角三角形時，①當∠AD'P＝90°時，∴∠AD'P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，∴△ABE∽△PD'A，∴，∴，∴x，∴PD；②當∠APD'＝90°時，∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD'∽△EBA，∴，∴，∴x，∴PD；綜上所述：當△APD'是直角三角形時，PD的值為或，故選：B．2．（2021?商丘三模）如圖菱形OABC，在平面直角坐標系中，點A（8，0），∠C＝60°，點P為OA上的一點，且點P（3，0），Q是BC邊上的一個動點，將四邊形OPQC沿直線PQ折疊，O的對應點O′，當BO′的長度最小時，則點Q的坐標為（）A．（﹣1，4） B．（﹣2，4） C．（﹣3，4） D．（0，4）【答案】C【解析】如圖，連接BP，設BC交y軸于T．∵A（8，0），四邊形OABC是菱形，∴OA＝OC＝BC＝8，∵∠C＝60°，∠OTC＝90°，∴CTOC＝4，OT4，∴B（4，4），∵P（3，0），∴PB7，∵OP＝PO′＝3，∴當點O′落在BP上時，BO′的值最小，此時∠OPQ＝∠QPB，∵BC∥OA，∴∠BQP＝∠OPQ，∴∠BPQ＝∠BQP，∴BQ＝BP＝7，∴CQ＝BC﹣BQ＝8﹣7＝1，∴Q（﹣3，4），故選：C．3．（2021?安徽模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將矩形ABCD折疊后，A點的對應點A'落在CD邊上，EF為折痕，AA'和EF交于G點，當AG+BG取最小值時，此時EF的值為（）A． B．3 C．2 D．5【答案】A【解析】過點G作GM⊥AD于M，∵將矩形ABCD折疊后，A點的對應點A'落在CD邊上，∴點G為AA'的中點，∴GM為△ADA'的中位線，∵A'在CD上運動，∴G在GM上運動，∴當AG+BG取最小值時，此時A'與C重合，AA'，∴AG，∵∠AGE＝∠ADC，∠GAE＝∠DAC，∴△AGE∽△ADC，∴，∴，∴EG，在△BFG和△DEG中，，∴△BFG≌△DEG（ASA），∴EG＝GF，∴EF＝2EG＝2，故選：A．4．（2021?深圳模擬）如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，現(xiàn)將紙片進行如下操作：先將紙片沿折痕BF進行折疊，使點A落在BC邊上的點E處，點F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進行第二次折疊，使點C落在第一次的折痕BF上的點G處，點H在BC上（如圖3），給出四個結(jié)論：①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③；④GH的長為5，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，過點G作MN∥AB，分別交AD、BC于點M、N，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折疊可得AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四邊形ABEF為正方形，∴AF＝AB＝10，故①正確；∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，設BN＝x，則GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折疊的可知DG＝DC＝10，在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，∵∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴，即，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正確；又△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周長＝BG+GH+BH＝45+7＝12+4，∴，故②不正確；③正確；綜上可知正確的為①③④，故選：C．5．（2021?濱湖區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則三角形AGC的面積的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°．由勾股定理得：AC．∵AB＝3，AE＝2，∴點F在BC任意一點時，點G始終在AC下方，設點G到AC的距離為h．∵S△ACGAC?h．∴當h最小時，S△ACG最小.∵點G是以點E為圓心，BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點，∴當EG⊥AC時，GH＝h最小，此時E、G、H三點共線，如圖所示．∵sin∠BAC．∴EH＝2．∴h＝EH﹣EG1．∴S△ACG．故選：A．6．（2021?江油市二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點M，N分別在AD，BC上，且AMAD，BNBC，E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，當點C′恰好落在直線MN上時，tan∠DEC的值是2或．【答案】2或【解析】如圖1，當E點在B點左側(cè)時，由折疊可知，CD＝C'D，∵AB＝5，BC＝6，AMAD，BNBC，∴AM＝2，BN＝2，∴MD＝4，在Rt△DMC'中，C'M3，∴tan∠C'DM，∵∠C'DM+∠MC'D＝90°，∠MC'D+∠EC'M＝90°，∴∠C'DM＝∠EC'M，∴，∴，∴EN＝6，∴CE＝10，∴tan∠DEC；如圖2，當E點在BC之間時，由折疊可知，CD＝C'D＝5，∵MD＝4，∴C'M＝3，∴C'N＝2，設CE＝x，則NE＝4﹣x，在Rt△NEC'中，C'E2＝NE2+C'N2，∴x2＝（4﹣x）2+4，∴x，∴EC，∴tan∠DEC2；綜上所述：tan∠DEC的值為2或，故答案為：2或．7．（2021?平頂山模擬）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝x，點E在邊CD上，且CEx，將△BCE沿BE折疊，若點C的對應點C′落在矩形ABCD的邊上，則x的值為或．【答案】或【解析】如圖1，當點C′落在AD邊上，由翻折變換可知，CE＝C′Ex，DE＝CD﹣CE＝xxx，在Rt△C′DE中，由勾股定理得，C′Dxx，∴AC′＝2x，在Rt△ABC′中，由勾股定理得，AB2+AC′2＝BC′2，即x2+（2x）2＝22，解得x，或x＝0（舍去），如圖2，當點C′落在AB邊上，由翻折變換可知，四邊形BCEC′是正方形，∴x＝2，∴x，故答案為：或．8．（2021?武進區(qū)校級模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一點，且PB＝6，直線l經(jīng)過點P，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點為點B'，在直線l變化的過程中，則△ACB'面積的最大值為24+4．【答案】24+4【解析】由對稱性可知，PB＝PB'，∴B'在以P為圓心，PB為半徑的圓上，過點P作PH⊥AC交于H，當B'、P、H三點共線時，S△ACB'的面積最大，∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∴AP＝2，在Rt△APH中，PH＝AP?sin60°＝2，∴B'H＝6，∴S△AB'C8×（6）＝24+4，故答案為：24+4．9．（2021?徐州模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點D是AB上一動點，過點D作DE∥AC交BC于E，將△BDE沿著DE翻折得到△B′DE，連接AB′，則AB′的最小值為3．【答案】3【解析】如圖，∵DE∥AC，△ABC是等邊三角形，∴△BDE是等邊三角形，折疊后的△B′DE也是等邊三角形，過B作DE的垂直平分線，∵BD＝BE，B′D＝B′E，∴BB′都在DE的垂直平分線上，∵AB′最小，即A到DE的垂直平分線的距離最小，此時AB′⊥BB′，∴AB′AC6＝3，即AB′的最小值是3．故答案為：3．10．（2021?衛(wèi)輝市二模）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E是AD的中點，點F是AB上一動點將△AEF沿直線EF折疊，點A落在點A′處在EF上任取一點G，連接GC，GA′，CA′，則△CGA′的周長的最小值為22．【答案】22【解析】如圖，連接AC交EF于G，連接A′G，連接EC，此時△A′GC的周長最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，∴AC2，∴△A′CG的周長的最小值CA′，當CA′最小時，△CGA′的周長最小，∵AE＝DE＝EA′＝2，∴CE2，∵CA′≥EC﹣EA′，∴CA′≥22，∴CA′的最小值為22，∴△CGA′的周長的最小值為22，故答案為：22．11．（2021?汝陽縣二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點E是AB的中點，點F是直線BD上的一動點，將△BEF沿EF所在直線翻折，得到△B'EF，則B'C長的最小值是．【答案】【解析】由題意可知，點B'在以E為圓心，BE為半徑的圓上．當E、B'、C三點共線時，B'C最短，此時，，所以B'C長的最小值是．故答案為：．12．（2021?河南模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，點E是AB邊上不與端點重合的一個動點，作ED⊥BC交BC于點D，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為F，當△ACF為直角三角形時，則BE的長為2或3．【答案】2或3【解析】①當∠CAF＝90°時，如圖1，∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°＝∠BAF，∴AFAC＝2BF，由翻折可知，BD＝DF，在Rt△BDE中，∠B＝30°，BD，∴BE2；②當∠AFC＝90°時，如圖2，由翻折變換可知，BD＝DF，∠EDF＝90°＝∠AFC，∴DE∥AF，∴BE＝AEAB＝3，綜上所述，BE的長為2或3，故答案為：2或3．13．（2021?開福區(qū)校級一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，將平行四邊形ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕交CD邊于點E．若點P是直線l上的一個動點，則PD′+PB的最小值．【答案】【解析】過點D作DM⊥AB交BA的延長線于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°，∴∠DAM＝60°，由翻折變換可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°，∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E，又∵DE∥AB，∴四邊形ADED′是菱形，∴點D與點D′關(guān)于直線l對稱，連接BD交直線l于點P，此時PD′+PB最小，PD′+PB＝BD，在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°，∴AMAD，DMAD，在Rt△DBM中，DM，MB＝AB+AM，∴BD，即PD′+PB最小值為，故答案為：．14．（2021?吉安模擬）矩形紙片OABC，長AB＝8cm，寬AO＝4cm，折疊紙片，使折痕經(jīng)過AB上點D，點A落在點A'處，展平后得到折痕OD，同時得到線段OA'，DA'，不再添加其它線段，當圖中存在30°角時，A'的坐標為（），（2，﹣2），（2，2）．【答案】（）或（2，﹣2）或（2，2）【解析】根據(jù)翻折可得∠AOD＝∠A′OD，分3種情況討論：①當∠AOD＝30°時，∠A'OC＝30°，∵A'O?sin∠A'OC＝2cm，A'O?cos∠A'OC＝2cm，∴A'的坐標為（）；②當∠ADO＝30°時，∠AOD＝60°，∴∠AOA'＝120°，即A'在第四象限且∠A'OC＝30°，∵A'O?sin∠A'OC＝2cm，A'O?cos∠A'OC＝2cm，∴A'的坐標為（2，﹣2）；③∠AOD＝15°時，∠AOA′＝30°，∠A'OC＝60°，∵A'O?sin∠A'OC＝2cm，A'O?cos∠A'OC＝2cm，∴A'的坐標為（2，2）．故答案為：（）或（2，﹣2）或（2，2）．15．（2021?蚌埠模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F．（1）連接AD，若AB′⊥B′F，則∠ADE＝90°；（2）若△AB′F為直角三角形，則AE的長為3或．【答案】3或【解析】（1）連接AD，如圖所示：由題意得：∠BDE＝∠B'DE，BD＝B'D，∵點D是BC的中點，∴BD＝CD＝B'D，∵AB′⊥B′F，∴∠AB'D＝90°，∴∠AB'D＝∠C＝90°，在Rt△ACD和Rt△AB'D中，，∴Rt△ACD≌Rt△AB'D（HL），∴∠ADC＝∠ADB'，∵∠BDB'+∠CDB'＝180°，∴2∠B'DE+2∠ADB'＝180°，2（∠B'DE+∠ADB'）＝180°，即2∠ADE＝180°，∴∠ADE＝90°；故答案為：90°；（2）∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，∴tanB，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∵點D是BC的中點沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F∴DB＝DC，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，設AE＝x，則BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，當∠AFB′＝90°時，在Rt△BDF中，cosB，∴BFcos30°，∴EF（4﹣x）＝x，在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF，即4﹣x＝2（x），解得x＝3，此時AE為3；當∠AB′F＝90°時，作EH⊥AB′于H，連接AD，如圖，由（1）可知Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′HB′E（4﹣x），EHB′H（4﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，解得x，此時AE為．綜上所述，AE的長為3或．故答案為：3或．16．（2021?交城縣二模）如圖，折疊矩形紙片ABCD時，進行如下操作：①把△BCE翻折使點B落在DC邊上的點F處，折痕為CE，點E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDH翻折使點D落在線段AE上的點G處，折痕為CH，點H在AD邊上．若，BC＝6，則EG的長為2．【答案】2【解析】∵把△BCE翻折使點B落在DC邊上的點F處，折痕為CE，∴CF＝CB，BE＝EF，∠CFE＝∠B＝90°，∴四邊形BEFC為正方形，∴BE＝BC＝6，∵把△CDH翻折使點D落在線段AE上的點G處，折痕為CH，∴∠HGC＝90°，DH＝GH，DC＝GC，∴∠AGH+∠CGB＝90°，∵∠AGH+∠AHG＝90°，∴∠CGB＝∠AHG，∵∠A＝∠B＝90°，∴△AGH∽△BCG，∴，∵BC＝6，∴AG＝2，設AH＝x，則DH＝HG＝6﹣x，在Rt△AGH中，∵AH2+AG2＝GH2，∴x2+22＝（6﹣x）2，解得x，∴BG＝3AH＝8，∴EG＝BG﹣BE＝8﹣6＝2．故答案為：2．17．（2021?路北區(qū)三模）在五邊形紙片ABCDE中，AB＝2，∠A＝120°，將五邊形紙片ABCDE沿BD折疊，點C落在點P處；在AE上取一點Q，將△ABQ，△EDQ分別沿BQ，DQ折疊，點A，E恰好落在點P處，如圖1．（1）∠BPQ＝120°；