高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新教材新高考)第03講平面向量基本定理及“爪子定理”(高階拓展)（核心考點(diǎn)精講精練）(學(xué)生版+解析)

第03講平面向量基本定理及“爪子定理”（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙卷文數(shù)，第6題,5分用基底表示向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問(wèn)題，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）．基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組．利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長(zhǎng)線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過(guò)三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解考點(diǎn)一、平面向量的基本定理綜合1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．2．（2020·新高考全國(guó)1卷·統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．3．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．4．（江蘇·高考真題）設(shè)、分別是的邊，上的點(diǎn)，，.若（為實(shí)數(shù)），則的值是1．（全國(guó)·高考真題）在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．2．（廣東·高考真題）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若，，則A． B． C． D．3．（北京·高考真題）向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則.4．（高考真題）在中，，M為BC的中點(diǎn)，則_______．（用表示）考點(diǎn)二、“爪子定理”的綜合應(yīng)用1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．2．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是平行四邊形，，若，則（

）A． B．1 C． D．3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，記，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，為線段上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，記，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）在正方形ABCD中，O為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊BC上中點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是中線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，且，，則（

）A． B．2 C． D．48．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．二、填空題9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谥?，，點(diǎn)是的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得，則（請(qǐng)用數(shù)字作答）.10．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，若，則.【能力提升】一、單選題1．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┰谄叫兴倪呅沃校?，則（

）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．63．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．二、多選題7．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2三、填空題8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，已知，與相交于，若，則．9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考三模）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)且，是邊的中點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn)，若是的平分線，則.

10．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，點(diǎn)，分別滿足，，若，則．

第03講平面向量基本定理及“爪子定理”（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙卷文數(shù)，第6題,5分用基底表示向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問(wèn)題，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）．基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組．利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長(zhǎng)線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過(guò)三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解考點(diǎn)一、平面向量的基本定理綜合1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（2020·新高考全國(guó)1卷·統(tǒng)考高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)，則為的中位線，，故選：A3．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫(huà)出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.4．（江蘇·高考真題）設(shè)、分別是的邊，上的點(diǎn)，，.若（為實(shí)數(shù)），則的值是【答案】【詳解】依題意，，∴，∴，，故.【考點(diǎn)定位】平面向量的加法、減法法則.分析、計(jì)算能力.中等題.1．（全國(guó)·高考真題）在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A．2．（廣東·高考真題）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面幾何知識(shí)求解【詳解】如圖，可知=，選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算及其幾何意義，同時(shí)要注意利用平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，3．（北京·高考真題）向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則.【答案】4【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，則=(-1,1)，=(6,2)，=(-1,-3)，由=λ＋μ，得，即解得，.【考點(diǎn)定位】本小題考查了平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量基本定理.4．（高考真題）在中，，M為BC的中點(diǎn)，則_______．（用表示）【答案】【詳解】解：，，所以?？键c(diǎn)二、“爪子定理”的綜合應(yīng)用1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.答案：A解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量分解成形式即可得答案.【詳解】∵，∴，故選：B．2．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是平行四邊形，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，．故選：C．3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，然后結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，由知，所以，故，所以，而，所以.故選:C4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】分點(diǎn)內(nèi)分與外分線段討論，再由向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，，則，故選：BC.【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，記，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的運(yùn)算，用表示出即可.【詳解】因?yàn)樵谥校?，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.故選：D2．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，為線段上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：D3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形中向量對(duì)應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系，用，表示即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，所?故選：A4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形中向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用、表示出即可.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：B5．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，M為的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行分解即可.【詳解】

.故選：A.6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）在正方形ABCD中，O為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊BC上中點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量運(yùn)算的三角形法則，用，表示即可.【詳解】故選：C.7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，是中線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)M，交邊于點(diǎn)N，且，，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】把向量分解成形式，再由三點(diǎn)共線，則即可求解.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，且，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，則，得.故選：D8．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即得.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)，則，，，，，故，，.設(shè)，則，解得，所以.故選：B.二、填空題9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？既＃┰谥校?，點(diǎn)是的中點(diǎn).若存在實(shí)數(shù)使得，則（請(qǐng)用數(shù)字作答）.【答案】【分析】利用基底表示出，結(jié)合條件可得，進(jìn)而可求答案.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，?故答案為：.10．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，若，則.【答案】1【分析】根據(jù)已知條件，利用向量的線性運(yùn)算的求得.【詳解】,∴,∴,故答案為：1【能力提升】一、單選題1．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┰谄叫兴倪呅沃校?，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用表示出，求出參數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】，

所以，則.故選：D2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（

）

A． B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過(guò)點(diǎn)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則,故,則由可得，即，故，故選：A3．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定，，相加整理得到答案.【詳解】，則①；，則②；①②兩式相加，，即，故選：C.4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，連接，交于P點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取為平面的基底，根據(jù)給定條件，結(jié)合平面向量基本定理求出作答.【詳解】在中，取為平面的基底，由，得，由，得，由，知，由，得，因此，則，解得，所以.故選：C5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，線段，交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由三角形重心的性質(zhì)求解；方法二：設(shè)，根據(jù)題意計(jì)算可得，再由共線可求出的值.【詳解】方法一：可由三角形重心的性質(zhì)知：方法二：設(shè)，則，由共線可知，，，故，故選：C．6．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分