第75講、切點(diǎn)與切點(diǎn)弦（學(xué)生版）

第75講切點(diǎn)與切點(diǎn)弦知識(shí)梳理1、點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程為．2、點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．3、點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作圓的弦（不過(guò)圓心），分別過(guò)作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．4、點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程為．5、點(diǎn)在圓外，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．6、點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作圓的弦（不過(guò)圓心），分別過(guò)作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．7、點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線方程為．8、點(diǎn)在橢圓外，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．9、點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦（不過(guò)橢圓中心），分別過(guò)作橢圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．10、點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．11、點(diǎn)在雙曲線外，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．12、點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的弦（不過(guò)雙曲線中心），分別過(guò)作雙曲線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．13、點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線方程為．14、點(diǎn)在拋物線外，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．15、點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的弦，分別過(guò)作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．必考題型全歸納題型一：切線問(wèn)題例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，焦點(diǎn)為.過(guò)拋物線外一點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點(diǎn)，兩切線分別交軸于點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：①是與的等比中項(xiàng)；②平分.例2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與C交于H，I兩點(diǎn)，且在H，I兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T．(1)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，求；(2)證明：．例3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)到直線的距離分別為，求的值.變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過(guò)Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．變式2．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.變式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為．題型二：切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)M在直線l1上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例5．（2024·福建寧德·校考一模）雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)直線上任意一點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線于A，B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)F．例6．（2024·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)，連接．探究：直線是否過(guò)一定點(diǎn)，若過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式4．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．變式5．（2024·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．變式6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．變式7．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過(guò)作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決定值問(wèn)題例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.變式9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到F的最小距離為1．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向C作兩條切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，直線AF與直線MN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.變式11．（2024·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）在以為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點(diǎn)M．(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求其方程；(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)B的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值；(3)在圓上的任取一點(diǎn)Q，作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過(guò)程．變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.變式13．（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).變式14．（2024·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．(1)過(guò)橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；(2)過(guò)圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．變式15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓過(guò)，.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.題型四：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決最值問(wèn)題例10．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，M位于F的上方且.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在直線上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求的最小值.例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，①證明：直線過(guò)定點(diǎn)；②求的最大值．備注：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．變式16．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)在直線：上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為C上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過(guò)P作圓的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.變式18．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎本€與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為.(1)證明點(diǎn)D在一條定直線上；(2)過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交C于點(diǎn)E，線段的中點(diǎn)為，①證明：為的中點(diǎn)；②求面積的最小值.變式19．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3.(1)求；(2)若點(diǎn)在圓上，，是拋物線的兩條切線，是切點(diǎn)，求三角形面積的最大值.變式20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線方程；(2)圓：，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作圓的兩條切線與軸交于、兩點(diǎn)，求的最小值.變式21．（2024·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.變式22．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最大值．變式23．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓O：.(1)當(dāng)時(shí)，圓O與拋物線C和準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)M，N，且，求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是（1）中所求拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)P作圓O的兩條切線分別與拋物線C的準(zhǔn)線l交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最小值.題型五：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決范圍問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑作圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．例14．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，且，求面積的取值范圍.例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.變式24．（2024·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射