第80講、阿基米德三角形（學(xué)生版）

第80講阿基米德三角形知識(shí)梳理如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過(guò)作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．2、若阿基米德三角形的底邊即弦過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線．3、若直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)．4、底邊長(zhǎng)為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．6、點(diǎn)的坐標(biāo)為；7、底邊所在的直線方程為8、的面積為．9、若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則底邊的直線方程為．10、如圖1，若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)C，D，則.11、若為拋物線弧上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點(diǎn)C，D，則．12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．圖1必考題型全歸納題型一：定點(diǎn)問(wèn)題例1．（2024·山西太原·高二山西大附中?？计谀┮阎c(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．例2．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．例3．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1.(1)求曲線的方程；(2)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積.變式1．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．變式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對(duì)于拋物線C：給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為；②準(zhǔn)線為；③與直線相交所得弦長(zhǎng)為2．(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線C在弦AB兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式3．（2024·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線（a是常數(shù)）過(guò)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程；(3)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在x軸及其上方，且點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若點(diǎn)Q是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作點(diǎn)P的軌跡C的兩切線QA?QB，其中A?B為切點(diǎn)，試證明直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).題型二：交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)過(guò)（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)定在直線上；(3)橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、、為切點(diǎn)），使得直線過(guò)點(diǎn)？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說(shuō)明理由．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸上方，且到定點(diǎn)距離比到軸的距離大.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，分別異于原點(diǎn)，在曲線的，兩點(diǎn)處的切線分別為，，且與交于點(diǎn)，求證：在定直線上.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)，分別為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線交于點(diǎn)N，求證:點(diǎn)N在定直線上．變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且、、三點(diǎn)共線.若圓的直徑為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線，，證明直線，的交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線.變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對(duì)圓錐曲線切線問(wèn)題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請(qǐng)你一起合作學(xué)習(xí)，請(qǐng)你思考后，將答案補(bǔ)充完整．(1)圓上點(diǎn)處的切線方程為．理由如下：．(2)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為；(3)是橢圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖，則直線的方程是．這是因?yàn)樵?，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過(guò)點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；(4)問(wèn)題（3）中兩切線，斜率都存在時(shí)，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達(dá)式為，由，得，化簡(jiǎn)得，得．若，則由這個(gè)方程可知點(diǎn)一定在一個(gè)圓上，這個(gè)圓的方程為．（5）拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為；（6）拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點(diǎn)．則①點(diǎn)在以線段為直徑的圓上；②點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上．題型三：切線垂直問(wèn)題例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求切線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線和互相垂直.例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值.例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)．求橢圓和拋物線的方程；設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；若直線AB交橢圓于C，D兩點(diǎn)，，分別是，的面積，試問(wèn)：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：.變式10．（2024·河南駐馬店·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過(guò)上兩點(diǎn)分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點(diǎn)恰好在直線上．（1）求的方程；（2）設(shè)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，．題型四：面積問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，過(guò)直線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，且直線與軸交于點(diǎn)．設(shè)直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，求四邊形面積的最小值．例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線方程；（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求面積的最小值.變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為F，且，過(guò)點(diǎn)作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，D為線段PA上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作拋物線的切線，切點(diǎn)為E（異于點(diǎn)A，B），且直線DE交線段PB于點(diǎn)H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.變式12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．變式13．（2024·河南開(kāi)封·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)S到F的距離是S到直線的距離的倍，記點(diǎn)S的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)向曲線C作兩條切線，，交x軸于M，交y軸于N，交x軸于T，交y軸于Q，記的面積為，的面積為，求的最小值．題型五：外接圓問(wèn)題例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P是拋物線C：的頂點(diǎn)，A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)M是的外接圓圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程．例14．（2024·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)，求的最大值.例15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.題型六：最值問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與軸分別交于.（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記兩點(diǎn)到直線的距離分別為；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積.例17．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)在軸上時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.例18．（2024·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過(guò)拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．變式14．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)在直線：上，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.變式15．（2024·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．4 C．5 D．題型七：角度相等問(wèn)題例19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過(guò)點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P