第80講、阿基米德三角形（學(xué)生版）

第80講阿基米德三角形知識梳理如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊．1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點．4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為．5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為．6、點的坐標為；7、底邊所在的直線方程為8、的面積為．9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為．10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則.11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則．12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．圖1必考題型全歸納題型一：定點問題例1．（2024·山西太原·高二山西大附中?？计谀┮阎c，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．例2．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知動圓恒過定點，圓心到直線的距離為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．例3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知平面曲線滿足：它上面任意一定到的距離比到直線的距離小1.(1)求曲線的方程；(2)為直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，證明：直線過定點；(3)在（2）的條件下，以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積.變式1．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，，D為垂足，點D的坐標為．(1)求C的方程；(2)若點E是直線上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．變式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．對于拋物線C：給出如下三個條件：①焦點為；②準線為；③與直線相交所得弦長為2．(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；(2)已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線C在弦AB兩端點處的兩條切線的交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線AB是否過定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，請說明理由．變式3．（2024·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線（a是常數(shù)）過點，動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．(1)求拋物線C的焦點坐標和準線方程；(2)當時，求直線AB的方程；(3)證明：直線AB過定點．變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動點P在x軸及其上方，且點P到點的距離比到x軸的距離大1.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若點Q是直線上任意一點，過點Q作點P的軌跡C的兩切線QA?QB，其中A?B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標.題型二：交點的軌跡問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，為切點，求直線的方程，并證明直線過定點；(3)過（2）中的點的直線交拋物線于，兩點，過點，分別作拋物線的切線，，求，交點滿足的軌跡方程．例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：點定在直線上；(3)橢圓上是否存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、、為切點），使得直線過點？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動點在軸上方，且到定點距離比到軸的距離大.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，點，分別異于原點，在曲線的，兩點處的切線分別為，，且與交于點，求證：在定直線上.變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比為，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點的直線與曲線C交于兩點，分別為曲線C與x軸的兩個交點，直線交于點N，求證:點N在定直線上．變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點為拋物線的焦點，點、在拋物線上，且、、三點共線.若圓的直徑為.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線與拋物線交于點，，分別過、兩點作拋物線的切線，，證明直線，的交點在定直線上，并求出該直線.變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面是某同學(xué)在學(xué)段總結(jié)中對圓錐曲線切線問題的總結(jié)和探索，現(xiàn)邀請你一起合作學(xué)習(xí)，請你思考后，將答案補充完整．(1)圓上點處的切線方程為．理由如下：．(2)橢圓上一點處的切線方程為；(3)是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，如圖，則直線的方程是．這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；(4)問題（3）中兩切線，斜率都存在時，設(shè)它們方程的統(tǒng)一表達式為，由，得，化簡得，得．若，則由這個方程可知點一定在一個圓上，這個圓的方程為．（5）拋物線上一點處的切線方程為；（6）拋物線，過焦點的直線與拋物線相交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線的兩條切線和，設(shè)，，則直線的方程為．直線的方程為，設(shè)和相交于點．則①點在以線段為直徑的圓上；②點在拋物線的準線上．題型三：切線垂直問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.（1）若點坐標為，求切線的方程；（2）若點是拋物線的準線上的任意一點，求證：切線和互相垂直.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點是拋物線的準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，點是的中點.（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值.例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中為切點.設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．求橢圓和拋物線的方程；設(shè)點P為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；若直線AB交橢圓于C，D兩點，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）拋物級的焦點到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：.變式10．（2024·河南駐馬店·?？寄M預(yù)測）已知拋物線：的焦點為，點在上，直線：與相離．若到直線的距離為，且的最小值為．過上兩點分別作的兩條切線，若這兩條切線的交點恰好在直線上．（1）求的方程；（2）設(shè)線段中點的縱坐標為，求證：當取得最小值時，．題型四：面積問題例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點是拋物線上的一點，且到拋物線焦點的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，求面積的最小值．例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線上一點到其焦點的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，過直線上一點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，且直線與軸交于點．設(shè)直線，與軸的交點分別為，，求四邊形面積的最小值．例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點到原點的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準線方程；（2）點P是直線l上的動點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，求面積的最小值.變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點R的橫坐標為1，焦點為F，且，過點作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，D為線段PA上的動點，過D作拋物線的切線，切點為E（異于點A，B），且直線DE交線段PB于點H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q作曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．變式13．（2024·河南開封·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點，平面上的動點S到F的距離是S到直線的距離的倍，記點S的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過直線上的動點向曲線C作兩條切線，，交x軸于M，交y軸于N，交x軸于T，交y軸于Q，記的面積為，的面積為，求的最小值．題型五：外接圓問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知P是拋物線C：的頂點，A，B是C上的兩個動點，且．（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個定點？若是，求這個定點的坐標；若不是，說明理由；（2）設(shè)點M是的外接圓圓心，求點M的軌跡方程．例14．（2024·高二單元測試）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設(shè)點是△的外接圓的圓心，求點的軌跡方程.題型六：最值問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于.（1）求證：直線過定點，并求出該定點；（2）設(shè)直線與軸相交于點，記兩點到直線的距離分別為；求當取最大值時的面積.例17．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標系中，已知拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，當在軸上時，.(1)求拋物線的方程；(2)求點到直線距離的最大值.例18．（2024·遼寧沈陽·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點射出，經(jīng)過點．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點E，過點E向圓M作兩條切線EA和EB，切點分別為A、B，求的取值范圍．變式14．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點到其焦點的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點在直線：上，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，過拋物線的焦點作直線的垂線交直線于點，當最小時，求的值.變式15．（2024·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，點P為直線上的任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線AB的距離的最大值為（

）A．1 B．4 C．5 D．題型七：角度相等問題例19．設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點，直線過點且垂直于橢圓長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動點在直線上運動，且過點作軌跡的兩條切線、，切點為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.例21．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，已知圓與拋物線交于點M，N（異于原點O），MN恰為該圓的直徑，過點E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．(1)求證：點P