第30講、三角函數(shù)的圖像與性質（教師版）

第30講三角函數(shù)的圖像與性質知識梳理知識點一：用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．知識點二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質（下表中）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；知識點三：與的圖像與性質（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．（3）最值假設．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應函數(shù)取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數(shù)與軸交點的位置．（5）單調性．假設．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少．【解題方法總結】關于三角函數(shù)對稱的幾個重要結論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為必考題型全歸納題型一：五點作圖法例1．（2024·湖北·高一荊州中學校聯(lián)考期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．

【解析】（1）步驟1：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．（2）因為列表：

例2．（2024·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）已知函數(shù)(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調遞增區(qū)間；(3)當時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.【解析】（1）因為，當時，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因為，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．例3．（2024·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯(lián)考階段練習）函數(shù).(1)請用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）(2)設，，當時，試研究函數(shù)的零點的情況.【解析】（1），按五個關鍵點列表：0010003010描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：（2）因為，所以的零點個數(shù)等價于與圖象交點的個數(shù)，設，，則當，即時，有2個零點；當，即時，有1個零點；當，即時，有0個零點.【解題方法總結】（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．題型二：函數(shù)的奇偶性例4．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【答案】B【解析】的定義域為，對A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B例5．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，因為為偶函數(shù)，可得，所以，令，可得.故選：A.例6．（2024·湖南常德·常德市一中?？寄M預測）函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像向左平移個單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．變式1．（2024·北京·高三專題練習）已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，故，由于的圖象關于y軸對稱，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B變式2．（2024·浙江·高三期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到一個奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，則，取，則．故選：D變式3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D.變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B變式5．（2024·山東·高三專題練習）設函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡計算可求得結果.令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【解題方法總結】由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關于三角函數(shù)奇偶性的重要結論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型三：函數(shù)的周期性例7．（2024·湖北襄陽·高三襄陽五中?？奸_學考試）已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，取得最大值，最大值為．故選：A例8．（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯(lián)考二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設，則，即在時取得最小值，由于，此時，不合題意；，此時，當時，滿足題意.故選：C.例9．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以的最小正周期．故選：C．變式6．（2024·高三課時練習）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是______.【答案】【解析】因為函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，即，因此，故答案為：變式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中學?？茧A段練習）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A：最小正周期為，故A錯誤；對于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；對于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B變式8．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)對于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵恒成立，∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，即、是函數(shù)的兩條對稱軸，則的最小值為.故選：C.變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，設的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.考點：三角函數(shù)的周期和最值．變式10．（2024·北京·北京市第一六一中學?？寄M預測）設函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知，，，解得.設函數(shù)的最小正周期為，易知，當且僅當時符合題意，此時,故選：A.變式11．（2024·全國·高三對口高考）函數(shù)的最小正周期是__________.【答案】【解析】因為，因為的最小正周期為，所以函數(shù)最小正周期為.故答案為：.變式12．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）函數(shù)的最小正周期是______．【答案】【解析】所以最小正周期為，故答案為：變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).則__________.【答案】【解析】由條件，可得，，…，共506組，所以.故答案為：1012.變式14．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，，且，則=_____【答案】/0.5【解析】因為，另外，，且，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，則，所以，，故當時，取最小值.故答案為：變式15．（2024·上海寶山·上海交大附中?？既＃┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的最小正周期是__________．【答案】【解析】，故，故答案為：．變式16．（2024·上海·上海中學?？寄M預測）已知函數(shù)的最小正周期是，則______.【答案】4【解析】，所以最小正周期是，所以.故答案為：4變式17．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）設函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，則的最小值為__________．【答案】/【解析】因為函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當時，.故答案為：變式18．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）函數(shù)的最小正周期為___________.【答案】【解析】，所以，其最小正周期為.故答案為：變式19．（2024·內蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統(tǒng)考階段練習）設函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調性，且，則的最小正周期為_______．【答案】/【解析】在區(qū)間上具有單調性，區(qū)間的長度為，區(qū)間的長度為，由于，所以的一條對稱軸為，其相鄰一個對稱中心為，即，所以.故答案為：變式20．（2024·全國·高三專題練習）下列6個函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號為___________.【答案】①③⑤【解析】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，故答案為：①③⑤【解題方法總結】關于三角函數(shù)周期的幾個重要結論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型四：函數(shù)的單調性例10．（2024·河北石家莊·正定中學校考模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．的值域為B．的單調遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為【答案】D【解析】因為，所以，所以，故選項A正確；由得，所以的單調遞減區(qū)間為，故選項B正確；所以，所以為奇函數(shù)，故選項C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項D錯誤.故選：D.例11．（2024·全國·模擬預測）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度得函數(shù)的圖象，則的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】將的圖象向右平移個單位長度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調遞增區(qū)間為，.故選：C.例12．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調遞增【答案】C【解析】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點代入，得，又，所以，故，故A錯誤；所以，故B錯誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因為，故D錯誤.故選：C.變式21．（2024·四川瀘州·統(tǒng)考三模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調遞減 B．在區(qū)間上單調遞減C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間上單調遞增【答案】B【解析】函數(shù)的最小正周期是，選項AC中區(qū)間長度是一個周期，因此不可能單調，圖象左右平移后也不可能單調，AC錯；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為，選項B，時，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；選項D，時，，在此區(qū)間上不是單調函數(shù)，D錯誤．故選：B．變式22．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調遞減 B．在上單調遞增C．在上單調遞減 D．在上單調遞增【答案】C【解析】因為.對于A選項，當時，在上單調遞增，A錯；對于B選項，當時，則在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯；對于C選項，當時，則在上單調遞減，C對；對于D選項，當時，則在上單調遞減，故D錯.故選：C.變式23．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】設函數(shù)的圖象向左平移單位長度后得到的函數(shù)圖象對應的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以，由，得，，，所以，，取，得，所以，所以，所以由，得，即，所以，，即，，所以不等式的解集為（），故選：C變式24．（2024·全國·高一專題練習）的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖可得，即，結合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點，對應的橫坐標為，軸右側第一個最低點為，對應的橫坐標為，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為故選：B變式25．（2024·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：C【解題方法總結】三角函數(shù)的單調性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復合函數(shù)，利用復合函數(shù)單調區(qū)間的單調方法轉化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對于函數(shù)的單調性的討論與以上類似處理即可．題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）例13．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關于軸對稱，則實數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的圖像向右平移個單位長度后，變?yōu)?，因的圖象關于軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當時，實數(shù)取得最小值為，故選：B例14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關于軸對稱，則的值是______．【答案】/【解析】，函數(shù)的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個單位長度，可得的圖像，根據(jù)所得圖像關于軸對稱，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．例15．（2024·上海松江·校考模擬預測）已知函數(shù)的對稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.【答案】6【解析】顯然函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點關于點成中心對稱，于是，所以.故答案為：6變式26．（2024·全國·高三對口高考）設函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，若，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，所以，所以，所以因為，所以時，.故答案為：變式27．（2024·新疆喀什·校考模擬預測）函數(shù)向左平移個單位長度之后關于對稱，則的最小值為______.【答案】1【解析】向左平移個單位長度后，得，因為函數(shù)關于對稱，所以，,，，所以的最小值為1.故答案為：1變式28．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對稱軸，則的最小值為______．【答案】5【解析】由，得，又，解得，所以，又直線為圖象的一條對稱軸，則有，，化簡得，，又，故的最小值為5．故答案為：.變式29．（2024·河南開封·?？寄M預測）已知函數(shù)的圖象關于點對稱，那么的最小值為________．【答案】【解析】的圖象關于點對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：變式30．（2024·全國·模擬預測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關于點對稱，則的最小值為______.【答案】【解析】由題可得，的圖象關于點對稱，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.變式31．（2024·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關于對稱，當取最小值時，_______.【答案】/【解析】由的圖象關于對稱，則，，∴（），又∵，∴當，的最小值為4，此時，，∴.故答案為：.變式32．（2024·福建寧德·高三?？茧A段練習）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關于直線對稱”的的一個值________．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】由題意可得：，則，當時，.故答案為：.變式33．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為．若,則的最大______．【答案】【解析】由題知.所以因為,所以當取最大值故答案為：變式34．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）曲線的一個對稱中心為______（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【解析】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個對稱中心是.故答案為：（答案不唯一）.變式35．（2024·甘肅武威·甘肅省武威第一中學?？寄M預測）函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標是______．【答案】（答案不唯一）【解析】令，解得,則圖象的對稱中心的坐標是．當時，，則是圖像的一個對稱中心．故答案為：（答案不唯一）.【解題方法總結】關于三角函數(shù)對稱的幾個重要結論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）例16．（2024·全國·高三專題練習）實數(shù)滿足，則的范圍是___________.【答案】【解析】.故令，.則原式，故.故答案為：.例17．（2024·河北·校聯(lián)考一模）函數(shù)的最小值為__________.【答案】/【解析】因為，所以當時，，此時的最小值為.故答案為：例18．（2024·湖南長沙·長郡中學?？寄M預測）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個取值為___________.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】可化為，所以，設，則，設，則，因為函數(shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.變式36．（2024·全國·高三對口高考）的最小值為__________.【答案】【解析】，所以當，時，取得最小值.故答案為：．變式37．（2024·上海嘉定·?？既＃┤絷P于的方程在上有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】原方程等價于即函數(shù)，在上有交點，∵，∴，，故，則.故答案為：變式38．（2024·江西鷹潭·貴溪市實驗中學?？寄M預測）函數(shù)的值域為__________．【答案】【解析】因為，又，所以，則，即函數(shù)的值域為.故答案為：.變式39．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為______．【答案】【解析】當時，，則，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：變式40．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，，則的最小值為________.【答案】【解析】.因為，所以，所以，所以，即函數(shù)的最小值為.故答案為：.變式41．（2024·全國·高三專題練習）設，則的最小值為__________.【答案】【解析】設，由，得，又由，得，所以，令，，當時，時，即當時，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】由題意，函數(shù)，令且，則，從而，令，解得或，當時，；當時，；當時，，所以在上單調遞減；在上單調遞增；在上單調遞減．因為，，所以的最大值為.故答案為：.變式43．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．【答案】【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，所以，所以因為，所以，，當且僅當時取等，令，，，所以.則的范圍是：.故答案為：變式44．（2024·陜西咸陽·陜西咸陽中學校考模擬預測）函數(shù)的值域是___________.【答案】【解析】因為又因為,所以當時,取得最小值-1,當時,取得最大值2,故的值域是.故答案為：變式45．（2024·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是________.【答案】【解析】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設，即，則令，，，，顯然在上單調遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：變式46．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為_____________．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.變式47．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為______．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∵∴當時，取得最大值．故答案為：變式48．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為______．【答案】【解析】的定義域滿足，即.故答案為：.變式49．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】設，因為，可得，因為正切函數(shù)在上的值域為，即函數(shù)在的值域為.故答案為：.變式50．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預測）函數(shù)的最大值為________．【答案】/【解析】∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．故答案為：【解題方法總結】求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數(shù)求解釋務必注意或的范圍．（6）導數(shù)法（7）權方和不等式題型七：三角函數(shù)性質的綜合例19．（多選題）（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調遞增【答案】AD【解析】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當時，，其一個對稱中心為，也是的一個對稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；當時，，其一個對稱中心為，也是的一個對稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿足題意.，，A項正確，B項不正確；，不是偶函數(shù)，C項不正確；當時，，函數(shù)在上單調遞減，則在上單調遞增，D項正確.故選：AD例20．（多選題）（2024·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（

）A．在單調遞減B．的一條對稱軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的解析式為【答案】AB【解析】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過點，，，則．當時．即．令，則，當時，在單調遞減，故A正確．令，則，當時，的一條對稱軸為，故B正確．因為為偶函數(shù)，所以，則的周期為且，故C錯誤．函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯誤．故選：AB．例21．（多選題）（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的圖象關于對稱，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調遞增D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關于點對稱【答案】AB【解析】因為函數(shù)的圖象關于對稱，所以，解得，所以，其最大值為2，故A正確；令，定義域為，，所以即是偶函數(shù)，故B正確；時，，在單調遞增，在單調遞減，故C錯誤；把的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為，所以的圖象不關于點對稱，故D錯誤.故選：AB變式51．（多選題）（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由，故必有一個最大值和一個最小值，則為半個周期長度，故正確；由題意的圖象關于軸對稱，B正確；的最小正周期為C錯誤.，在上有且僅在3個零點，結合正弦函數(shù)的性質知：，則，D正確；故選：ABD變式52．（多選題）（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調，則（

）A．B．將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個零點，則【答案】AB【解析】因為，所以是函數(shù)的一個零點，所以①，又因為對恒成立，所以時取得最小值，即②，則①減②可得：，又因為在上單調，所以，則，結合，所以，所以，，則，，又因為，所以，故A正確；所以，將的圖象向左平移個單位長度后得到，故B正確；，故C錯誤；函數(shù)在上有5個零點，令，即與的圖象有5個交點，畫出與的圖象如下，

，，由圖可知，當時，與的圖象有5個交點，即函數(shù)在上有5個零點,故D錯誤.故選：AB變式53．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調遞增 D．的最小值為1【答案】BC【解析】因為，，所以是偶函數(shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，因為，所以B錯誤；因為當時，所以在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，C錯誤；因為當時，設，則，同理：當時，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.變式54．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【解析】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯誤，B正確；當時，，因為，在次區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間上單調遞減，C正確；當時，，，，即，D選項錯誤.故選：BC變式55．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的最小值為C．的圖象關于點對稱 D．在區(qū)間上有3個零點【答案】ACD【解析】選項A：故的一個周期為，A正確.選項B：，當，時，取得最小值，，當，時即，時，取得最小值，所以兩個函數(shù)不可能同時取得最小值，所以的最小值不是，故B錯誤.選項C：，，所以，所以的圖象關于點對稱，C正確，選項D：，得，或，得，或，，故區(qū)間中的根為，，，故D正確.故選：ACD變式56．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】（1）因為所以，因為，所以.（2）因為，所以，所以的最大值為，最小值為.若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因為在上單調遞增，且，所以,所以,,所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以，；若選條件③：因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．變式57．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的解析式；(2)將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內的零點.【解析】（1）由圖象可得，，則，即，∴，由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；（2）將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數(shù)在內的零點為0與.變式58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調，其中，，且．(1)求的圖象的一個對稱中心的坐標；(2)若點在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達式．【解析】（1）由函數(shù)在區(qū)間上單調，且，可知，故的圖象的一個對稱中心的坐標為（2）由點在函數(shù)的圖象上，有，又由，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，由函數(shù)的圖象和性質，有，又，有，將上面兩式相加，有，有，又由，可得，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調，有，可得，可得，故．變式59．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預測），，，(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的最小正周期為①求的值；②當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍【解析】（1）依題意，，當時，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②當時，，當時，，當，即時，的最大值為2，不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當時，恒成立，當時，，得，綜上可得，，當時，，當時，，當，即時，的最大值為0不等式恒成立，即恒成立，整理為，恒成立，當時，恒成立，當時，，得，綜上可得，，綜上可知，當時，，當時，.變式60．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預測）某港口在一天之內的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中為水深（單位：米），為時間（單位：小時），該函數(shù)圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內至多能在港口停留多久？【解析】（1）由圖知，，，，所以，將點代入得，結合解得，所以函數(shù)的解析式.（2）貨船需要的安全水深為米，所以當時貨船可以停留在港口.由得，得，即，當時，，當時，，所以該船一天之內至多能在港口停留小時.變式61．（2024·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預測）已知函數(shù)的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，______；①若將的圖像向右平移個單位，所得函數(shù)為奇函數(shù)．②若將的圖像向左平移個單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，在①，②兩個條件中選擇一個補充在______并作答(1)若，求的取值范圍；(2)設函數(shù)的零點為，求的值．【解析】（1）因為函數(shù)的圖像相鄰對稱軸之間的距離是，所以，解得，所以，

選①：當將的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)，因為為奇函數(shù)，所以，即，因為，所以，則則，因為，所以，則，所以.選②：的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即.因為，所以，則則，因為，所以，則，所以.（2）因為函數(shù)的零點為，所以，則，

所以，.變式62．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由函數(shù)的圖象知：，則，所以，，因為，所以，則，又因為，則，所以；（2）由題意得：，令，則化為：，即在上有解，由對勾函數(shù)的性質得：，所以.【解題方法總結】三角函數(shù)的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．因為對稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關于坐標原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調，特殊的，若，函數(shù)在上單調，且，設，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）題型八：根據(jù)條件確定解析式方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式．例22．（2024·甘肅金昌·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，設使成立的a的最小正值為m，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】使成立的a即為的對稱中心的橫坐標，∴a的最小正值為，由圖可知，，，∴，將點代入，得，∴，，，，∵，∴取，∴，∴，∴.故選：B.例23．（2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中學?？奸_學考試）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，故，因為，，所以，，即.又因為，解得.即.將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù).故選：A例24．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的函數(shù)圖象的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由題中函數(shù)圖象可知：.最小正周期為，所以，，將點代入函數(shù)解析式中，得，所以，，即，.因為，所以，故，.把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)圖象的解析式為，；再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)圖象的解析式為，.故選：D變式63．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象可得，可得，，可得，由于函數(shù)在附近單調遞減，且，，由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，，則，所以，解得，，所以，，因此．故選：D．變式64．（2024·北京通州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，則，故，則，由，則，所以，，又，故，綜上，，故選：C.變式65．（2024·寧夏·高三銀川一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為_______________.【答案】【解析】由圖象得到的最大值為，所以將點、代入解析式，，因為，，可得，所以故答案為：．變式66．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考期中）設函數(shù)，（其中，）的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式為_______.【答案】【解析】由過求的值，根據(jù)五點畫法坐標求出，即可求出結論.過點，，或，函數(shù)在軸右側第一個最高點坐標為若時，，若時，（舍去），.故答案為:.方向二：知性質（如奇偶性、單調性、對稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）變式67．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，當時，的最小值為，則______；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域為______．【答案】【解析】易知的最大值和最小值分別為和，因為，所以、一個為的最大值點，一個為的最小值點，設函數(shù)的最小正周期為，則由的最小值為，得，所以，則，所以．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)為，令，則，可得，，所以，，所以，所以，所以，若，則，則，則.故在上的值域為．故答案為：；．變式68．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）某函數(shù)滿足以下三個條件：①是偶函數(shù)；②；③的最大值為4．請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)的解析式______．【答案】（答案不唯一）【解析】因為是偶函數(shù)，所以的圖象關于y軸對稱，因為，所以，即所以的圖象關于點對稱，所以4為的一個周期，又的最大值為4，所以滿足條件.故答案為：（答案不唯一）變式69．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，且，寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式：___________.【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，且，∴，，∴，，令，，，，，令，，.故答案為：（答案不唯一）.變式70．（2024·河北·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的圖象過點，且相鄰兩個零點的距離為.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則函數(shù)的解析式為___________.【答案】【解析】的相鄰兩個零點的距離為，的最小正周期，；又，，解得：，又，，，.故答案為：.變式71．（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足，，且在上有且僅有5個零點，則此函數(shù)解析式為_____________．【答案】【解析】因為，令，則，即，所以是圖像的對稱中心，又，令，則，即，所以是圖像的對稱軸，所以，得，令，則，所以，因為在上有且只有5個零點，所以，又，即，所以，得，代入上式，得，又，所以，所以.故答案為：變式72．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)（，）滿足，其圖象與軸在原點右側的第一個交點的坐標為，則函數(shù)的解析式為__________.【答案】或【解析】因為滿足，所以圖象關于對稱，因為圖象與軸在原點右側的第一個交點的坐標為，所以，所以，所以即，所以，，解得：，，因為，所以或所以或.故答案為：或.變式73．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)(，)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，則的解析式為________.【答案】【解析】∵函數(shù)，∴，由題意得，∴，則.∵為偶函數(shù)，∴，∴，，又∵，故，即，∴.故答案為：變式74．（2024·上海虹口·統(tǒng)考一模）設函數(shù)（其中,）,若函數(shù)圖象的對稱軸與其對稱中心的最小距離為,則______．【答案】【解析】解:由題知,因為對稱軸與對稱中心的最小距離為,所以,即,所以,此時,因為對稱軸為,故有:,即,因為,所以,故.故答案為:【解題方法總結】根據(jù)函數(shù)必關于軸對稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．題型九：三角函數(shù)圖像變換例25．（2024·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）如圖，函數(shù)的圖像過兩點，為得到函數(shù)的圖像，應將的圖像（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【解析】代入得即即對于A選項，,故A錯誤對于B選項，故B錯誤對于C選項，故C錯誤對于D選項，，故D正確故選：D例26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，由題意可得，可得，當時，，故選：D.例27．（2024·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學?？奸_學考試）已知把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，，且，，即，解得，當時，取得最小正值，.故選：C.變式75．（2024·全國·高三專題練習）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【解析】由題意，由于函數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：A.變式76．（2024·青海西寧·統(tǒng)考二模）為了得到函數(shù)圖象，只要將的圖象（

）A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變B．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變【答案】A【解析】只要將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，即A正確；將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的是函數(shù)的圖象，故B錯誤；將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的是函數(shù)的圖象，故C錯誤；將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的是函數(shù)的圖象，故D錯誤；故選：A變式77．（2024·全國·高三專題練習）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】因為，故將已知轉化為要得到函數(shù)的圖象，又，所以將的圖象向右平移個單位長度即可得到的圖象.故選：D變式78．（2024·陜西·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象B．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象【答案】A【解析】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，則，，，則，可得，，所以，，所以，，因此，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.故選：A.變式79．（2024·安徽合肥·合肥一中?？寄M預測）已知曲線，則下面結論正確的是（

）A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來