第8講、冪函數(shù)與二次函數(shù)（教師版）

[在此處鍵入]第8講冪函數(shù)與二次函數(shù)知識(shí)梳理1、冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，（2）與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【解題方法總結(jié)】1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫(huà)法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類(lèi)似畫(huà)出．2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3、一元二次方程的根的分布問(wèn)題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根4、有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類(lèi)問(wèn)題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類(lèi)討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).必考題型全歸納題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實(shí)數(shù)（

）A． B．或 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則.故選：A【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，所以或，對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過(guò)點(diǎn)，故，故，，.故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，定義域和值域均為，符合題意；時(shí)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故不合題意；時(shí)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意；時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意；時(shí)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋环项}意；時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以0，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.【解題方法總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開(kāi)方式非負(fù).當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的.題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例2】（2024·吉林長(zhǎng)春·高三校考期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，與已知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱矛盾，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得，不等式化為：，即，解得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過(guò)第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號(hào)是________．【答案】②③④⑤【解析】?jī)绾瘮?shù)圖象不過(guò)第四象限，①正確；圖象是直線上去掉點(diǎn)，②錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，③錯(cuò)誤；函數(shù)的定義域是，則它的值域是，④錯(cuò)誤；若函數(shù)的值域是，則它的定義域也可能是，⑤錯(cuò)誤，故答案為：②③④⑤．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，若對(duì)，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)，，，所以只需即可，因?yàn)?，，所以，，由，解得故答案為?【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·福建三明·高三?？计谥校┮阎?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】已知，或①；，②；，③．綜合①②③，求得實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：﹒【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】由函數(shù)單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，若，有，而，此時(shí)函數(shù)的值域不是；②當(dāng)時(shí)，若，有，而，若函數(shù)的值域?yàn)椋赜?，可得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式的解集為：_________．【答案】【解析】不等式變形為，所以，令，則有，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，則，解得，故不等式的解集為．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且是遞減函數(shù)，因?yàn)椋傻?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.【答案】-1【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)奇函數(shù)，且，所以，故答案為：-1【解題方法總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件【例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【解析】關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得：，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】令，由方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得，即或，解得，故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，故時(shí)，，即，解得，故，故選：D【解題方法總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題【例4】（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為；（2）若，則，，當(dāng)時(shí)，則無(wú)解，所以；若時(shí)，由，得，對(duì)稱軸為，假設(shè)，，，區(qū)間，在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，所以在，上是單調(diào)函數(shù)，則的最值必在，處取到，，，，所以假設(shè)錯(cuò)誤，則，綜上，得到.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對(duì)，則，使得成立，求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)，則，，即當(dāng)時(shí)，.(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)椋?，函?shù)在上的值域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，則，使得成立，則，解得.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由已知可得的定義域?yàn)?，任取，且，則，因?yàn)?，，，所以，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．（2），令，則當(dāng)時(shí)，，所以．令，，則只需．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，與矛盾，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．（2），由題意或，這時(shí)解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的值域?yàn)?，所以二次函?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根滿足則，解得：，所以.（2）由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即，所以的對(duì)稱軸方程為，則，即，故的取值范圍為.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，解得.（2）由（1）知所以，令，則，其對(duì)稱軸為，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，由，解得，此時(shí)不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得或，又，所以；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，由，解得，不滿足，此時(shí)不存在符合題意的值.綜上所述，存在，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【解題方法總結(jié)】“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類(lèi)討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問(wèn)題【例5】（2024·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．【解析】（1）依題設(shè)，由，得，，得恒成立，∴，得，所以，又，所以，∴；（2）由題意可得：，，若，則，則在[0,1]上單調(diào)遞增，所以；若，當(dāng)，即時(shí)，在[0,1]上單調(diào)遞增，當(dāng)，只須比較與的大小，由，得：，此時(shí)，時(shí)，，此時(shí)，綜上，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，綜上可知：的最小值為．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，求的最小值．【解析】令，分別取，1，2，可得，，．由，利用絕對(duì)值三角不等式可得，因此當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，得在上的最大值為，說(shuō)明等號(hào)能成立．故的最小值為．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)當(dāng)時(shí)，①求