高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練(新高考專用)專題2.1不等式的性質(zhì)及常見(jiàn)不等式解法【原卷版+解析】

專題2.1不等式的性質(zhì)及常見(jiàn)不等式解法【核心素養(yǎng)】1.結(jié)合命題的真假判斷、大小比較等，考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3.結(jié)合“三個(gè)二次”間的關(guān)系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．4.以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查應(yīng)用不等式性質(zhì)、一元二次不等式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題的能力，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.(2)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號(hào)的式子，叫做不等式.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四一元二次不等式的概念及解法(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.（4）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．②判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．③求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．④寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))知識(shí)點(diǎn)六知識(shí)點(diǎn)六絕對(duì)值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．知識(shí)點(diǎn)七知識(shí)點(diǎn)七常用結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．常考題型剖析?？碱}型剖析題型一：用不等式表示不等關(guān)系【典例分析】例1-1.用一段長(zhǎng)為30的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長(zhǎng)為,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為_(kāi)_______.

例1-2．（浙江高考真題）某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達(dá)7000萬(wàn)元，則，x的最小值_______【規(guī)律方法】用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm，且體積不超過(guò)，設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且變式1-2.（北京高考真題）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口,的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（

）A． B． C． D．題型二：比較數(shù)或式子的大小例2-1.【多選題】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．例2-2.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.【規(guī)律方法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若，若，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m變式2-2.【多選題】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知a，b，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．題型三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．例3-2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)且，，則的范圍為_(kāi)______.【規(guī)律方法】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說(shuō)明理由或進(jìn)行證明，推理過(guò)程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說(shuō)明某結(jié)論錯(cuò)誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推證時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯(cuò)，即在不等式的兩邊同時(shí)乘(除)以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，的取值范圍是_______________變式3-2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是__________題型四：一元二次不等式的解法【典例分析】例4-1.（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例4-2.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求不等式的解集.【規(guī)律方法】含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集．【易錯(cuò)警示】忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)致誤【變式訓(xùn)練】變式4-1.（遼寧高考真題）定義在上的運(yùn)算：.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則（

）A． B． C． D．變式4-2.（北京高考真題）若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________；若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．題型五：絕對(duì)值不等式的解法【典例分析】例5-1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件例5-2．（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．變式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若集合，則______.題型六：絕對(duì)值不等式的應(yīng)用【典例分析】例6-1.（陜西高考真題）不等式若關(guān)于x的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【規(guī)律方法】1.兩類含絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明．2.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對(duì)值為定值.(3)利用絕對(duì)值的幾何意義.【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．一、單選題1．（河北省2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則3．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·北京海淀·101中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則下列中正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題6.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）雷電的溫度大約是，比太陽(yáng)表面溫度的倍還要高．設(shè)太陽(yáng)表面溫度為，那么應(yīng)滿足的關(guān)系式是______．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值為_(kāi)__________．8.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）命題“若，則”是真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為_(kāi)_______.10．（2023春·上?！じ呷虾Ｊ袑?shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)_________．11．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，，則______，______.三、解答題12.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．專題2.1不等式的性質(zhì)及常見(jiàn)不等式解法【核心素養(yǎng)】1.結(jié)合命題的真假判斷、大小比較等，考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3.結(jié)合“三個(gè)二次”間的關(guān)系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．4.以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查應(yīng)用不等式性質(zhì)、一元二次不等式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題的能力，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一實(shí)數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.(2)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號(hào)的式子，叫做不等式.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四一元二次不等式的概念及解法(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.（4）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．②判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．③求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．④寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))知識(shí)點(diǎn)六知識(shí)點(diǎn)六絕對(duì)值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．知識(shí)點(diǎn)七知識(shí)點(diǎn)七常用結(jié)論1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：用不等式表示不等關(guān)系【典例分析】例1-1.用一段長(zhǎng)為30的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長(zhǎng)為,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為_(kāi)_______.

【答案】【解析】矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為,則另一邊長(zhǎng)為,即,根據(jù)已知得例1-2．（浙江高考真題）某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達(dá)7000萬(wàn)元，則，x的最小值_______【答案】20【詳解】把一月份至十月份的銷售額相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的銷售總額為:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以xmin=20.【規(guī)律方法】用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm，且體積不超過(guò)，設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系列不等式，“不超過(guò)”不等號(hào)為“小于等于”.【詳解】由長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm得，由體積不超過(guò)得.故選：C.變式1-2.（北京高考真題）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口,的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)每個(gè)三岔路口駛?cè)肱c駛出相應(yīng)的環(huán)島路段的車輛數(shù)列出等量關(guān)系，即可比較出大小．【詳解】依題意，有，所以，同理，，所以，同理，，所以，所以．故選：C．題型二：比較數(shù)或式子的大小例2-1.【多選題】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用比差法比較的大小判斷A，利用比差法比較的大小判斷B，利用基本不等式比較的大小，判斷C，舉反例判斷D.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，，?duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，A正確；對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，所以，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立，C正確；對(duì)于D：令，，滿足條件，，且，但是，D錯(cuò)誤.故選：AC.例2-2.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可證明.（2）要比較與的大小，將兩式做差展開(kāi)化簡(jiǎn)，得到即可判斷正負(fù)并比較出結(jié)果.【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.又a＞b＞0，所以.（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【規(guī)律方法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習(xí)）若，若，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m【答案】A【分析】利用作差法分析判斷.【詳解】由題意可得：，∵，則，∴，即，故選：A.變式2-2.【多選題】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知a，b，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．【答案】BC【分析】通過(guò)舉反例可判斷A項(xiàng)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可判斷B項(xiàng)，運(yùn)用基本不等式可判斷C項(xiàng)，方法1：通過(guò)舉反例，方法2：作差法可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，例如，，，滿足，，但不滿足，故A項(xiàng)不成立；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，方法1：當(dāng)，時(shí)，，，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．方法2：作差法，，因?yàn)椋?，所以，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.題型三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性質(zhì)，特殊值法即可判定.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，即A正確；對(duì)于B項(xiàng)，不妨令，顯然，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，則，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，顯然D錯(cuò)誤.故選：BCD例3-2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)且，，則的范圍為_(kāi)______.【答案】【分析】根據(jù)題意整理可得，，分析可得，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，利用判別式分析運(yùn)算.【詳解】由且，得，，且①，又因?yàn)椋傻芒?，由①②可知：，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，于是，解得：，且，則，則，所以的范圍為.故答案為：.【規(guī)律方法】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說(shuō)明理由或進(jìn)行證明，推理過(guò)程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說(shuō)明某結(jié)論錯(cuò)誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推證時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯(cuò)，即在不等式的兩邊同時(shí)乘(除)以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，的取值范圍是_______________【答案】【分析】設(shè)，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．【詳解】設(shè)，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范圍.故答案為：.變式3-2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍是__________【答案】【分析】先根據(jù)求出的范圍，利用的范圍可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以或，即或；?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；故答案為：.題型四：一元二次不等式的解法【典例分析】例4-1.（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得出，根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可得出答案.【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.例4-2.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知不等式的解集得到的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，利用韋達(dá)定理即可求出的值；（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【詳解】（1）依題意可得：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，由韋達(dá)定理得：，解得：；（2）由（1）不等式，即，解得：，故不等式的解集是．【規(guī)律方法】含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集．【易錯(cuò)警示】忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)致誤【變式訓(xùn)練】變式4-1.（遼寧高考真題）定義在上的運(yùn)算：.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，再解不等式即得解.【詳解】不等式可化為，即對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，，解得.故選：B變式4-2.（北京高考真題）若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________；若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)不等式與方程的關(guān)系，分別計(jì)算和，解不等式得到答案.【詳解】不等式的解集為，則，解得；不等式的解集不是空集，即，故，解得或.故答案為：；題型五：絕對(duì)值不等式的解法【典例分析】例5-1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，則，，則，，據(jù)此可知：“”是“”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項(xiàng).例5-2．（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【答案】.【解析】令，則，（1）當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí)有；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無(wú)解；（3）當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí)有；綜上所述，不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式訓(xùn)練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)椋煽傻们?，解得，則，因此，.故選：D.變式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若集合，則______.【答案】【分析】分別求出集合，由交集的定義即可得出答案.【詳解】或，，.故答案為：.題型六：絕對(duì)值不等式的應(yīng)用【典例分析】例6-1.（陜西高考真題）不等式若關(guān)于x的不等式存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____【答案】【詳解】先確定的取值范圍，再使得能取到此范圍內(nèi)的值即可．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上可得，所以只要，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【規(guī)律方法】1.兩類含絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明．2.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行“求解”，但要注意兩數(shù)的“差”還是“和”的絕對(duì)值為定值.(3)利用絕對(duì)值的幾何意義.【變式訓(xùn)練】變式6-1.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用絕對(duì)值的幾何意義求得最小值為，再由不等式有解可得實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：由于表示數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之差，其最小值為，最大值為，因?yàn)殛P(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，可得，即，解得或.故選：A.一、單選題1．（河北省2023屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】，，因此，.故選：A.2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則【答案】D【分析】舉例說(shuō)明選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤；利用作差法證明選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，時(shí)滿足，但，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，時(shí)，滿足，但，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由不等式的基本性質(zhì)易知，當(dāng)，，時(shí)滿足，，但，所以C錯(cuò)誤；對(duì)