圓的最值與范圍問題（8題型+滿分技巧+限時檢測）（學(xué)生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)圓的最值與范圍問題與圓相關(guān)的最值問題是近幾年高考數(shù)學(xué)對圓的考查的重點(diǎn)內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題和圓相關(guān)的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結(jié)合的問題?！绢}型1圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題：一般都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點(diǎn)，設(shè)圓的半徑為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長，為與圓的交點(diǎn)，為延長線與圓的交點(diǎn).【例1】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)，則的最大值為（）A．8B．9C．D．【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足：，則的最大值為（）A．2B．C．D．3【變式1-3】（2023·上?！じ呷袑?shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，為的中點(diǎn)．點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【題型2圓上一點(diǎn)到直線的最值范圍】滿分技巧圓上的點(diǎn)到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線和圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)M為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AB的距離的最大值為．【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，平面內(nèi)的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為．【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為.【題型3過圓內(nèi)定點(diǎn)的最值范圍】滿分技巧過圓內(nèi)定點(diǎn)的弦長最值：已知圓及圓內(nèi)一定點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線被圓所截得的弦長的最小值為.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C:，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實(shí)數(shù)m的值為（）A．B．C．1D．【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過圓內(nèi)點(diǎn)有若干條弦，它們的長度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過點(diǎn)的圓的最短弦長和最長弦長，則的取值集合為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓，直線，當(dāng)圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為.【題型4圓的切線長的最值范圍】滿分技巧切線長度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長的最小值為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，過點(diǎn)P作圓C：的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為．【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A．B．C．D．本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)#第六感【變式4-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線：上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【變式4-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（）A．B．C．D．【題型5距離和差的最值范圍】滿分技巧圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進(jìn)行舉例轉(zhuǎn)化，有時需結(jié)合對稱性及三點(diǎn)共線距離最短的性質(zhì)求解最值?！纠?】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線（點(diǎn)為切點(diǎn)），為圓上一動點(diǎn)．則的最小值是（）A．B．C．D．本號資料*全部來源于#微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：上的動點(diǎn)，B為圓E：上的動點(diǎn)，P為直線上的動點(diǎn)，則的最大值為.【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則的最小值為（）.A．B．C．D．【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獔AO：和點(diǎn)，點(diǎn)，M為圓O上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿分技巧與角度有關(guān)的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀察線段之間的關(guān)系再進(jìn)行處理。【例6】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則的最大值為．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為拋物線上一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，動點(diǎn)滿足，則最大值為（）A．B．C．D．【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知圓：與直線：（），過上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．D．【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知D為邊BC上一點(diǎn)，，．若的最大值為2，則常數(shù)的值為（）A．B．C．D．【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的動直線斜率的最值問題；2、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和點(diǎn)距離的平方的最值問題；3、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為動直線縱截距的最值問題【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)是圓:上一點(diǎn),則的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面四邊形中，點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的取值范圍是【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知是曲線上的點(diǎn)，則的取值范圍是.【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值為；的最大值為．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考一模）已知直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（）本號資料全部來#源于微信公眾號*：數(shù)學(xué)第六感A．9B．16C．27D．30【題型8圓中面積的最值范圍】滿分技巧與圓有關(guān)的面積最值問題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。【例8】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【變式8-3】（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知圓，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A．B．C．2D．4【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，已知圓：，圓：，過直角坐標(biāo)原點(diǎn)作直線分別交兩圓于過點(diǎn)作直線分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為（建議用時：60分鐘）1．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓上一點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A．1B．C．2D．2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，，，，若動點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A．16B．17C．18D．193．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．4．（2024·河北·高三張北縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓上有一動點(diǎn)P，圓上有一動點(diǎn)Q，直線上有一動點(diǎn)M，直線與圓相切，直線與圓相切，則的最小值為（）A．4B．5C．D．5．（2022·四川廣安·高三岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，，則（）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是6．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A．B．C．D．7．（2024·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）（多選）已知，點(diǎn)到直線：的垂足為，，，則（）A．直線過定點(diǎn)B．點(diǎn)到直線的最大距離為C．的最大值為D．的最小值為8．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，.記線段，的中點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程為B．四邊形面積的最大值為C．弦的長度的取值范圍為D．直線恒過定點(diǎn)9．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知圓：，