奔馳定理及三角“四心”向量式（5題型+滿分技巧+限時檢測）（學生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學奔馳定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考點，它可以和函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、幾何等知識相結(jié)合考查。平面向量的“奔馳定理”，對于解決平面幾何問題，尤其是解決與三角形面積和“四心”相關(guān)的問題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用。常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等?！绢}型1三角形“重心”及應用】滿分技巧常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點（1）（2）（3）若QUOTEAP=λAB+AC或，，則P一定經(jīng)過三角形的重心（4）若或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinC【例1】（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式1-1】（2022·湖南長沙·高三?？茧A段練習）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內(nèi)一動點，若，，則點的軌跡一定過的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）在中，若，則點是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式1-3】（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學?？茧A段練習）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則點軌跡一定通過三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式1-4】（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習）若是的垂心，，則的值為（）A．B．C．D．【題型2三角形“內(nèi)心”及應用】滿分技巧常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在中，，點D，E分別在線段，上，且D為中點，，若，則直線經(jīng)過的（）.A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【變式2-1】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式2-2】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式2-3】（2023·湖北·模擬預測）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則．本號資料全部來源于#微信公眾號：數(shù)學第六感【變式2-4】（2022·遼寧沈陽·高三?？茧A段練習）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（）A．B．C．D．【題型3三角形“外心”及應用】滿分技巧常用外心向量式：O是?ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC?（2）OA（3）動點P滿足OP=OB+則動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.（4）若OA+OB?AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中學?？计谥校┰谥校瑒狱cP滿足，則P點軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式3-1】（2023·廣東佛山·佛山一中?？家荒＃┰谥校O(shè)，那么動點的軌跡必通過的（）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【變式3-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【變式3-3】（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）中，為邊上的高且，動點滿足，則點的軌跡一定過的（）A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習）已知點是的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【題型4三角形“垂心”及應用】滿分技巧常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：（1）OA（2）OA（3）動點P滿足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈（4）奔馳定理推論：S?BOC:S?COA:【例4】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為的外心，若，則點是的（）A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心【變式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）是所在平面上一點，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-3】（2023·上海·高三行知中學?？计谥校┰谒拿骟w中，已知，若不是等邊三角形，且點在平面上的投影位于內(nèi)，則點是的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【變式4-4】（2022·全國·高三專題練習）設(shè)H是的垂心，且，則．本號資料#全部來源于微信公眾號：數(shù)學*第六感【題型5奔馳定理及應用】滿分技巧奔馳定理及其推論1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且QUOTEx?OA+y?OB+z?OC=02、奔馳定理推論：QUOTEx?OA+y?OB+z?OC==1\*GB3①=2\*GB3②，，QUOTES?AOBS?ABC=zx+y+z.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．3、對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當中可以迅速的地得出正確答案?！纠?】（2022·全國·高三專題練習）點為內(nèi)一點，若，設(shè)，則實數(shù)和的值分別為（）A．，B．，C．，D．，【變式5-1】（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【變式5-2】（2024·江西新余·高三統(tǒng)考期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【變式5-3】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點，的三個內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（）A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【變式5-4】（2024·廣東廣州·執(zhí)信中學?？寄M預測）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，的面積分別為，且.以下命題正確的有（）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，為的外心，則D．若為的垂心，，則（建議用時：60分鐘）1．（2022·云南·云南民族大學附屬中學?？寄M預測）已知是平面內(nèi)一點，，，是平面內(nèi)不共線的三點，若，一定是的（）A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心2．（2022·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點在所在平面內(nèi)，滿，，則點依次是的（）A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心本號#資料全#部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感3．（2022·全國·高三專題練習）在△中，，，，O為△的內(nèi)心，若，則（）A．B．C．D．4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知中，點為所在平面內(nèi)一點，則“”是“點為重心”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．（2024·全國·高三專題練習）已知為所在平面內(nèi)一點，是的中點，動點滿足，則點的軌跡一定過的（）A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．邊的中點6．（2022·浙江·高三慈溪中學校聯(lián)考期中）已知中，點為邊中點，點為所在平面內(nèi)一點，則“”為“點為重心”（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心8．（2022·全國·高三專題練習）若在所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件，則是的（）A．垂心B．重心C．內(nèi)心D．外心9．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）在銳角三角形ABC中，，，H為的垂心，，O為的外心，且，則（）A．9B．8C．7D．610．（2023·全國·高三專題練習）已知的三個內(nèi)角分別為為平面內(nèi)任意一點，動點滿足則動點P的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心11．（2022·遼寧·高三遼寧實驗中學?？计谥校?shù)學家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是（）A．B．C．D．12．（2022·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預測）數(shù)學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（）A．B．C．D．13．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知點P是的重心，則下列結(jié)論正確的是（）本號資料全部來源于微信公眾#號：數(shù)學第六感A．B．C．D．14．（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習）奔馳定理：已知點O是內(nèi)的一點，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（）A．B．C．D．15．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學?？茧A段練習）（多選）點O在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若，則點O是的重心B．若，則點O是的內(nèi)心C．若，則點O是的外心D．若，則點O是的垂心16．（2023·江蘇南京·高三南京市第二十九中學?？茧A段練習）（多選）已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心17．（2023·遼寧·高三朝陽市第一高級中學校聯(lián)考階段練習）（多選）在所在的平面上存在一點，，則下列說法錯誤的是（）A．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的外心B．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的垂心C．若，則點的軌跡不可能經(jīng)過的重心D．若，，則點的軌跡一定過的外心18．（2023·全國·高三專題練習）（多選）