函數(shù)與方程【8類題型】（學(xué)生版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)函數(shù)與方程近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2024年天津卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進行考查，比如：函數(shù)零點的個數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活（1）理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2024年全國甲卷，第16題,5分2023年天津卷第15題，5分2021年北京卷第15題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】求函數(shù)的零點【題型2】求函數(shù)零點所在區(qū)間【題型3】二分法求近似解【題型4】判斷函數(shù)零點個數(shù)或交點個數(shù)【題型5】利用函數(shù)的零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍【題型6】已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍【題型7】比較零點的大小【題型8】求零點的和模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】求函數(shù)的零點函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值．【要點辨析】（1）函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；（2）函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；（3）函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．2、函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解，也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標(biāo)．所以方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解．函數(shù)的零點為（

）A． B． C．0 D．1【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【鞏固練習(xí)2】【鞏固練習(xí)3】已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對任意恒有，則函數(shù)的零點為（

）A． B． C．9 D．27【題型2】求函數(shù)零點所在區(qū)間判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的步驟第一步：將區(qū)間端點代入函數(shù)求函數(shù)的值；第二步：將所得函數(shù)值相乘，并進行符號判斷；第三步：若符號為正切在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點；若符號為負且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個零點。函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【題型3】二分法求近似解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.（2024·廣東梅州·二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】一塊電路板的線段之間有個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）A．次 B．次C．次 D．次【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，在利用二分法求函數(shù)近似解的過程中，第二次求得的區(qū)間中點值為．【鞏固練習(xí)3】（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【題型4】判斷函數(shù)零點個數(shù)或交點個數(shù)零點個數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點，令，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點．（2）定理法：利用零點存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．（3）圖象法：=1\*GB3①單個函數(shù)圖象：利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)．=2\*GB3②兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)．（4）性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【鞏固練習(xí)1】函數(shù)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【鞏固練習(xí)2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【鞏固練習(xí)3】（2019·全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型5】利用函數(shù)的零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·山西陽泉·三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【題型6】已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問題求解．求函數(shù)的零點個數(shù)就是求函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù)，因此只要作出函數(shù)圖象即可．如果函數(shù)圖象不易作出，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為的結(jié)構(gòu)，然后轉(zhuǎn)化為與的圖象交點個數(shù)的問題．解決步驟第一步：將函數(shù)化為的形式，與一個含參，一個不含參．第二步：畫出兩個函數(shù)的圖象．第三步：確定滿足題意時含參函數(shù)的圖象的移動范圍，從而求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．函數(shù)有且只有一個零點，則m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)有2個零點，則m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B． C． D．【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型7】比較零點的大小利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)，函數(shù)的零點分別為，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東梅州·二模）三個函數(shù)，，的零點分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】設(shè)正實數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（