冪函數(shù)與二次函數(shù)方程與不等式（學(xué)生版）

更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)冪函數(shù)與二次函數(shù)，方程與不等式近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2020年天津卷第3題，5分從近五年全國卷的考查情況來看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨(dú)命題，冪函數(shù)要求相對較低,常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較冪值的大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).（1）冪函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)（2）三個(gè)二次之間的關(guān)系2020年江蘇卷第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分2024年上海卷：第3題，5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】冪函數(shù)的定義及圖像【題型2】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【題型3】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【題型4】三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用本號(hào)資料全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)本號(hào)資料全部來源*于微信公眾號(hào)：*數(shù)學(xué)第六感【題型6】解含參一元二次不等式本號(hào)資料全部來源于微*信公眾*號(hào)：數(shù)學(xué)第六感【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（1）：判別式法【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題（2）：參變分離法【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解【題型11】一元二次不等式能成立問題（不等式有解）【題型12】一元二次方程根的分布模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】冪函數(shù)的定義及圖像1.冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是(∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.2.冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.（多選題）（2024·新疆喀什·一模）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【題型2】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】設(shè)，則大小關(guān)系是.【鞏固練習(xí)2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xn的圖象過點(diǎn)(m,8)．設(shè)a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【鞏固練習(xí)3】（2024·河北衡水·三模）已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【題型3】冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).已知冪函數(shù)fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【鞏固練習(xí)1】已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則.【鞏固練習(xí)2】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，下面給出的四個(gè)結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③在R上單調(diào)遞增；④，其中所有正確命題的序號(hào)為（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【鞏固練習(xí)3】（山東菏澤·三模）已知函數(shù)fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【題型4】三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根與一元二次不等式與的解集的關(guān)系，可歸納為：若a<0時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解．通過以上論述，可對“三個(gè)二次”的關(guān)系有一個(gè)較為全面的了解，在解題中，我們要不失時(shí)機(jī)的滲透“三個(gè)二次”三位一體的思維意識(shí)，實(shí)現(xiàn)“三個(gè)二次”之間的相互轉(zhuǎn)換，能自然規(guī)范的運(yùn)用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，提高數(shù)學(xué)解題思維水平。知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．（2020·山東·高考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1【鞏固練習(xí)1】不等式的解集為，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【鞏固練習(xí)2】關(guān)于x的不等式的解集為，且，則a=A． B． C． D．【題型5】由一元二次不等式的解集求參數(shù)先判斷開口方向，再結(jié)合圖像，通過韋達(dá)定理列出參數(shù)相關(guān)的方程組已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．（多選題）（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為D．【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·高一·山東聊城·期末）不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【題型6】解含參一元二次不等式對于含參數(shù)的一元二次不等式，一般不會(huì)單獨(dú)考察，往往和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性一起考察解法：若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式分類討論，分類要不重不漏解關(guān)于的不等式：.解關(guān)于x的不等式.【鞏固練習(xí)1】解不等式【鞏固練習(xí)2】當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【題型7】二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值解決二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值常用的方法是數(shù)形結(jié)合.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（1）：判別式法一元二次不等式在R上的恒成立問題與恒成立問題有關(guān)的詞有：“任意”、“全體實(shí)數(shù)”、“都”、“一切實(shí)數(shù)”等.方法是通過二次函數(shù)的圖像來理解.1.若ax2+bx+c>0恒成立，則a>0，Δ<0；2.若ax2+bx+c<0恒成立，則a<0，Δ<0；3.若ax2+bx+c≠0恒成立，則Δ<0.（多選），關(guān)于的不等式恒成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值恒小于0，則a的取值范圍是________【題型9】含參一元二次不等式恒成立問題（2）：參變分離法本號(hào)*資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感含參一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題一般通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題本號(hào)資料全*部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感參變分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系,，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】若不等式在時(shí)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________；若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【題型10】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解變更主元：在有幾個(gè)變量的問題中,常常有一個(gè)變量處于主要地位,我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的不等式時(shí),有時(shí)若能換一個(gè)角度,變參數(shù)為主元,則可以得到意想不到的效果。已知時(shí)，不等式恒成立，則x的取值范圍為．【鞏固練習(xí)1】若不等式對任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【題型11】一元二次不等式能成立問題（不等式有解）一元二次不等式有解問題一般可以結(jié)合函數(shù)圖像通過分析開口方向以及判別式正負(fù)來確定參數(shù)范圍已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）本*號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】已知命題：“，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．本號(hào)資料全部來源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感【題型12】一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布問題，原理簡單，難點(diǎn)在于要有清晰的分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.一般考慮以下幾方面：開口（若不能判定，則需分類討論，特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)有可能等于零的情況

）.判定給定點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù).（開口向上的二次函數(shù)若存在函數(shù)值小于零，則△＞0

恒成立）判定△符號(hào).判定對稱軸的位置.

總之，耐心去分類討論（分類討論不容易失誤，一步到位往往會(huì)漏解或多解），借助圖象去分析就可以得到結(jié)論，無需記憶.（1）二元二次方程在上根的分布情況①方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③方程沒有實(shí)數(shù)根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有兩個(gè)不等正根；②方程有兩個(gè)不等負(fù)根③方程有一正根和一負(fù)根,設(shè)兩根為（3）一元二次方程的根的“”分布①兩根都小于； ②兩根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在區(qū)間的分布①兩根都在內(nèi) ②兩根都在外 ③兩根僅有一根在內(nèi) ④一根在內(nèi),另一根在內(nèi) 類型一：類型一：根的“0”分布關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，求的取值范圍．【解析】①當(dāng)時(shí)，解得，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，顯然方程沒有零根，由，得設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則，解得；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則，解得．綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則．【鞏固練習(xí)】已知二次方程2m+1x2?2mx+?=4m2類型二：類型二：兩根與k的大小比較已知方程的一個(gè)實(shí)根小于2，另一個(gè)實(shí)根大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【鞏固練習(xí)】若關(guān)于x