2.3.2兩點(diǎn)之間的距離公式課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

兩點(diǎn)之間的距離公式2024.8教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式．1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式；2.會運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡單的平面幾何問題；用坐標(biāo)法解決平面幾何問題．情境導(dǎo)入

在一條筆直的公路同側(cè)有兩個(gè)大型小區(qū)，現(xiàn)在計(jì)劃在公路上的某

處建一個(gè)公交站點(diǎn)，以方便居住在這兩個(gè)小區(qū)的住戶出行.

（1）如何確定這兩個(gè)小區(qū)的距離？

（2）如何選址能使公交站點(diǎn)到兩

個(gè)小區(qū)的距離之和最??？

知識點(diǎn)

兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2兩點(diǎn)間的距離公式：OxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)法一：法二：構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理也可得|P1P2|＝OxyPOxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)OxyP1(x1，y1)P2(x2，y2)檢測：1.（2024·許昌質(zhì)檢）已知A（1，2），B（a，6），且｜AB｜＝5則a＝

?.|AB

|＝解得a＝4或－2.2.已知點(diǎn)A，B是直線x＋2y－1＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則|AB|＝(

)|AB|求直線x＋y－1＝0上與點(diǎn)P(－2，3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，4)，(－1，2)題型一兩點(diǎn)間的距離公式例1（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知過A(m,2),B(-m,m-1),兩點(diǎn)的直線的傾斜角是45o,則A,B兩點(diǎn)間的距離為()所以A(1,2),B(-1,0)|AB|在已知直線2x－y＝0上存在一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)M（5，8）的距離為5，則直線PM的方程為

___________

∵點(diǎn)P在直線2x

－y＝0上，∴可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2

a），∴直線

PM

的方程為即4

x

－3

y

＋4＝0或24

x

－7

y

－64＝0.練習(xí)：（2024·煙臺月考）直線y＝x上的兩點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別是1，5，則｜PQ｜＝()由題意得P（1，1），Q（5，5），∴｜

PQ

｜＝

題型二兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例1（2024·福州月考）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0）.判斷△ABC的形狀；所以｜

AB

｜2＋｜

AC

｜2＝｜

BC

｜2，即△

ABC

是以

A

為直角頂點(diǎn)的直角三角形.因?yàn)椋麬B｜＝｜AC｜＝｜BC｜＝練習(xí)：1.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的直線x＋my－m＝0和過定點(diǎn)B的直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P，則|PA|2＋|PB|2＝(

)直線x＋my－m＝0過定點(diǎn)A(0，1)，直線mx－y－m＋3＝0過定點(diǎn)B(1，3)，且直線x＋my－m＝0和直線mx－y－m＋3＝0滿足1×m－m×1＝0，故兩直線垂直，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5.2.已知直線l過點(diǎn)(1，0)，與直線l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0分別交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝9.求直線l的方程．當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，方程為l：x＝1，即x－1＝0，與兩直線交點(diǎn)分別是(1，3)，(1，－6)，距離為9，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，方程可設(shè)為l：y＝k(x－1)，k≠－3，與直線3x＋y－6＝0聯(lián)立，得交點(diǎn)與直線3x＋y＋3＝0聯(lián)立，得交點(diǎn)＝9，4x＋3y－4＝0，題型三坐標(biāo)法的應(yīng)用例3

在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.設(shè)BC所在邊為x軸，以D為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A（b，c），C（a，0），則B（－a，0），OxyABC(D)因?yàn)椋麬B｜2＝（a＋b）2＋c2，｜AC｜2＝（a－

b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2，｜DC｜2＝a2，所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2，所以｜

AB

｜2＋｜

AC

｜2＝2（｜

AD

｜2＋｜

DC

｜2）.用坐標(biāo)法（解析法）解決幾何問題的基本步驟第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.[注意]建系時(shí)讓圖形中盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于運(yùn)算

練習(xí)：（2024·常州月考）已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|.oxy(A)CDB證明：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c)所以|AC|＝|BD|＝故|AC|＝|BD|.在△ABC中，D是BC邊上的任意一點(diǎn)（D與B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求證：△ABC為等腰三角形.作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在的直線為x軸，OA所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.OxyABCD設(shè)

A

(0，

h

)，

B

(b

，0)，

C

(

c

，0)，

D

(

d

，0)因?yàn)椋麬B｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜，得

b2＋

h2＝

d2＋

h2＋（

d

－

b

）·（

c

－

d

），整理得－（

d

－

b

）（

b

＋

d

）＝（

d

－

b

）（

c

－

d

）.因?yàn)辄c(diǎn)

D

與點(diǎn)

B

，

C

不重合，所以

d

－

b

≠0，所以－

b

－

d

＝

c

－

d

，即－

b

＝

c

.即△

ABC

為等腰三角形.課后練習(xí)1．已知直角坐標(biāo)平面上端點(diǎn)為(－2，5)和點(diǎn)M的線段的中點(diǎn)是(1，0)，則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為(

)設(shè)M(x，y)，由題意得則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為2．在△ABC中，設(shè)點(diǎn)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，利用二次函數(shù)知識可確定到△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)為△ABC的(

)A．重心

B．垂心C．外心

D．內(nèi)心設(shè)點(diǎn)P(x，y)，其中x，y∈R，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－xA)2＋(y－yA)2＋(x－xB)2＋(y－yB)2＋(x－xC)2＋(y－yC)2＝3x2－2(xA＋xB＋xC)x＋＋3y2－2(yA＋yB＋yC)y＋|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P(x，y