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兩點(diǎn)之間的距離公式2024.8教學(xué)目標(biāo):教學(xué)重點(diǎn):教學(xué)難點(diǎn):兩點(diǎn)間距離公式.1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式;2.會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題;用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題.情境導(dǎo)入
在一條筆直的公路同側(cè)有兩個(gè)大型小區(qū),現(xiàn)在計(jì)劃在公路上的某
處建一個(gè)公交站點(diǎn),以方便居住在這兩個(gè)小區(qū)的住戶出行.
(1)如何確定這兩個(gè)小區(qū)的距離?
(2)如何選址能使公交站點(diǎn)到兩
個(gè)小區(qū)的距離之和最???
知識(shí)點(diǎn)
兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1,P2兩點(diǎn)間的距離公式:OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)法一:法二:構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理也可得|P1P2|=OxyPOxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)檢測(cè):1.(2024·許昌質(zhì)檢)已知A(1,2),B(a,6),且|AB|=5則a=
?.|AB
|=解得a=4或-2.2.已知點(diǎn)A,B是直線x+2y-1=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),則|AB|=(
)|AB|求直線x+y-1=0上與點(diǎn)P(-2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)解:設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),有x0+y0-1=0,所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4),(-1,2)題型一兩點(diǎn)間的距離公式例1(23-24高二上·江蘇徐州·期中)已知過(guò)A(m,2),B(-m,m-1),兩點(diǎn)的直線的傾斜角是45o,則A,B兩點(diǎn)間的距離為()所以A(1,2),B(-1,0)|AB|在已知直線2x-y=0上存在一點(diǎn)P,使它到點(diǎn)M(5,8)的距離為5,則直線PM的方程為
___________
∵點(diǎn)P在直線2x
-y=0上,∴可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,2
a),∴直線
PM
的方程為即4
x
-3
y
+4=0或24
x
-7
y
-64=0.練習(xí):(2024·煙臺(tái)月考)直線y=x上的兩點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別是1,5,則|PQ|=()由題意得P(1,1),Q(5,5),∴|
PQ
|=
題型二兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用例1(2024·福州月考)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).判斷△ABC的形狀;所以|
AB
|2+|
AC
|2=|
BC
|2,即△
ABC
是以
A
為直角頂點(diǎn)的直角三角形.因?yàn)椋麬B|=|AC|=|BC|=練習(xí):1.設(shè)m∈R,過(guò)定點(diǎn)A的直線x+my-m=0和過(guò)定點(diǎn)B的直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P,則|PA|2+|PB|2=(
)直線x+my-m=0過(guò)定點(diǎn)A(0,1),直線mx-y-m+3=0過(guò)定點(diǎn)B(1,3),且直線x+my-m=0和直線mx-y-m+3=0滿足1×m-m×1=0,故兩直線垂直,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+22=5.2.已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0),與直線l1:3x+y-6=0和l2:3x+y+3=0分別交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=9.求直線l的方程.當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),方程為l:x=1,即x-1=0,與兩直線交點(diǎn)分別是(1,3),(1,-6),距離為9,符合題意;當(dāng)直線l斜率存在時(shí),方程可設(shè)為l:y=k(x-1),k≠-3,與直線3x+y-6=0聯(lián)立,得交點(diǎn)與直線3x+y+3=0聯(lián)立,得交點(diǎn)=9,4x+3y-4=0,題型三坐標(biāo)法的應(yīng)用例3
在△ABC中,AD是BC邊上的中線,求證:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).設(shè)BC所在邊為x軸,以D為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)A(b,c),C(a,0),則B(-a,0),OxyABC(D)因?yàn)椋麬B|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-
b)2+c2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以|
AB
|2+|
AC
|2=2(|
AD
|2+|
DC
|2).用坐標(biāo)法(解析法)解決幾何問(wèn)題的基本步驟第一步:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)的量;第二步:進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算;第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.[注意]建系時(shí)讓圖形中盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,這樣便于運(yùn)算
練習(xí):(2024·常州月考)已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,對(duì)角線為AC和BD.求證:|AC|=|BD|.oxy(A)CDB證明:如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,0),B(a,0),C(b,c),則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a-b,c)所以|AC|=|BD|=故|AC|=|BD|.在△ABC中,D是BC邊上的任意一點(diǎn)(D與B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.求證:△ABC為等腰三角形.作AO⊥BC,垂足為O,以BC所在的直線為x軸,OA所在的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.OxyABCD設(shè)
A
(0,
h
),
B
(b
,0),
C
(
c
,0),
D
(
d
,0)因?yàn)椋麬B|2=|AD|2+|BD||DC|,得
b2+
h2=
d2+
h2+(
d
-
b
)·(
c
-
d
),整理得-(
d
-
b
)(
b
+
d
)=(
d
-
b
)(
c
-
d
).因?yàn)辄c(diǎn)
D
與點(diǎn)
B
,
C
不重合,所以
d
-
b
≠0,所以-
b
-
d
=
c
-
d
,即-
b
=
c
.即△
ABC
為等腰三角形.課后練習(xí)1.已知直角坐標(biāo)平面上端點(diǎn)為(-2,5)和點(diǎn)M的線段的中點(diǎn)是(1,0),則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為(
)設(shè)M(x,y),由題意得則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為2.在△ABC中,設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),利用二次函數(shù)知識(shí)可確定到△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)為△ABC的(
)A.重心
B.垂心C.外心
D.內(nèi)心設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x,y∈R,則|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-xA)2+(y-yA)2+(x-xB)2+(y-yB)2+(x-xC)2+(y-yC)2=3x2-2(xA+xB+xC)x++3y2-2(yA+yB+yC)y+|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最小值,此時(shí)點(diǎn)P(x,y
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